23 Bài toán của Hibelrt ,7 bài toán Clay!

23 Bài toán của Hibelrt ,7 bài toán Clay!

Nguyễn Quang Ðỗ Thống
Giáo sư Ðại học Franche-Comté (Bretagne-Pháp)


Xin thưa ngay, đây không phải là khẩu hiệu quảng cáo cho trò chơi dấm dớ đang tràn ngập màn ảnh tivi Pháp từ mấy tháng nay. Mặc dầu cũng treo hàng triệu, nhưng đây là chuyện khoa học và tri thức. Năm 2000 đã được Liên hiệp toán học quốc tế và UNESCO tuyên định là Năm toàn cầu toán học, và cao điểm của các hoạt động mang tên KHOA HỌC 2000 là Lễ kỉ niệm 100 năm Hội nghị quốc tế lần thứ nhất của các nhà toán học (1900) được tổ chức tại học viện Collège de France (Paris) ngày 24-5 vừa qua. Hội nghị này diễn ra cách đây đúng một thế kỉ, cũng tại Paris, được ghi nhớ trong lịch sử nhờ 23 bài toán của Hilbert, một lời thách đố mà nhà toán học vĩ đại người Đức đã đặt ra cho các nhà nghiên cứu của Thế kỉ 20. Nhân dịp này, Viện toán học Clay (một cơ sở tư nhân, mang tên một nhà Mạnh Thường Quân đã bỏ tiền ra thành lập) đã tổ chức khá rôm rả một buổi liên hoan khoa học tại cơ ngơi lừng danh của Collège de France, và một uỷ ban cũng lừng danh không kém (trong đó có tới 3 uỷ viên được giải Fields (1) đề ra 7 bài toán cho quần hùng thế kỉ 21 giải quyết. Để nhấn mạnh sức nặng của lời thách đố mới, Viện Clay đã treo giải 1 triệu đôla US cho mỗi lời giải. Năm 2000 gần tàn, Diễn Đàn muốn nhân dịp này phỏng vấn nhà toán học Nguyễn Quang Đỗ Thống, một chuyên gia " cây nhà lá vườn " của toà soạn (phải nói DĐ là tờ báo khá đặc biệt, tuy chưa có giải Fields nào, nhưng nhan nhản các nhà toán học).

HỎI : 23 bài toán của Hilbert là thế nào ? Rồi 7 bài toán " Clay " là sao ?

TRẢ LỜI : Cùng với Henri Poincaré, David Hilbert là một trong những nhà toán học lớn nhất của thời đại ông, và là một trong những nhà toán học cuối cùng có thể mang danh hiệu là " phổ quát " (universel), nghĩa là : họ là bậc thầy trong mọi bộ môn của toán học. Bởi vậy, tại Hội nghị năm 1900, người ta trông chờ D.Hilbert tổng kết được toán học Thế kỉ 19 và dự phóng về toán học Thế kỉ 20. Trong 23 bài toán của Hilbert, có những bài toán rất minh định (thí dụ : nghiên cứu các " trường số Abel "/ "corps des nombres abéliens"), lại có những bài toán rất khái quát (thí dụ : có hay không có một phương pháp " phổ quát " để giải các " phương trình Diophante " (2) ?). Mức độ lý thú của chúng cũng khác nhau (xin hiểu tính từ lý thú theo nghĩa : vừa hiểm hóc vừa sâu xa). Song phải thừa nhận rằng toàn bộ việc giải đáp các bài toán của Hilbert đã đánh dấu một phần tiến trình của toán học nửa đầu thế kỉ 20 _ cũng cần nói thêm : điều này không do chủ ý, lại càng không có phối hợp, vì các nhà toán học rất ít khi làm việc theo " kế hoạch ". Trong số 23 bài, thì 12 bài đã được giải đáp (với câu trả lời dứt khoát là có hay không), 8 bài đã được giải đáp khá xa (nhưng chưa toàn bộ), chỉ còn 3 bài chưa được giải quyết.

7 bài toán " Clay " đặt ra cho " thiên kỉ " cũng theo tinh thần Hilbert, nghĩa là bao gồm toàn bộ các lãnh vực toán học. Người ta có thể thấy hơi " kì " : người " ra đề " không phải là một cơ quan chính thức như Liên hiệp quốc tế toán học hay Hội toán học Pháp, mà lại là một cơ sở tư nhân. Sự thật là ngày nay không có, không thể có một nhà toán học " phổ quát " nữa _ toán học đã trở thành quá mênh mông. Không còn minh chủ được quần hùng một lòng tôn vinh, thì lại càng nên tránh để nổ ra những cuộc xung đột giữa các môn phái. Vả lại, kiếm đâu ra mấy triệu $, nếu không gõ cửa tư nhân ? Dù sao, Hội đồng khoa học của Viện Clay (tập hợp những chuyên gia kiệt xuất trong tất cả các ngành toán học, và đầu tiên phải kể tên Andrew Wiles, người đã chứng minh " định lí cuối cùng của Fermat ") đã đánh liều tiếp nối con đường của Hilbert để nêu ra 7 bài toán cho thế kỉ 21. 7 bài toán đó, theo thứ tự trình bày, là : 1) Bài toán P-NP (lôgic học và tin học lí thuyết), 2) Ước đoán của Hodge (hình học đại số), 3) Ước đoán của Poincaré (topo học đại số), 4) Giả thuyết của Riemann (lí thuyết số), 5) Giải nghiệm toán học cho các phương trình Yang-Mills (vật lí học toán), 6) Giải nghiệm toán học cho các phương trình Navier-Stokes (vật lí học toán), 7) Ước đoán của Birch và Swinnerton-Dyer (hình học số học).

Người ta thấy vắng bóng ngành Giải tích hàm (Analyse fonctionnelle) vốn được coi là lãnh vực vương giả của nghiên cứu toán học. Lý do cũng đơn giản : những bài toán quan trọng nhất của Giải tích hàm vừa mới được giải quyết xong, và người ta đang đợi để tìm được những bài toán mới. Một nhận xét nữa : 7 bài toán đặt ra cho thế kỉ 21, mà không phải bài nào cũng phát sinh từ thế kỉ 20. Bài toán P-NP (do Stephen Cook nêu ra năm 1971) cố nhiên là bài toán mang dấu ấn thế kỉ 20 (lôgic và tin học), nhưng bài toán số 4 là giả thuyết Riemann đã đưa ra từ thế kỉ 19. Và là một trong 3 bài toán Hilbert chưa được giải đáp !

Một giai thoại vui vui : vài ngày trước khi 7 bài toán 1 triệu đôla được công bố, nhà toán học Nhật Bản Matsumoto (sống và làm việc ở Paris) tuyên bố mình đã chứng minh được giả thuyết Riemann. Khổ một nỗi, đây là lần thứ 3 ông tuyên bố như vậy. Và cho đến hôm nay, vẫn chưa biết Matsumoto có phải là nhà toán học triệu phú đầu tiên của thế kỉ 21 hay chăng...

HỎI : Chỉ nghe đầu đề thôi thì hơi ngán. Anh có thể nói thêm đôi chút được chăng ?

TRẢ LỜI : Tôi e là không thể nào làm được. Ai cũng nghĩ, tôi biết lắm, ai cũng nghĩ đến định lí Fermat, vừa ngắn gọn vừa dễ hiểu, mà lịch sử của nó thì thật là lí thú. Nhân đây, xin kể lại một câu chuyện vui : dự cuộc họp ngày 24-5-2000 ra về, tôi đi ăn cơm tàu với một bạn đồng nghiệp. Chắc là vừa ăn chúng tôi vừa nói chuyện bếp núc nghề nghiệp, anh chàng Trung Quốc hầu bàn đi qua nghe lóm. Nên chúng tôi được một mẻ sửng sốt khi anh ta đứng sững trước bàn chúng tôi và dõng dạc tuyên bố : " Mọi đường cong elliptic đều có tính mođula ! " (3). Điều đó chứng tỏ định lí Fermat phổ biến như thế nào, nhưng có lẽ đó là ngoại lệ duy nhất trong lịch sử toán học. Toán học (cũng như mọi khoa học khác ?) đã phát triển phức tạp đến mức bất luận vấn đề nào tương đối sâu sắc cũng không thể phát biểu bằng ngôn ngữ đời thường được nữa. Để viết một bài " phổ biến đại chúng " tất nhiên người ta có thể dùng cách nói ví von, đại khái, cũng như Viện Clay đã làm quảng cáo cho 7 bài toán (4). Thí dụ bài toán về lí thuyết số, đại khái sẽ như thế này : "... Sự phân bố các số nguyên tố trong tập hợp các số nguyên không phải là một sự phân bố đều đặn. Tuy nhiên, nhà toán học G.F.B. Riemann (1826-1866) đã nhận thấy tần số của các số nguyên tố gắn bó chặt chẽ với hành xử của hàm z(s), gọi là hàm Zêta của Riemann. Giả thuyết của Riemann nêu ra là : tất cả các nghiệm số đáng chú ý của phương trình z(s) = 0 đều nằm trên một đường thẳng. Điều này đã được nghiệm đúng cho 1 500 000 000 nghiệm số đầu tiên. Nếu chứng minh được rằng điều ấy vẫn đúng cho tất cả các nghiệm số đáng chú ý, thì sẽ làm sáng tỏ rất nhiều bí ẩn còn bao quanh sự phân bố các số nguyên tố ". Trình bày tóm tắt kiểu đó cũng có thể gợi lên một ý niệm lờ mờ về bài toán, cũng như ta tả thế nào là biển cả bằng cách cho người ta nghe thấy tiếng sóng biển. Ở đây có một vấn đề cốt lõi : sự khác biệt cơ bản giữa khoa học và tri thức. Tri thức có thể chỉ là trực năng, chủ toàn nhưng lờ mờ. Còn khoa học, do phương pháp của nó, là phải tuyệt đối chính xác. Chính xác là điều kiện thiết yếu tuyệt đối, không có nó, nhà toán học không thể làm việc được. Hàm là gì ? Trong hàm Zêta của Riemann, biến s là cái gì ? Thế nào là một nghiệm đáng chú ý ? Cái đường thẳng chứa các nghiệm đáng chú ý kia là đường thẳng nào ?...Biến số s nói trên lại là những " số " mà toán học gọi là " số phức " (có thời người ta đã gọi là " số tưởng tượng / nombre imaginaire ", như là con sối, với i xi = -1, đúng là dễ đập vào trí tưởng tượng của mọi người) ; hàm z(s) được định nghĩa hết sức tinh vi : khi " phần thực " của s lớn hơn 1, z(s) được định bằng một " chuỗi hội tụ " (tức là tổng số hữu hạn của vô hạn những con số), còn khi " phần thực " của nó nhỏ hơn 1, thì z(s) được định bởi một " phương trình phiếm hàm " ; còn nghiệm số không đáng chú ý là những nghiệm hiển nhiên trong phương trình vừa nói trên ; và " đường thẳng " nói ở trên là tập hợp những " số phức " mà " phần thực " là 1/2, vân vân... Chúng tôi đi vào chi tiết trong mấy dòng trên không phải vì muốn trộ hay muốn làm chối tai chối mắt bạn đọc, mà chỉ cốt để bạn đọc thấy rõ một điều : trong toán học, chuyện nọ luôn luôn " xọ " sang chuyện kia, định nghĩa này đòi phải có định nghĩa khác, nói rõ điểm này thì phải nói thêm điểm kia, khai triển này dẫn tới khai triển kia, trùng trùng điệp điệp tương ứng với độ phức tạp của bài toán, với công phu đầu tư (học hỏi những tri thức cũ, sáng tạo những tri thức mới) để giải đáp bài toán ấy. Trở lại quán ăn Trung Hoa tối hôm đó, khi chúng tôi ra về, anh hầu bàn yêu cầu chúng tôi gửi cho anh ta 7 đề toán để " lúc rảnh làm chơi ". Còn lâu mới " chơi " được, anh bạn ạ.

HỎI : Chẳng đáng ngại lắm sao nếu đi tới một sự " ly dị " giữa chuyên gia và người " ngoại đạo " ? Việc gì mà tuyệt đại đa số những " người thường " phải bỏ tiền ra nuôi cho các vị ngồi rỗi " thủ dâm trí não " như thế ?

TRẢ LỜI : Xin thưa : cuộc ly dị đã xảy ra từ khuya rồi. Tôi không bàn đến các " khoa học mềm " (khoa học xã hội, kinh tế học) là những bộ môn mà ngôn ngữ còn khá gần với ngôn ngữ đời thường, và những kết quả đạt được (với một độ tin cậy không mấy phấn khởi) chưa tạo ra khoảng cách quá lớn giữa chuyên gia và người thường. Nếu được phép đùa dai, xin nói : giữa chuyên gia và người thường, có một người hay nhầm hơn người kia, có điều không biết đó là người nào.

Còn các " khoa học cứng " ? Các nhà vật lí lâu lâu vẫn phải " mãi võ Sơn đông " vì họ cần ngân sách thiết bị các thứ " tờ rông" (cyclotron, synchrotron...) khá tốn kém, vả lại đối với " mọi người ", vật lí vẫn có một cái gì gần gũi : cuộc chinh phục không gian, nguồn gốc vũ trụ...Nhưng sự gần gũi ấy có cái gì rất khả nghi. Chẳng hạn, ở Pháp, thiên hạ rất sính nói tới thuyết Big Bang : đào sâu một chút, không chừng có hơi hớm của chủ nghĩa " Tạo hoá sinh vạn vật" (créationnisme) ! đào thêm chút nữa, chúng ta sẽ gặp lại sự cách biệt to lớn giữa tên gọi và sự vật. Thuyết BigBang, các nhà vũ trụ luận nói : "Vũ trụ bành trướng liên tục... Vũ trụ phát sinh từ một cuộc nổ...". Nhưng Vũ trụ là cái gì ? Nếu Vũ trụ là tất cả, thì nó bành trướng trong cái gì ? Nếu có sự phát sinh, thì có gì trước đó ? vân vân... Chúng ta gặp lại cuộc chạy marathon đuổi theo các khái niệm, một bộ môn thể thao thường làm các nhà khoa học tập việc phải bỏ cuộc. Tôi muốn nói : Nghệ thuật hay Văn chương thì ai bàn cũng được, nói Hữu thể và Hư vô thì số người tham gia bàn luận đã ít đi rồi, song người ta có thể tìm đọc cuốn Penser librement mà không nhất thiết phải theo học Khoa triết ở đại học. Còn muốn thực sự (chứ không tơ mơ) hiểu Vật lí học hay Toán học, đơn giản lắm : phải học. Thật đáng tiếc đã có sự " ly dị " giữa văn hoá (hiểu đại khái) và tri thức (hiểu thực sự), nhưng phạm vi các hiểu biết của loài người đã lớn rộng tới mức không ai có thể " toàn tri " được nữa. Nói rõ hơn, nếu phải chọn giữa " các tri thức " (les savoirs) và văn hoá, thì tôi dứt khoát chọn văn hoá. Vì sao ? Vì văn hoá là vũ khí duy nhất chống lại hai đứa con song sinh của nạn mị dân : quyền uy và dốt nát. Bạn muốn tôi nêu một ví dụ về quyền uy (của những cố vấn) kết hợp với dốt nát (của nhà cầm quyền) ư ? Xin cứ nhìn vào sự độc tài kinh tế chủ nghĩa mà chúng ta phải chịu từ mấy chục năm nay... Thôi xin nói qua chuyện khác để tránh bị ném đá.



Vhuy

HỎI : Đánh trống lảng như thế sao được ? Anh phải nói rõ lập trường của các nhà toán học chứ !
TRẢ LỜI : Lập trường trong vấn đề gì ? Nếu chỉ là chuyện ngân sách cho toán học, thì câu trả lời rất đơn giản : họ cũng là người giảng dạy, và người ta trả lương họ khá tồi, ngày nào còn có nhà trường, còn có trường đại học, câu hỏi ấy không đặt ra. Trả tiền (khá cao) cho những người ba hoa trên đài tivi, trả tiền (quá sức tưởng tượng) cho những tay chạy theo quả cầu trên sân cỏ, mà không trả được tiền (khá tồi) cho người giảng dạy và những nhà bác học hay sao ? Thực ra, kinh nghiệm cho thấy là đằng sau câu hỏi ấy, bao giờ cũng có những thâm ý. Và để trả lời, xin mượn câu nói của Henri Poincaré : " Chắc các bạn thường bị người ta hỏi : toán học dùng để làm gì, phải chăng những cấu trúc vi tế mà chúng ta rút ra từ trí tuệ chẳng qua chỉ là giả tạo, chỉ là do chúng ta dửng mỡ bày ra ? Trong những người đặt câu hỏi như vậy, tôi xếp riêng những người gọi là " thục tế ", chỉ muốn đòi chúng ta mang lại cho họ cách kiếm tiền. Những người ấy không đáng để chúng ta trả lời ; lẽ ra chính họ phải trả lời câu hỏi này cơ : tích luỹ bao nhiêu của cải như vậy để làm gì, nếu để có đủ thời giờ tích luỹ từng ấy của cải, người ta phải buông rơi nghệ thuật và khoa học là những gì giúp cho tâm hồn biết tận hưởng những của cái ấy : " Kiếm sống mà phải đánh mất cả lẽ sống hay sao ? "
HỎI : Trả lời như vậy, về tinh thần thì rất nhân bản, nhưng không thoả đáng, bởi vì có thể hiểu là anh muốn chủ trương " tháp ngà " ?
TRẢ LỜI : Đúng như vậy, song tôi không muốn sa đà vào cuộc tranh luận giả tạo về sự phân biệt giữa toán học " thuần tuý " và toán học " ứng dụng ", hay cuộc tranh luận về sự " tương ứng " giữa toán học và thế giới hiện thực, vân vân... Tôi xin tập trung vào giải thưởng Clay. Ngày nay, ai cũng biết tới những ứng dụng của toán học vào cuộc sống hàng ngày : máy điện toán, tên lửa, vệ tinh, viễn thông, công nghệ nanô..., ấy là chỉ đơn cử những công nghệ của thế kỉ 20. Thế mà các thứ " toán học công nghệ " dường như vắng mặt trong 7 bài toán của Viện Clay đặt ra _ ngoại trừ bài toán P-NP. Tại sao như vậy, khi mà Clay là một tổ chức tư nhân, đương nhiên phải tính đến hiệu quả ? Tại vì Clay có một hội đồng khoa học. Hội đồng ấy gồm những người chuyên nghiệp, họ biết toán học là như thế nào, nghiên cứu toán học (và nghiên cứu khoa học) tiến hành ra sao.
Nghiên cứu tôi nói đây là nghiên cứu cơ bản. Nghiên cứu mà có " đặt khuôn ", có chương trình, có dự kiến từng giai đoạn, có trinh sát, có bộ binh, có tướng lĩnh chỉ huy (tôi không đùa đâu, ở bên Nhật, người ta đã làm thử đấy), thì không được đâu. Điều này rất quan trọng, nếu không nói là cốt yếu, đúng cho mọi nước, kể cả các nước đang phát triển _ các nước này, cũng chính đáng thôi, thường ngại đầu tư vào nghiên cứu cơ bản lâu dài, tưởng như vô bổ và vô dụng. Alain Connes (giáo sư Collège de France, giải Fields năm 1982) đưa ra một lý lẽ hết sức chặt chẽ, ông nói đại ý : " đặt khuôn " cho nghiên cứu cơ bản, hay từ bỏ nghiên cứu cơ bản thì cũng giống như một y sĩ tập sự, muốn quan sát bộ óc vận hành ra sao về mặt sinh lí, mà lại bỏ qua tất cả những gì liên quan tới các chức năng vận động (fonctions motrices), và vất luôn cả vỏ não (cortex) vì cho là " vô ích ".
HỎI : Tóm lại, toán học là gì ?
TRẢ LỜI : Tôi lại xin không sa đà vào một cuộc thảo luận tầm phào, mà xin trả lời câu hỏi này bằng cách trả lời một câu hỏi khác : toán học không phải là cái gì ? Trong đầu óc của nhiều người, toán học có vẻ là một khoa học toàn bích, nghĩa là đã được cố định rồi, sự toàn bích của toán học đã đạt được từ lâu lắm rồi, bây giờ chỉ còn sắp xếp vài ba viên đá xinh xinh vào ngăn kéo này, ngăn kéo kia (tôi dùng hình ảnh của một người sống ở thế kỉ 19 nói về vật lí học... trước khi các nhà vật lí phát hiện ra nguyên tử). Thành kiến này khá phổ biến, và thịnh hành ngay cả trong một số " nhà triết lí khoa học " danh tiếng, chẳng hạn như ông cựu bộ trưởng (5) đã dám nói một câu xanh rờn để kết liễu toán học : " Muốn vẽ một đường biểu thị hàm số, bây giờ tôi chỉ cần bấm cái nút trên máy tính là xong ". Ai viết ra chương trình biểu thị ? Ai thiết kế máy tính, và dựa trên cơ sở nào để thiết kế ? Phải chăng mọi hoạt động khoa học chỉ thu gọn vào sự tính toán ? vân vân... Có lẽ chỉ cần nhắc lại lời Poincaré : " Những người đó không đáng để chúng ta trả lời ".
Sự thật là, cũng như mọi ngành khoa học khác, toán học có tiến trình của nó, có quá khứ, có tương lai. Sự thâm nhập của những phát minh toán học trong đời sống trí tuệ của xã hội (qui tắc tam suất, định lí Pythagore, các tam giác đồng dạng, bổ đề Hàn Tín điểm binh (6)...) đã trở thành quen thuộc khiến người ta quên mất rằng những điều đã trở thành hiển nhiên ấy cũng đã phải có người phát kiến. Giải phương trình bậc 2, ngày nay học sinh trung học được học cách làm, các nhà toán học cổ đại đã phải bỏ ra hàng thế kỉ mới tìm ra. Còn phương trình bậc 3, phải đợi đến thế kỉ 15. Tính vi phân và tích phân, hai công cụ thiếu chúng thì không thể có vật lí học, mãi đến thế kỉ 18 mới tìm ra. Từ đó trở đi, là cả một sự bùng nổ. Có thể nói toán học của trình độ học sinh là toán học ngừng ở thế kỉ 18 (toán học của các kĩ sư cổ điển, xây cầu đường trước đây, cũng thế). Từ đó, khối lượng các phát minh toán học đã tăng theo luỹ thừa, cũng như cơ số các nhà toán học (Hội nghị năm 1900 có 226 người tham gia, năm 1990 có 6000 người). Thành ra, nếu những sáng kiến rầm rộ như kiểu treo giải 1 triệu đô la của Viện Clay có thể " làm cho công chúng và các nhà chính trị hiểu rằng đầu tư vào toán học, là đầu tư cho tương lai " (lời A. Jaffé, thành viên Hội đồng khoa học), thì ta nên hoan nghênh cả hai tay. Đó là không kể, trong những ngày tháng kết thúc thế kỉ này, bầu không khí tinh thần đang bị " nhiễm bởi đủ loại tà thuyết phi lí trí (những cơn hoảng loạn tập thể, nỗi kinh hoàng của ngày tận thế, những giáo phái, trăm loại mê tín...). Có gì như một niềm an lạc dâng lên, toả ra, khi giữa giảng đường tôn nghiêm của Collège de France, trong sự im lặng chân thành, vang lên tiếng nói của David Hilbert, khẳng định sự ưu việt của trí tuệ con người : " Chúng ta phải biết, và chúng ta sẽ biết ".
Nguyễn Quang Đỗ Thống
Kiến Văn chuyển ngữ



(1) Giải thưởng Fields tương đương với giải Nobel cho toán học.
(2) Phương trình Diophante (tên một nhà toán học Cổ HiLạp) là một phường trình đại số, mà người ta tìm nghiệm số là những số nguyên. Phương trình Diophante nổi tiếng nhất là phương trình trong định lí Fermat (xn + yn = zn). Bài toán thứ 10 của Hilbert (nói tới trong bài), đã được nhà lôgic học Matyasevich giải quyết (trả lời là không) vào năm 1970.
(3) " Mọi đường cong elliptic trên trường số hữu tỉ đều có tính modula ", đó là ước đoán của Shimura-Taniyama-Weil. A.Wiles đã chứng minh được ước đoán này, kéo theo định lí Fermat (xem hai bài đã đăng trên Diễn đàn).
(4) Xem tóm tắt 7 bài toán Clay trên trang điện tử của tổ chức Clay :
http://www.claymath.org/prize_problems/index.htm
(5) Claude Allègre. Trong một cuốn sách bán rất chạy (La défaite de Platon), ông ta còn nói không tin là có con số i.
(6) Về bổ đề Hàn Tín điểm binh (trong toán gọi là bổ đề Trung Hoa / lemme chinois), xem bài của B.T.L. trên tạp chí Thời đại số 4.
(7) Ban tổ chức đã dùng điện tử để khôi phục diễn từ của Hilbert năm 1900 (ghi trên ống sáp) và phát lại lời kết thúc hội nghị (còn ghi trên bia mộ của nhà toán học vĩ đại này).
Vhuy

Hilbert's Mathematical Problems

(Philosophy of problems, relationship between mathematics and science, role of proofs, axioms and formalism.)

Problem 1.
Cantor's problem of the cardinal number of the continuum. (The continuum hypothesis.)
K. Gảdel. The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis. Princeton Univ. Press, Princeton, 1940.

Problem 2.
The compatibility of the arithmetical axioms.

Problem 3.
The equality of two volumes of two tetrahedra of equal bases and equal altitudes.
V. G. Boltianskii. Hilbert's Third Problem Winston, Halsted Press, Washington, New York, 1978.
C. H. Sah. Hilbert's Third Problem: Scissors Congruence. Pitman, London 1979.

Problem 4.
Problem of the straight line as the shortest distance between two points. (Alternative geometries.)

Problem 5.
Lie's concept of a continuous group of transformations without the assumption of the differentiability of the functions defining the group. (Are continuous groups automatically differential groups?)
Montgomery and Zippin. Topological Transformation Groups. Wiley, New York, 1955.
Kaplansky. Lie Algebras and Locally Compact Groups. Chicago Univ. Press, Chicago, 1971.

Problem 6.
Mathematical treatment of the axioms of physics.
Leo Corry's article "Hilbert and the Axiomatization of Physics (1894-1905)" in the research journal Archive for History of Exact Sciences, 51 (1997).

Problem 7.
Irrationality and transcendence of certain numbers.
N.I.Feldman. Hilbert's seventh problem (in Russian), Moscow state Univ, 1982, 312pp. MR 85b:11001

Problem 8.
Problems of prime numbers. (The distribution of primes and the Riemann hypothesis.)

Problem 9.
Proof of the most general law of reciprocity in any number field.

Problem 10.
Determination of the solvability of a diophantine equation.
S. Chowla. The Riemann Hypothesis and Hilbert's Tenth Problem. Gordon and Breach, New York, 1965.
Yu. V. Matiyasevich. Hilbert's Tenth Problem. MIT Press, Cambridge, Massachusetts,1993, available on the web.


Maxim Vsemirnov's Hilbert's Tenth Problem page at the Steklov Institute of Mathematics at St.Petersburg.

Problem 11.
Quadratic forms with any algebraic numerical coefficients.

Problem 12.
Extension of Kroneker's theorem on abelian fields to any algebraic realm of rationality.
R.-P. Holzapfel. The Ball and Some Hilbert Problems. Springer-Verlag, New York, 1995.

Problem 13.
Impossibility of the solution of the general equation of the 7-th degree by means of functions of only two arguments. (Generalizes the impossibility of solving 5-th degree equations by radicals.)

Problem 14.
Proof of the finiteness of certain complete systems of functions.
Masayoshi Nagata. Lectures on the fourteenth problem of Hilbert. Tata Institute of Fundamental Research, Bombay, 1965.

Problem 15.
Rigorous foundation of Schubert's enumerative calculus.

Problem 16.
Problem of the topology of algebraic curves and surfaces.
Yu. Ilyashenko, and S. Yakovenko, e***ors. Concerning the Hilbert 16th problem. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1995.
B.L.J. Braaksma, G.K. Immink, and M. van der Put, e***ors. The Stokes Phenomenon and Hilbert's 16th Problem. World Scientific, London, 1996.

Problem 17.
Expression of definite forms by squares.

Problem 18.
Building up of space from congruent polyhedra. (n-dimensional crystallography groups, fundamental domains, sphere packing problem.)

Comments
on the theory of analytic functions.

Problem 19.
Are the solutions of regular problems in the calculus of variations always necessarily analytic?

Problem 20.
The general problem of boundary values. (Variational problems.)

Problem 21.
Proof of the existence of linear differential equations having a prescribed monodromic group.

Problem 22.
Uniformization of analytic relations by means of automorphic functions.

Problem 23.
Further development of the methods of the calculus of variations.

Final comments.

 
ĐặỏằÊc username sỏằưa chỏằa / chuyỏằfn vào 23:20 ngày 13/02/2003

Bài phát biểu của Hilbert năm 1900 có thể tìm thấy tại đây : http://babbage.clarku.edu/~djoyce/hilbert/problems.html