3 miền có chung 1 biên trên mặt phẳng

3 miền có chung 1 biên trên mặt phẳng

Khi vẽ một đường cong không tự cắt trên mặt phẳng (không đi qua bất ky điểm nào nhiều hơn 1 lần) chúng ta nhận được 2 miền riêng biệt (miên trong và miền ngoài). Dường như 2 là số lớn nhất các miền của mặt phẳng được chia ra theo cách trên. Câu hỏi đặt ra là: phải chăng 2 thực sự là số lớn nhất.. Liệu có thê chia mặt phẳng thành nhiều hơn 2 miền có cùng biên hay không?

Nếu như cái đuờng cong không tự cắt ấy là một đuờng cong C1 (tức là đạo hàm của nó liên tục) thì nó sẽ chia mặt phẳng thành hai phần riêng biệt,chứng minh tuơng đối là phức tạp. Nếu như đuờng cong chỉ liên tục không thôi thì hình như vẫn đúng nhưng không đơn giản để chứng minh đuợc.

Định lý về đường cong Jordan khẳng định rằng : một đường cong khép kín không tự cắt sẽ chia mặt phẳng thành đúng hai thành phần có chung biên là chính đường cong đó.
Tuy nhiên nếu đúng theo chủ đề của thread này thì vẫn có thể có 3 miền có chung biên được

Tôi không biết phát biểu chính xác của định lý Jordan, hình như yêu cầu của đường cong đó là trơn (có đạo hàm - cũng không biết có cần liên tục không) Nếu vi phạm điều kiện đó của định lý Jordan, liệu chúng ta có thể xây dựng được một đường cong theo chủ đề của thread này hay không?. Theo cảm tính thì rõ ràng không thể được. Nhưng toán học cần chứng minh chặt chẽ. Không phải vô cớ mà định lý Jordan yêu càu điều kiện có đạo hàm. Vậy điều kiện đó đóng vai trò như thế nào trong định lý này/ Mọi người cho ý kiến nhé

Tớ xem trên mathworld thì thấy định lý Jordan chỉ yêu cầu đường cong đó là khép kín và không tự cắt thôi

Uh, đuờng cong đó chỉ cần điều kiện là liên tục, khép kín và không tự cắt thôi . Trong truờng hợp có đạo hàm thì dễ chứng minh hơn, trong truờng hợp chỉ liên tục không thôi thì vấn đề rất là phức tạp, không thể chỉ nói vài dòng là xong đuợc, trong truờng hợp có đạo hàm thì tớ có đọc bài chứng minh rồi, cũng không khó hiểu lắm.

Tôi đọc trong 1 cuốn sách trình bay cách xây dựng như sau:
Giả sử chúng ta có 3 miền như hình vẽ
Gọi M1 là tập hợp các đỉnh của lưới ô vuông cạnh epsilon. Từ 3 miền A, B, C "đào các hào" tới lân cận của mọi điểm trong M1 cách một khoảng epsilon/2.
Bước tiếp theo xét tập hợp M2 các đỉnh của lưới ô vuông cạnh epsilon/2 và tiếp tục làm như trên với khoảng cách epsilon/4
Cứ làm như vậy chúng ta sẽ nhận được 3 miền có chung 1 biên???
Đúng là định lý Jordan không yêu cầu đường cong có đạo hàm. Như vậy đường cong xây dựng theo cách trên có các tính chất gì? trong cuốn sach đó không hề nói tới. Mọi người cùng trao đổi nhé.
Được msubmk sửa chữa / chuyển vào 02:40 ngày 07/05/2005

Tớ nghĩ là biên của một miền không nhất thiết là một đường cong. Nó có thể là hợp của nhiều đường cong, và thực ra có thể mang nhiều hình thù quái dị khác. Trong bài toán trên thì biên chung của 3 miền là gì??
]
Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 13:49 ngày 07/05/2005

Cái cách xây dựng ấy đã đuợc chứng minh chưa? Cái biên nhận đuợc có phải là đuờng cong hay không ?
Trong dịnh lý Jordan đã chứng minh là một đuờng cong liên tục, khép kín và không có điểm cắt thì sẽ chia mặt phẳng thành hai miền mà biên là đuờng cong đó.
Tớ vẫn chưa hiểu đuợc "hình thù quái dị" ở đây là hình như thế nào ???
Còn nếu như là hợp của các đuờng cong thì không chắc còn là đuờng cong nữa, khi đó ta đã đi qua một khía cạnh khác của vấn đề rồi.

- Cách xây dựng đó là đúng, và khá kinh điển, có trong nhiều sách tô pô.
- Tớ không rõ biên chung của 3 miền là gì, nhưng tớ chắc chắn nó không phải là một đường cong thoả mãn các điều kiện của định lý Jordan