Ai có bài toán thú vị post lên đây.....

Ai có bài toán thú vị post lên đây.....

Chào các bạn. Mình mới tập đếm và tính cộng nên có bài toán cộng này khó quá, giải không ra, mong các bạn giải hộ:
tính S = 1 + 1/4 + 1/9 + .... + 1/(k^2) + ........
k tự nhiên, lớn vô cùng. Ai có phương pháp tính dễ hiểu chỉ dạy dùm. Chứ cô em mới dạy cấp 1 bảo cho cách tính khó hiểu quá, tính không nổi. Chúc các bạn vui.

FOOLDUCK

Cách giải bài toán này được Euler nêu như sau:
+ Trước hết xét phương trình a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3 + ..... + anx^n = 0 đây là phương trình bậc n, nên nếu có đủ n nghiệm x1,x2,x3.... thì sẽ phân tích được thành như sau : an(x-x1)(x-x2)...(x-xn) = 0
hệ số sau khi nhân ra và bằng phương pháp đồng nhất thức, ta tìm được: an-1 = -an(x1+x2+x3+...+xn). Các hệ số sau khá phức tạp nên không xét. Bây giờ giả sử phuơng trình trên có a0<>0, vậy các nghiệm của chúng đều khác 0. như vậy, dạng tích có thể viết lại là: a0 + a1x + a2x^2 + .... + anx^n = a0(1-x/x1)(1-x/x2)...(1-x/xn) cũng bằng cách nhân ra và dùng đồng nhất thức ta có a1 = a0(1/x1 + 1/x2 + 1/x3... + 1/xn).
Áp dụng trên cho phương trình a0 + a1x^2 + a2x^4+ ... + anx^2n = 0 (a0<>0), phương trình bậc chẵn có các cặp nghiệm đối xứng x1, -x1, x2, -x2,... xn,-xn. Vậy nó được viết lại thành : a0(1-x^2/x1^2)(1 - x^2/x2^2).....(1-x^2/xn^2) = a0 + a1x^2 + a2x^4 + .. + anx^2n. dùng đồng nhất thức lại được a1 = a0(1/x1^2 + 1/x2^2 + ... + 1/xn^2)

+ Xét phương trình sinx/x = 0, phương trình có vô hạn nghiệm x = k*pi ( k nguyên <>0), hay là có nghiệm là pi.-pi.2*pi,-2*pi....
vậy sinx/x = 0 <=> (1-x^2/pi^2)(1 - x^2/(2*pi)^2)... vô hạn nhân tử.
mặt khác sinx = x + x^3/3! + x^5/5! + ...... vô hạn số hạng. chia 2 vế cho x<>0 ta được sinx/x = 1 + x^2/3! + x^4/5! + ....

vậy ta được : 1 + x^2/3! + x^4/5! + ... = (1 - x^2/pi^2)(1-x^2/(2*pi)^2)....

hệ số của x^2 bêb vế trái là 1 * (1/pi^2 + 1/(2*pi)^2 + 1/(3*pi)^2 + ..) = hệ số x^2 bên vế phải là 1/3! = 1/6
vậy ta có 1/6 = 1/pi^2 + 1/4*pi^2 + 1/9*pi^2 + .....
nhân 2 vế cho pi^2
ta sẽ được dáp án của bài toán.



Được foolduck sửa chữa / chuyển vào 19/07/2002 ngày 13:32

Thì...quy đồng lên mà cộng . Thế mà cũng phải hỏi
Các bác xem thử cái bài toán dễ mà khó này xem : cosx = x
fp84

Bài này tớ làm lúc đang học lớp 6 hay sao ấy ,8 ,9 năm gì quên mất rồi .Hình như bằng cái gì mà quy nạp thì phải .Nhưng mà không nhớ kết quả cuối thì ....quy nạp răng đây
Thôi làm mò nhé .
k =2 , S = 1 + 1/4 = 5 /4
k = 3 , S = 5/4 + 1/9 = 49/36
Bây giờ tìm quan hệ giữa k=2 với các số 5 và 4
Quan hệ giữa k = 3 với các số 49 và 36 .
Dễ thấy 36 = 4*9 = 2 mũ 2 nhân 3 mũ 2
4 thì là 1 mũ 2 nhân 2 mũ 2
Đoán mò nếu kết quả cuối cùng được viết dưới dạng phân số thì mẫu là k mũ 2 nhân (k+1 ) mũ 2 : [k(k+1)]^2
Quan hệ giữa số 2 với 5 và số 3 và 49 .
Đến đây thì chịu đi ăn cơm cái đã , bác nào thích gì ....giải tiếp .

To spider0127: chú em làm ơn trả lời đàng hoàng. Quy đồng cộng tới tết công gô mới xong hả????? Không biết thì đừng post lên, phá quá!!!!!
To tbm: ý tưởng vủa bạn rất hay, nhung hơi ... kẹt. n=3 , S=205/144. Mẫu là 2^2*2^2*3^2, đâu còn đúng nữa??? Thế theo bạn thì có đáp số thì dùng quy nạp được à??? Nhưng nếu dạy là hữu hạn kia, còn đây là dãy vô hạn. Tiếp tục nhé!!!
FOOLDUCK

hè hè ,thiệt với bác em toán bây giờ dốt quá ,có cái bài ghẻ mà làm không ra .Đau lòng quá .Hình như là phải dùng tích phân hay cái củ chuối gì em quên mất .
Chịu thôi bác ạ già cả rồi ,quên sạch trơn .Ngày mai gặp lại ,khuya rồi ,đi ngủ nhá

Hehe,vẽ đồ thị ra nhìn thấy ngay phương trình có 1 nghiệm trong khoảng 0 đến pi/2.Vậy nghiệm của phương trình là giao điểm của đường thẳng y=x và đồ thị y=cosx trong khoảng 0 đến pi/2.


Scorps-NTH

Chào các lão nhà toàn học, các lão tìm thứ gì mới đi bàn cho vui đê. Tổng sau là một trong những tổng chuẩn rùi đó:
1 + 1/4 + 1/9 + ... + 1/(k*k) + ... = (pi * pi )/6, trong đópi = 3.1415926535897932384626433832795 ...
Đấy, kết quả đấy, lão nào trình bày cách tính đê.
--------------- Nguyễn Văn Tèo ---------------

Bài này dễ bỏ mợ. Pi bình trên 6 phải không chú ? Chú mới học cộng và nhân mà cô giáo đã bắt làm bài này rồi à, khá quá. Chú quan nào cho anh cái tít "sư phụ của foolduck" nha.
Tiện thể đố các chú tính tổng 1/1 + 1/2 + ... +1/k^3 + ..., y hệt bài trên của chú foolduck, chỉ thay số mũ 2 bằng 3. Chú nào giải được anh gọi là sư phụ còn chú nào không giải được ... gọi anh là sư phụ nha. Hê hê hê.

Lão đọc bài của tớ mà đòi thiên hạ gọi bằng sư phụ hả? Lão này ghê thiệt đó!
--------------- Nguyễn Văn Tèo ---------------

Chán mấy bác quá. Kết quả thì em biết ừ khuya rồi. Em hỏi là hỏi cái cách tìm ra kết quả ý!!! Em biết một cách, thú vị lắm, đáng để bàn luận. Rất hay. Nhưng em muốn biết còn bác nào có cách giải bài này nữa không? Rất mong các bác góp ý.
FOOLDUCK