Ai có bài toán thú vị post lên đây.....

Cách giải rất sáng tạo,chỉ có 1 chỗ khó hiểu là:
a1v1+a2v2+...+akvk=a1v1+a2v2+...+anvn=0 ???
Đồng ý là a1v1+a2v2+...+anvn=0 là theo giả thiết,nhưng vì sao a1v1+a2v2+...+akvk lại = a1v1+..+anvn ?

Scorps-NTH

Bạn hãy để ý phần đầu trong chứng minh của tôi : Các số a1,a2,....an không đồng nhất bằng 0 có nghĩa là : trong các số này phải có số khác 0. Tôi giả sử trong các số này có tất cả k số (1<=k<=n) khác 0 là a1,a2,...,ak.(những số còn lại bằng 0 tất ). Cho nên mới có : a1v1+a2v2+..+akvk= a1v1+a2v2+...+anvn
Có chỗ nào còn khó hiểu thì cứ hỏi nhé.

Còn đây là chứng minh của điều kiện cần : nếu các véctơ v1,v2,..,vn độc lập tuyến tính thì det A<>0.
Giả sử v1=(a11 a12 ... a1n)
v2=(a21 a22 ... a2n)
...................................
vn=(an1 an2 .... ann) ( aij là các số thực )
Ma trận A sẽ là :
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ....a2n
..........................
an1 an2 ....ann
Theo tính chất của định thức : ta có thể cộng vào một hàng của định thức một bội số thực (khác 0) lần các hàng khác mà giá trị của định thức không thay đổi .
Ta cộng vào mỗi hàng của ma trận A một bội số thực (khác 0)lần các hàng khác để biến đổi ma trận A ở trên thành ma trận B có các thành phần không nằm trên đường chéo đều bằng 0 :
b11 0 .... 0
0 b22 .... 0
.....................
0 0 ..... bnn
( Đây chính là phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính) .( Chẳng hạn nếu a11<>0 ,ta cộng vào hàng thứ 2 của ma trận A -a21/a11 lần hàng 1 thì a21=0 ).
Theo tính chất kể trên của định thức sẽ có:
det A =det B = b11.b22....bnn
Vậy nếu detA=0 thì trong các số b11, b22, .., bnn phải có số bkk nào đó bằng 0. Điều này có nghĩa là : tất cả các số ở hàng k của B đều bằng 0 . (1)
Để ý rằng các hàng của ma trận A chính là các véc tơ v1,v2,..., vn. Và mỗi lần ta cộng vào hàng k của ma trận A bội số thực (khác 0) lần các hàng khác chính là ta thưc hiện phép biến đổi
vk -> vk + a1v1+a2v2+....+anvn. (2)
Từ (1) và (2) ta có vk + a1v1+a2v2+...+anvn =0 . Bộ số (1, a1, a2, ..., an) không đồng thời bằng 0 nên các véc tơ v1, v2, ..., vn không độc lập tuyến tính.
Mâu thuẫn này chứng tỏ det A <>0. Điều kiện cần được chứng minh.

Định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ a (a1,a2,a3) và b (b1,b2,b3) trong không gian 3 chiều (trong mặt phẳng thì tất nhiên không có khái niệm này , còn trong không gian n chiều thì...không biết)
Định nghĩa đại số : (thường được viết dưới dạng định thức véc tơ, để cho đơn giản ở đây tôi viết luôn biểu thức đại số) Tích của 2 véc tơ a, b ở trên là véc tơ c :
c= (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) (1)
Định nghĩa hình học : Tích có hướng của 2 véc tơ a, b là véc tơ c có độ lớn là diện tích hình bình hành có 2 cạnh kề tạo bởi a và b, có phương vuông góc với mặt phẳng chứa a, b và có chiều là chiều tiến của một cái đinh ốc khi ta xoay nó theo chiều từ a đến b. {2} (Mời các bạn nhòm qua cái hình đơn giản dưới đây)
Để chứng minh 2 định nghĩa trên là tương đương chỉ cần chứng minh :
(3) véc tơ c theo định nghĩa (1) vuông góc với mặt phẳng chứa a,b
(4) độ lớn của véc tơ c theo định nghĩa (1) bằng diện tích hình bình hành AOBD .
Chứng minh (3) rất đơn giản : bạn chỉ cần tính 2 tích vô hướng a.c va b.c sẽ thấy chúng đều bằng 0, do đó c vuông góc với a và c vuông góc với b, nên c vuông góc với mặt phẳng chứa a và b.
Chứng minh (4) : bình phương độ lớn của véc tơ c theo định nghĩa (1) bằng :
(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2 (5)
Còn bình phương diện tích hình bình hành AOBD bằng :
OA^2. OB^2. sin<AOB^2= |a|^2.|b|^2. sin<AOB^2 (6)
Theo tính chất của tích vô hướng của a và b thì
cos<AOB= a.b/(|a|.|b|)
vậy : cos<AOB^2 =(a.b)^2/(|a|^2.|b|^2)
suy ra: sin<AOB^2= 1- (a.b)^2/(|a|^2.|b|^2)
=[ |a|^2.|b|^2-(a.b)^2] /(|a|^2.|b|^2) (7)
trong đó :
|a|^2= a1^2+a2^2+a3^2
|b|^2= b1^2+b2^2+b3^2
(a.b)^2= (a1b1+a2b2+a3b3)^2
Vậy |a|^2.|b|^2 - (a.b)^2 =
=(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2) - (a1b1+a2b2a+a3b3)^2
=(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2 (8)

Thay (8) vào (7) rồi lại thay (7) vào (6) ta sẽ được (5). Vặy (4) được chứng minh.

Thực sự tôi vẫn chưa hiểu í của bạn ở cái chỗ bạn giả sử là có tất cả k số khác 0 ( 1<= k <= n) ,nhưng điều đó đâu có nghĩa là các số còn lại từ k+1 đến n là = 0 đâu.
Bởi vì định lý đề cập là nếu tồn tại các số thực a1,a2,..,an không đồng thời bằng 0 thì cũng có nghĩa tương tự với biểu diễn dưới dạng biểu thức sau : |a1| + |a2| + ....+ |an| <> 0
Vậy giả sử có k số khác 0 từ a1 đến ak thì |a1| + ...+ |ak| <> 0 ,-> là |ak+1| +...+ | an| có thể bằng 0 ,hoặc cũng có thể khác 0 .
Do vậy theo tôi thì việc bạn nói là các số tù k+1 đến n là bằng 0 liệu có phải là ngộ nhận ko ?

Scorps-NTH

Tại tôi tiết kiệm lời quá thành ra mới làm bạn không hiểu .
Thế này bạn ạ: Giả sử trong dãy a1, a2, ..., an có tất cả k số khác 0 ( trong các số a1,a2, .., an phải có số khác 0 và có thể tất cả các số a1,a2,...,an đều khác 0, nên 1<=k<=n). Vì vai trò của các số a1,a2,..., an là hoàn toàn như nhau nên giả sử k số khác 0 của dãy là k số đầu tiên của dãy : a1, a2,...,ak
Thực ra việc giả sử này chỉ nhằm mục đích làm cho việc viết các biểu thức được dễ dàng ,không ảnh hưởng gì đến cách chứng minh bài toán .
Chẳng hạn , nếu k số khác 0 này không phải k số đầu tiên mà là k số bất kì : ai, aj, ...., al thì ta xét định thức của ma trận
[ v1...aivi ...ajvj...alvl...vn] = ai. aj....al. det A. Chứng minh còn lại hoàn toàn tương tự như trường hợp k số khác 0 là các số a1,a2, ..., ak.
Hy vọng lần này thì bạn sẽ hiểu .


Được zcar sửa chữa / chuyển vào 09:59 ngày 10/11/2002

Cảm ơn bạn đã chỉ cho tôi cách chứng minh, nhưng để định nghĩa một vector cần có phương, chiều và độ lớn. Cái tôi không chứng minh được ở đây là cái chiều đấy ạ
F./
Thế giới thật rộng lớn

Vậy là bạn lại hiểu nhầm thắc mắc của tôi rồi.Tôi ko thắc mắc về vấn đề bạn đánh số từ 1 đến k,rõ ràng là tôi đồng ý với bạn rằng trong n số từ a1 đến an có k số khác 0,bạn muốn giả sử là các số nào cũng được vì nó ko mất tính tổng quát.Nhưng điều đó ko có nghĩa là n-k số còn lại là đều phải = 0.Rõ ràng như bạn nói là "có thể tất cả các số từ a1 đến an đều khác 0".Do vậy cách bạn chỉ ra rằng a1v1+...+akvk=a1v1+...+anvn=0 vì các số còn lại ,tức n-k số còn lại đều bằng 0 tất là sự ngộ nhận.Bạn giải thích như thế nào về chỗ này,tôi ko hiểu là chỉ ko hiểu ở chỗ này thôi.

Scorps-NTH

Tôi thấy bạn hoặc là không đọc kỹ chứng minh của tôi hoặc là không hiểu nghĩa của từ tất cả . Tôi đã giả sử trong các số a1,a2,..., an có tất cả k số khác 0 có nghĩa là n-k số còn lại đều bằng 0 .
Nếu trong n-k số còn lại mà có số khác 0 thì chẳng phải là trong các số a1,a2,...,an có nhiều hơn k số khác 0 ư? Điều đó trái với điều giả sử ở trên.