1. Tuyển Mod quản lý diễn đàn. Các thành viên xem chi tiết tại đây

Ai có bài toán thú vị post lên đây.....

Chủ đề trong 'Toán học' bởi foolduck, 18/07/2002.

  1. 1 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
  1. Scorps

    Scorps Thành viên quen thuộc

    Tham gia ngày:
    04/01/2002
    Bài viết:
    723
    Đã được thích:
    1
    Cách giải rất sáng tạo,chỉ có 1 chỗ khó hiểu là:
    a1v1+a2v2+...+akvk=a1v1+a2v2+...+anvn=0 ???
    Đồng ý là a1v1+a2v2+...+anvn=0 là theo giả thiết,nhưng vì sao a1v1+a2v2+...+akvk lại = a1v1+..+anvn ?

    Scorps-NTH
  2. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Bạn hãy để ý phần đầu trong chứng minh của tôi : Các số a1,a2,....an không đồng nhất bằng 0 có nghĩa là : trong các số này phải có số khác 0. Tôi giả sử trong các số này có tất cả k số (1<=k<=n) khác 0 là a1,a2,...,ak.(những số còn lại bằng 0 tất ). Cho nên mới có : a1v1+a2v2+..+akvk= a1v1+a2v2+...+anvn
    Có chỗ nào còn khó hiểu thì cứ hỏi nhé.
  3. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Còn đây là chứng minh của điều kiện cần : nếu các véctơ v1,v2,..,vn độc lập tuyến tính thì det A<>0.
    Giả sử v1=(a11 a12 ... a1n)
    v2=(a21 a22 ... a2n)
    ...................................
    vn=(an1 an2 .... ann) ( aij là các số thực )
    Ma trận A sẽ là :
    a11 a12 ... a1n
    a21 a22 ....a2n
    ..........................
    an1 an2 ....ann
    Theo tính chất của định thức : ta có thể cộng vào một hàng của định thức một bội số thực (khác 0) lần các hàng khác mà giá trị của định thức không thay đổi .
    Ta cộng vào mỗi hàng của ma trận A một bội số thực (khác 0)lần các hàng khác để biến đổi ma trận A ở trên thành ma trận B có các thành phần không nằm trên đường chéo đều bằng 0 :
    b11 0 .... 0
    0 b22 .... 0
    .....................
    0 0 ..... bnn
    ( Đây chính là phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính) .( Chẳng hạn nếu a11<>0 ,ta cộng vào hàng thứ 2 của ma trận A -a21/a11 lần hàng 1 thì a21=0 ).
    Theo tính chất kể trên của định thức sẽ có:
    det A =det B = b11.b22....bnn
    Vậy nếu detA=0 thì trong các số b11, b22, .., bnn phải có số bkk nào đó bằng 0. Điều này có nghĩa là : tất cả các số ở hàng k của B đều bằng 0 . (1)
    Để ý rằng các hàng của ma trận A chính là các véc tơ v1,v2,..., vn. Và mỗi lần ta cộng vào hàng k của ma trận A bội số thực (khác 0) lần các hàng khác chính là ta thưc hiện phép biến đổi
    vk -> vk + a1v1+a2v2+....+anvn. (2)
    Từ (1) và (2) ta có vk + a1v1+a2v2+...+anvn =0 . Bộ số (1, a1, a2, ..., an) không đồng thời bằng 0 nên các véc tơ v1, v2, ..., vn không độc lập tuyến tính.
    Mâu thuẫn này chứng tỏ det A <>0. Điều kiện cần được chứng minh.
  4. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Định nghĩa tích có hướng của 2 véc tơ a (a1,a2,a3) và b (b1,b2,b3) trong không gian 3 chiều (trong mặt phẳng thì tất nhiên không có khái niệm này , còn trong không gian n chiều thì...không biết)
    Định nghĩa đại số : (thường được viết dưới dạng định thức véc tơ, để cho đơn giản ở đây tôi viết luôn biểu thức đại số) Tích của 2 véc tơ a, b ở trên là véc tơ c :
    c= (a2b3-a3b2, a3b1-a1b3, a1b2-a2b1) (1)
    Định nghĩa hình học : Tích có hướng của 2 véc tơ a, b là véc tơ c có độ lớn là diện tích hình bình hành có 2 cạnh kề tạo bởi a và b, có phương vuông góc với mặt phẳng chứa a, b và có chiều là chiều tiến của một cái đinh ốc khi ta xoay nó theo chiều từ a đến b. {2} (Mời các bạn nhòm qua cái hình đơn giản dưới đây)
    Để chứng minh 2 định nghĩa trên là tương đương chỉ cần chứng minh :
    (3) véc tơ c theo định nghĩa (1) vuông góc với mặt phẳng chứa a,b
    (4) độ lớn của véc tơ c theo định nghĩa (1) bằng diện tích hình bình hành AOBD .
    Chứng minh (3) rất đơn giản : bạn chỉ cần tính 2 tích vô hướng a.c va b.c sẽ thấy chúng đều bằng 0, do đó c vuông góc với a và c vuông góc với b, nên c vuông góc với mặt phẳng chứa a và b.
    Chứng minh (4) : bình phương độ lớn của véc tơ c theo định nghĩa (1) bằng :
    (a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2 (5)
    Còn bình phương diện tích hình bình hành AOBD bằng :
    OA^2. OB^2. sin<AOB^2= |a|^2.|b|^2. sin<AOB^2 (6)
    Theo tính chất của tích vô hướng của a và b thì
    cos<AOB= a.b/(|a|.|b|)
    vậy : cos<AOB^2 =(a.b)^2/(|a|^2.|b|^2)
    suy ra: sin<AOB^2= 1- (a.b)^2/(|a|^2.|b|^2)
    =[ |a|^2.|b|^2-(a.b)^2] /(|a|^2.|b|^2) (7)
    trong đó :
    |a|^2= a1^2+a2^2+a3^2
    |b|^2= b1^2+b2^2+b3^2
    (a.b)^2= (a1b1+a2b2+a3b3)^2
    Vậy |a|^2.|b|^2 - (a.b)^2 =
    =(a1^2+a2^2+a3^2)(b1^2+b2^2+b3^2) - (a1b1+a2b2a+a3b3)^2
    =(a2b3-a3b2)^2+(a3b1-a1b3)^2+(a1b2-a2b1)^2 (8)

    Thay (8) vào (7) rồi lại thay (7) vào (6) ta sẽ được (5). Vặy (4) được chứng minh.
  5. Scorps

    Scorps Thành viên quen thuộc

    Tham gia ngày:
    04/01/2002
    Bài viết:
    723
    Đã được thích:
    1
    Thực sự tôi vẫn chưa hiểu í của bạn ở cái chỗ bạn giả sử là có tất cả k số khác 0 ( 1<= k <= n) ,nhưng điều đó đâu có nghĩa là các số còn lại từ k+1 đến n là = 0 đâu.
    Bởi vì định lý đề cập là nếu tồn tại các số thực a1,a2,..,an không đồng thời bằng 0 thì cũng có nghĩa tương tự với biểu diễn dưới dạng biểu thức sau : |a1| + |a2| + ....+ |an| <> 0
    Vậy giả sử có k số khác 0 từ a1 đến ak thì |a1| + ...+ |ak| <> 0 ,-> là |ak+1| +...+ | an| có thể bằng 0 ,hoặc cũng có thể khác 0 .
    Do vậy theo tôi thì việc bạn nói là các số tù k+1 đến n là bằng 0 liệu có phải là ngộ nhận ko ?

    Scorps-NTH
  6. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Tại tôi tiết kiệm lời quá thành ra mới làm bạn không hiểu .
    Thế này bạn ạ: Giả sử trong dãy a1, a2, ..., an có tất cả k số khác 0 ( trong các số a1,a2, .., an phải có số khác 0 và có thể tất cả các số a1,a2,...,an đều khác 0, nên 1<=k<=n). Vì vai trò của các số a1,a2,..., an là hoàn toàn như nhau nên giả sử k số khác 0 của dãy là k số đầu tiên của dãy : a1, a2,...,ak
    Thực ra việc giả sử này chỉ nhằm mục đích làm cho việc viết các biểu thức được dễ dàng ,không ảnh hưởng gì đến cách chứng minh bài toán .
    Chẳng hạn , nếu k số khác 0 này không phải k số đầu tiên mà là k số bất kì : ai, aj, ...., al thì ta xét định thức của ma trận
    [ v1...aivi ...ajvj...alvl...vn] = ai. aj....al. det A. Chứng minh còn lại hoàn toàn tương tự như trường hợp k số khác 0 là các số a1,a2, ..., ak.
    Hy vọng lần này thì bạn sẽ hiểu .


    Được zcar sửa chữa / chuyển vào 09:59 ngày 10/11/2002
  7. farmer

    farmer Thành viên quen thuộc

    Tham gia ngày:
    26/02/2002
    Bài viết:
    407
    Đã được thích:
    0
    Cảm ơn bạn đã chỉ cho tôi cách chứng minh, nhưng để định nghĩa một vector cần có phương, chiều và độ lớn. Cái tôi không chứng minh được ở đây là cái chiều đấy ạ
    F./
    Thế giới thật rộng lớn
  8. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
  9. Scorps

    Scorps Thành viên quen thuộc

    Tham gia ngày:
    04/01/2002
    Bài viết:
    723
    Đã được thích:
    1
    Vậy là bạn lại hiểu nhầm thắc mắc của tôi rồi.Tôi ko thắc mắc về vấn đề bạn đánh số từ 1 đến k,rõ ràng là tôi đồng ý với bạn rằng trong n số từ a1 đến an có k số khác 0,bạn muốn giả sử là các số nào cũng được vì nó ko mất tính tổng quát.Nhưng điều đó ko có nghĩa là n-k số còn lại là đều phải = 0.Rõ ràng như bạn nói là "có thể tất cả các số từ a1 đến an đều khác 0".Do vậy cách bạn chỉ ra rằng a1v1+...+akvk=a1v1+...+anvn=0 vì các số còn lại ,tức n-k số còn lại đều bằng 0 tất là sự ngộ nhận.Bạn giải thích như thế nào về chỗ này,tôi ko hiểu là chỉ ko hiểu ở chỗ này thôi.

    Scorps-NTH
  10. zcar

    zcar Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    10/07/2002
    Bài viết:
    20
    Đã được thích:
    0
    Tôi thấy bạn hoặc là không đọc kỹ chứng minh của tôi hoặc là không hiểu nghĩa của từ tất cả . Tôi đã giả sử trong các số a1,a2,..., an có tất cả k số khác 0 có nghĩa là n-k số còn lại đều bằng 0 .
    Nếu trong n-k số còn lại mà có số khác 0 thì chẳng phải là trong các số a1,a2,...,an có nhiều hơn k số khác 0 ư? Điều đó trái với điều giả sử ở trên.

Chia sẻ trang này