Ai đó làm ơn tìm giúp xem lời giải sai ở đâu?

Ai đó làm ơn tìm giúp xem lời giải sai ở đâu?

Đề bài: Một lớp có 30 học sinh nam, 10 học sinh nữ. Chọn ra một nhóm 5 người thoả mãn điều kiện trong nhóm có cả học sinh nam và học sinh nữ. Tìm số các chọn?

Lời giải:
(Kí hiệu: rCn = tổ hợp chập r của n)
Cách cổ điển:
Chia ra bốn trường hợp:
-1 nam và 4 nữ: có 1C30 * 4C10 cách
-2 nam và 3 nữ: có 2C30 * 3C10 cách
-3 nam và 2 nữ: có 3C30 * 2C10 cách
-4 nam và 1 nữ: có 4C30 * 1C10 cách
Lấy tổng số các trường hợp sẽ được kết quả cần tìm.
Cách giải thông thường này không có gì phải bàn.

Lời giải thứ hai: (cho kết quả không đúng với cách giải thông thường)
Chọn ra một học sinh nam: có 1C30 cách
Chọn ra một học sinh nữ: có 1C10 cách
Như vậy nhóm chọn ra đã đảm bảo có cả nam và nữ. Khi đó chỉ cần chọn ra nốt 3 người trong số 38 người còn lại: có 3C38 cách.
---->theo quy tắc nhân có số cách chọn như sau:
1C30 * 1C10 *3C38
Kết quả này không giống với lời giải ban đầu.

Tôi chưa tìm ra lời giải sai ở đâu. Bạn nào biết làm ơn chỉ ra cho tôi với.
Xin chân thành cảm ơn.

Sai ở cách thứ 2, nói chính xác, cách thứ 2 không có xét đủ trường hợp.
Chọn 1 nam, và 1 nữ rồi, còn chọn 3 trong số 38 người còn lại, vậy trong 3 người đó, sẽ có mấy nam, mấy nữ ? bởi vì với số nam, nữ khác nhau, sẽ cho ra kết quả của cách 2 khác nhau.
Cách ngắn nhất để làm, thay cho cách thông thường là sử dụng indirect method ( phương pháp đối). Nghĩa là mình chọn một nhóm, ở đó không có người nào là nam. Như vậy, sẽ có 5C10 = 252 (cách)
Chọn một nhóm ở đó không có người nào là nữ . Như vậy sẽ có 5C30 = 142506 ( cách).
Với 30 nam, 10 nữ, và số phần tử chọn là 5. Ta sẽ có 5C40 cách chọn, ở đó không phân biệt là có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ. Chỉ biết nó sẽ bao hàm tất cả các trường hợp, hoặc chỉ có nam, hoặc chỉ có nữ, hoặc có cả nam cả nữ.
Từ đây, là lấy hiệu của 5C40 với số cách chọn mà chỉ có nam, và chỉ có nữ, ta sẽ được kết quả cần tìm:
5C40 - 5C30 - 5C10 = 515250 (cách)

Tôi không nghĩ lời giải thứ hai thiếu trường hợp đâu vì kết quả của lời giải thứ hai lớn gấp gần 5 lần kết quả đúng.
Tôi đưa ra lời giải thứ hai dựa vào một lời giải của một bài toán mà tôi thấy tương tự như sau:
"Cho lớp gồm 30 học sinh (30 nam và 10 nữ). Chọn ra nhóm 5 người với điều kiện nhóm có ít nhất một học sinh nam. Tính số cách chọn"
Lời giải:
Cách thông thường:
Cách 1:
Chia trường hợp như bình thường mọi người vẫn làm với các bài kiểu này.
==>Không bàn về cách giải này nữa.
Cách 2:
Giải bài toán ngược giống như bạn Color_Of_Wind đã đưa ra.
===>Không bàn về lời giải này bởi nó hoàn toàn đúng.
Lời giải thứ hai-- Lời giải cần ý kiến đánh giá của các bạn
Chọn ra 1 học sinh nam trưóc tiên(để đảm bảo nhóm đưọc chọn ra chắc chắn sẽ có một học sinh nam): có 1C30 cách.
Chọn ra 4 học sinh còn lại trong số 39 học sinh còn lại (để đảm bảo nhóm có đủ 5 học sinh, không cần quan tâm tới số thành viên nam hay nữ trong số này vì đã đảm bảo điều kiện có ít nhất một học sinh nam trong nhóm nhờ việc chọn ban đầu): có 4C39 cách.
-->Như vậy số cách chọn là: 1C30 * 4C39
Tôi đã kiểm tra đáp số và thấy rằng cả ba kết quả là như nhau.
Khi nhìn thấy lời giải trên, tôi thấy rằng đây là một ý tưởng rất hay. Bạn hãy nghĩ xem: Nếu tôi đổi lại đầu bài như sau: Lớp có 300 nam và 100 nữ. Nhóm có ít nhất 60 học sinh nam. Như vậy giải bằng lời giải thông thường thì số trường hợp rất lớn nhưng nếu giải như cách giải đặc biệt trên thì rất ngắn gọn.
Tuy nhiên vấn đề đã xảy ra khi tôi áp dụng lời giải này với bàn toán nhóm có cả nam và nữ. Vậy phải chăng đã có sự nguỵ biện trong lời giải của tôi.
Rất mong nhận đưọc các ý kiến của các bạn.

Cách giải thứ 2 của bạn sai vì bạn đếm trùng. Giờ giả sử như tổ hợp của bạn có anh A1, A2, A3, A4 và cô C1 đi. Tổ hợp đó có thể được tạo thành từ nhiều cách khác nhau(chọn anh A1, cô C1 vào, sau đấy là chọn 3 anh A2, A3, A4 hoặc là chọn anh A2 cô C1 rồi chọn anh A1, A3, A4). bạn thấy là bằng 2 cách chọn đó thì ta chọn được cùng 1 tổ hợp. Nhưng với cách đếm của bạn thì tổ hợp đó sẽ được tính 2 lần.

Thật là đúng không?
Cách 2:658008-252 không chia hết cho 10
Cách 3:30*4C39 chia hết cho 10
Cách 2 với cách 3 không cho cùng đáp số do cách 3 đếm trùng, sẽ cho ra kết quả lớn hơn nhiều so với cách 2.

Cám ơn các bạn đã giúp tôi tìm ra sai lầm trong lời giải của mình.