Bài toán 4 quả cân

Bài toán 4 quả cân

Có bài toán 4 quả cân bên ''Hỏi gì đáp lấy'' mà tớ làm mãi không ra, bên đó cũng chưa thấy dáp số. Mạn phép tác giả bê về ''nhà'' để các bác cao thủ cùng giải.

Chỉ dùng 3 lần cân (thăng bằng), hãy xác định 4 quả cân có khối lượng 1,2,3 và 4kg , nhưng trông giống hệt nhau.

Chứng minh là "không thể".

chiến thuật đặt 2 quả mỗi bên trước
sau đó mỗi quả một bên

Cách na?y cu?a bạn ti?m được 2 qua? cân 4kg va? 1kg ma? không ti?m được qua? cân 2kg va? 3kg. Pha?i thêm 1 lâ?n cân nưfa

Bài này có khi không giải được đâu các bác ạ. Em đang thử tìm cách chứng minh điều đó.

Cái này làm đơn giản mà bác.
Gọi 4 quả cân là a,b,c,d.
Lần 1:
Bỏ 2 quả a+b lên 1 bên cân, c+d lên bên kia. Bên nào nhẹ hơn thì chứa quả nặng 1kg. Bên nào nặng hơn thì chứa quả 4kg. Trường hợp cân thăng bằng thì 1 bên chứa quả 1+4, 1 bên chứa quả 2+3
Lần 2:
Đổi 2 quả a và c cho nhau. 1 bên cân chứa quả c+b, 1 bên chứa quả a+d. Cũng như trên bên nào nhẹ hơn thì bên đó chứa quả 1kg. Bên nào nặng hơn thì bên đó chứa quả 4kg. Nếu cân thăng bằng thì 1bên chứa 1+4, 1 bên chứa 2+3
Sau 2 lần cân thì xác định được quả 1kg và quả 4kg. Quả 1kg là quả mà làm cho 2 lần cân có chứa nó đều nhẹ hơn bên kia, hoặc là 1 lần cân nhẹ hơn 1 lần cân bằng. Quả 4kg là quả làm cho 2 lần cân bên có chứa nó đều nặng hơn, hoặc là 1 lần nặng hơn, 1 lần thăng bằng.
Lần 3: cân 2 quả còn lại với nhau. Quả nặng hơn là 3kg, quả nhẹ hơn là 2kg.

Cái này em cũng đã thử rồi bác ạ. Vẫn lọt lưới ít nhất là trường hợp ab=cd . Khi đó một bên là 4+1, một bên là 2+3. Sau đó hoán vị b và c, và cân tiếp. Bên nào nặng hơn sẽ chứa quả 4, bên nhẹ sẽ có quả 1
Bây giờ vấn đề là không biết quả 2 nằm bên nào, quả 3 nằm bên nào trong khi chỉ còn 1 lần cân. Ví dụ:
Ta có ac>bd.
khi đó a hoặc c phải là 4, b hoặc d phải là 1. Nếu a là 4 thì d là 1, nếu c là 4 thì b là 1. Với một lần cân cuối cùng thì không thể xác định đưọc.

Đây này bác này, em bị sót 1 chút. Em sửa cho hoàn chỉnh thì nó như thế này:
Cân lần 1 và lần 2 y hệt như ở trên đấy bác ạ. Nhưng lần thứ 3 thì thay đổi 1 chút.
Sau khi cân lần 1,2 xong thì có 2 trường hợp xảy ra(các trường hợp khác đối xứng).
Trường hợp 1:
a+b<c+d
c+b<a+d
Trường hợp này xảy ra thì có thể khẳng định b là quả 1kg, d là quả 4kg.
Dùng lần cân cuối cùng cân quả a với c với nhau. Quả nặng hơn là 3kg, quả còn lại là 2kg.
Trường hợp 2:
a+b<c+d
c+b=a+d
Trường hợp này có thể khẳng định là a và b phải là 2 quả 1kg và 2kg. Cân quả a và b với nhau, quả nào nặng hơn thì là quả 2kg, quả nhẹ hơn là quả 1kg. Quả 3kg là quả nằm cùng bên cân với quả 2kg, quả 4kg là quả nằm cùng bên cân với quả 1kg trong lần cân 1(hoặc 2) làm cho cân cân bằng.

Làm thế này mà ra được thì tớ đã xong từ lâu rồi.
Xem nhé...
Trường hợp 2:
a+b<c+d
c+b=a+d
Không lý gì a,b phải là 1 và 2 vì a,b còn có thể là 1,3 khi đó a=1, b =3, d=4 và c=2
Nếu lập bảng, trường hợp này sẽ xảy ra 4 trường hợp khác:
a 1 2 3 1
b 2 1 1 3
c 3 4 4 2
d 4 3 2 4
Không thể chỉ bằng một lần cân ( lần cuối ) với chỉ 3 khả năng >, +, < mà có thể phân loại được cả 4 trường hợp.

Ban đầu mình cứ tưởng ra ngay nhưng càng thử đủ mọi cách càng thấy không thể. Chứng minh được là không thể chỉ với 3 lần cân bằng cách xét các trường hợp của lần cân ban đầu ( mỗi bên 1 quả, mỗi bên 2, bên một bên hai, bên một bên ba ) rồi dẫn ra ít nhất một trường hợp cho quá 9 khả năng khác nhau. Khi đó chỉ với hai lần cần còn lại ( mỗi lần cân có 3 khả năng nên chỉ phân loại chúng thành 3 nhóm thôi ), sẽ không có cách nào phân loại từng khả năng một.
Trừ khi còn cách cân nào ma mình không nghĩ ra.