Bài toán cái ống hút

Bài toán cái ống hút

Các bạn thử làm bài này nhé, cũng hơi lạ

Có một cái cốc hình trụ bán kính R, mức nước trong cốc là H.
Một thằng bé nghịch, nó lấy cái ống hút bán kính r, chọc vào cốc, lấy tay bịt một đầu rồi lấy nước ra.
Coi như chiều đưa ống hút vào là thẳng đứng và đầu ống chạm đáy cốc. Coi thể tích thành ống = 0.
Hỏi sau bao nhiêu lần ''hút'' như vậy thì thằng bé lấy đuợc ít nhất 1/2 lượng nước trong cốc?

Tớ giải thế này, có nhiều chỗ giả sử nên có thể sẽ hiểu sai đề, nếu sai thì mọi người chỉ ra nhưng đừng có mắng mỏ nhé:

Coi là ống hút sau khi bị cậu bé bịt là chân không hoàn hảo. Theo bình thông nhau(phân tích giống giống phân tích ống Torricelli ấy) thì nước trong ống phải dâng lên để cân bằng áp suất khí quyển ở mặt trên của nước trong cốc. Theo tớ nhớ thì áp suất khí quyển bằng áp suất của một cột nứơc cao 10m thì phải=>dâng lên 10m nếu ống đủ dài, nếu không thì dâng đầy ống.
Để đơn giản thì coi là ống đủ dài để trong mọi trường hợp, nước dâng trong ống cao bao nhiêu cũng được(nói cao thì có lẽ không chính xác lắm vì cậu bé thì không thể đủ cao để dựng thẳng ống đâu. Nhưng tớ không biết tìm từ nào khác, nên đành chấp nhận dùng từ cao nhé, hay dùng từ độ dài nhỉ, nghe vẫn thế nào ấy).
Đơn vị từ đây chúng ta tính theo m nhé:
Ở lần hút thứ n,trước khi cắm ống, chiều cao nước trong cốc là Hn. Sau khi cắm, trước khi rút ống, chiều cao nước trong cốc là H''''n, chiều cao nước trong ống là hn.
Ta có :
pi.R^2.H''n+pi.r^2.10=pi.R^2.Hn: tổng thể tích nước trong cốc và trong ống lúc có ống mà chưa rút bằng thể tích trong cốc lúc chưa có ống(1)
pi.R^2.H(n+1)=pi.R^2.Hn-pi.r^2.hn: thể tích nước trong cốc sau khi rút ống bằng thể tích trước khi cho ống vào trừ thể tích nước trong ống(2)
hn=H''n+10:theo bình thông nhau(3)
Rút gọn các phương trình, thay (3) vào(2), rồi thay tiếp (1) vào sẽ có phương trình truy hồi dạng H(n+1)=aHn+k
=>từ H1=H, giải ra công thức Hn, tìm inf n trên {n|Hn<=H/2}
Đó là số lần hút cần tìm!
Nếu ống không đủ dài, thì cũng làm được, thay đổi công thức hn=chiều dài ống h thôi, tuy phải xét hơi lằng nhằng là đến bao giờ nước trong cốc đủ thấp thì dùng hn kiểu cũ, nhưng cũng dựa theo kiểu trên, vì thế tớ không làm trường hợp ống không đủ dài ở đây nhé!
Được gwens83 sửa chữa / chuyển vào 21:10 ngày 13/04/2007

Trường hợp tớ làm là chân không hoàn hảo, cũng hơi khó để đúng đúng không.
@anh dangiaothong: em có đọc bài anh, có phải đây chính là trường hợp ngược lại, sau khi bịt một đầu, cắm vào nước, ống vẫn có không khí, và không khí này là ở áp suất khí quyển có đúng không?
Được gwens83 sửa chữa / chuyển vào 18:48 ngày 13/04/2007

em thấy chị giải tuy hơi nhiều chữ nhưng lại dễ hiểu hơn bác giaothong
Tặng chị ít quà cám ơn

Thể tích nước là V thì lấy được Vr^2/R^2=Va
Như vậy sau n lần lấy sẽ được V(a+a^2+a^3+...+a^n)
Lấy hơn 1/2 tức a+a^2+...+a^n>1/2
a+a^2+...+a^n=a(1-a^(n+1))/(1-a)
=> 1-a^(n+1)>(1-a)/2a
-> a^(n+1)<1-(1-a)/2a=(3a-1)/2a
Như vậy nếu a<=1/3 sẽ không bao giờ lấy được quá nửa cốc nước
Với a>1/3 thì n+1>[log(3a-1)-log (2a)]/log(a) (a<1 nên log a<0)

Em xin nói rõ một chút cho ai vào đọc
Cái hệ số a của bác KTY là tỉ số giữa r^2 (ống hút)/R^2(cốc)
@ chị gwens83: Thủ tang chứng cứ nhanh ko là bị ăn mắng bi giờ

đây là một bài toán về cấp số nhân.
Sẽ gởi bài giải sau

, sao bọn trẻ con dạo này toàn thích bắt nạt người nhớn thế nhỉ! Chị nghĩ em nên đổi nick thành the dark-soul thì đúng hơn.
Em bảo chị phi tang mà lại public thế này thì có khác gì tặng chị một đòn hồi mã thương.
Đúng là bọn trẻ con bây giờ toàn là hậu sinh khả ố
Cơ mà em bảo chị phi tang cái gì ấy nhỉ, chị không hiểu(ngơ ngác, mắt chớp chớp(không hiểu bị con gì bay vào ấy))?
Được gwens83 sửa chữa / chuyển vào 20:29 ngày 13/04/2007