Nếu chỉ để giải bài toán này thì không khó, chúng ta có thể làm như sau: sqrt(1+x²) + sqr(1+(2-x)²) >= sqrt( (1+1)² + (x+2-x)² ) = 2sqrt(2) Còn sqrt(1+(1-x)²)>= 1 Do đó f(x) >= 1+ 2sqrt(2). Khi x = 1 thì có đẳng thức, do vậy giá trị nhỏ nhất của f là 1+ 2sqrt(2). Tuy vậy, mình thích nhìn bài toán dưới dạng sau: Cho A(1,0); B(1,1) và C(1,2). Khi đó bài toán sẽ được phát biểu dưới dạng: " Tìm điểm M(0,x) trên Oy sao cho MA+MB+MC nhỏ nhất" Với bài toán này chúng ta có thể giải như sau: Lấy đối xứng của B qua trục Oy, đặt tên là B'', hạ BH vuông góc Oy, H thuộc Oy. Khi đó: MA+MC >= HA+HC (chứng minh bằng cách lấy đối xứng của A qua Oy, chú ý tam giác A,B'',C là cân) MB >= HB Do đó điểm cần tìm là điểm H(0,1) Bài này lợi dụng rất nhiều chuyện A, B, C có B là trung điểm AC, chắc là khi thay đổi A, B, C thì sẽ không thể dùng cách này được nữa. Bạn nào rỗi thử tìm lời giải cho bài toán sau nhé: Cho tam giác ABC, đường thẳng (d) cắt AB, AC tại M và N. Tìm P trên (d) sao cho MA+MB+MC là nhỏ nhất. Mình cũng đã thử rồi nhưng chưa ra, bạn nào giải được post lên nhé! Chúc mọi người vui vẻ!
Cám ơn bạn Eiffel. Quả thật là khi tìm lời giải bài toán " tìm 1 điểm trên một đường thẳng sao cho tổng khoảng cách từ đó đến các điểm cho trước là nhỏ nhất" tôi đã thu được rất nhiều bài toán nhỏ khác chẳng hạn: Tìm một điểm sao cho tổng khoảng cách đến 3 đỉnh của tam giác là nhỏ nhất, .... . Bài toán ở trên có thể phát biểu ở dạng tổng quát hơn rất nhiều và lời giải đại số của nó không phải là dễ. Tuy nhiên lời giải của bạn có thể không chi tiết lắm. Tôi giải bài này như sau : Áp dụng công thức khai triển chuỗi sqrt(a^2 + e) = a + e/2 khi e -> vô cùng bé (???). Giả sử rằng hàm số có cực tiểu khi x=1 lúc đó xét giá trị x=1+e ta có: f(1+e)=sqrt(1+(1+e)^2) + sqrt(1+e^2) + sqrt(1+(1-e)^2) khi e -> vô cùng bé f(1+e)=sqrt(2) + (e^2+2e)/2 + 1+ e^2/2 + sqrt(2)+ (e^2-2e)/2=f(1) + 3e^2/2 luôn luôn lớn hơn f(1). Vậy x=1 là giá trị cần tìm.
