Bài Toán hay hay đây.

công thức tính tâm đường tròn nội tiếp

muốn nghiên cứu về tam giác thì mời các bạn vào địa chỉ sau:
http://agutie.homestead.com/files/triangles_1.htm

Được binh000 sửa chữa / chuyển vào 22:50 ngày 14/01/2007

Bác thử kiểm tra lại xem, hai bên chưa chắc đã có trọng lượng bằng nhau đâu, mà mô men tĩnh của chúng so với đường thẳng đi qua G là bằng nhau thôi.
Bác thử nghĩ đến một cái hình chữ T, phần trên là một hình chữ nhật nằm, phần dưới là một hình chữ nhật đứng, giả sử hai hình này bằng nhau ta sẽ thấy ngay trọng tâm của hình chữ T đó không nằm trên đường thẳng đi qua đáy dưới của hình chữ nhật nằm hay qua đỉnh trên của hình chữ nhật đứng, mặc dù đường thẳng này chia đôi diện tích. như vậy đường thẳng song song với nó đi qua trọng tâm của hình sẽ không chia đôi hình thành hai phần bằng nhau.

Ừ đúng vậy,
Coi bộ khó rồi đây.

Ừ nhỉ , bài toán cũng khá thú vị đấy chứ.
Tôi thấy các bạn đều hướng theo cách " chỉ ra một đường thoả mãn yêu cầu đưa ra" , đây là cách thông dụng cho những bài toán kiểu chứng minh tồn tại.
Tôi đề xuất lời giải thế này:
Giả sử tam giác cạnh a,b,c , chu vi P .Không làm mất tổng quát giả thiết a>=b>=c . Thế thì dễ dàng chứng minh: p2 = (a+b+c)2 >=8*a*c.
Từ đó : p/22 >= 4.ac/2 .
Thế thì hệ phương trình (1),(2) sau luôn có 2 nghiệm( tính cả nghiệm kép)
a'' + c'' = P/2 (1)
a'' * c'' = a*c/2 (2)
Bây giờ chỉ cần chứng minh hệ (1), (2) tồn tại nghiệm a'' < a và c'' < c .
Dễ thấy a'' ,. c'' là nghiệm của pt bậc 2 : X2 - P/2*X + a*c/2 = 0 .Thử các giá trị X = 0 ,X= a/2 ,và X= a dễ dàng suy ra pt có 2 nghiệm nằm trong các khoảng (0,a/2] và [a/2 , a].

Hic, mình tìm ra 1 cách giải mà ngay cả mình cũng ... không ngờ :
Giả sử đường thẳng qua O cắt AB, BC tại D, E như hình vẽ.
Theo bài ra :
e+d=(a+b+c)/2 (1)
Mặt khác diện tích tam giác DBE= ABC/2 nên :
ed=ac/2 (2)
(1), (2) suy ra e=... hơ hơ, có cần nói tiếp không ạ ?!
Phù, bây giờ mới là phần củ chuối đây ạ, các bác giải luôn bài tổng quát:
" Qua 1 điểm bất kỳ, hãy tìm đường thẳng chia đôi chu vi tam giác"
Được ksony sửa chữa / chuyển vào 20:27 ngày 18/01/2007

Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD, có
BD = BC/căn 2
BE = BA/căn 2
vậy diện tích của EBD bằng 1/2 diện tích của ABC
bây giờ các bác chứng minh nốt phần chia đôi chu vi nữa là xong