Bài Toán hay hay đây.

Được ca_ko_an_muoi_ca_buou_co sửa chữa / chuyển vào 09:38 ngày 19/01/2007

Được ca_ko_an_muoi_ca_buou_co sửa chữa / chuyển vào 09:39 ngày 19/01/2007

1.Hệ (1),(2) đã chắc chắn có nghiệm?
2.Còn phải chứng minh tồn tại nghiệm e< AB và d< BC
Cả bài toán này có 2 chỗ này hay...Kson cố lên...anh em cố lên. gần ra roài

Ôi, sorry bạn ! Vì hơi nóng vội nên chưa đọc bài của bạn.
Hệ (1), (2) theo mình chắc chắn có nghiệm nếu DE cắt cạnh nhỏ nhất (hic, nhưng bi giờ biện luận thì ... lười quá ! Đang hy vọng tìm ra cách giải tổng quát thì đưa luôn một thể).

Chính xác là có nghiệm(dk1) nếu đi qua cạnh nhỏ nhất và thoả mãn dk2 nếu đi qua cạnh lớn nhất , vấn đề này tôi đã trình bày trong bài trước rồi mà
gt: a>=b>=c
(a+b+c)^2 >= (a+2c)^2 >= 8ac
suy ra : ((a+b+c)/2)^2 >= 4(ac/2)~~~~>hệ pt có nghiệm
thử pt bậc 2 với các giá trị của biến tại 0 ,a/2 và a có thể khống chế khoảng tồn tại của nghiệm.Có lẽ tại lần trước tôi trình bày không được rõ ràng lắm.

sau một thời gian anh chị em mình cố gắng , cuối cùng có lời giải cuối cùng :
giả sử tam giác ABC có các cnhj a,b,c tương ứng với các đỉnh A,B,C và chu vi gọi là 2p.
Giả thiết a lớn hơn hoặc b
b.........................c.
Mục đích của ta là tim ra cái ****- ****ing point N trên BA và ta gọi BN=x > 0 ( ofcourse, ) sao cho cũng có 1 điểm M rên BC thảo mãn MB= p-x và đoạn MN chia đôi diện tích ABC. Thì đương nhiên :
0 nhỏ hơn hoặc bằng x
x....................................c (1)
và
0 nhỏ hơn hoặc bằng (p-x)
(p-x).................................... a (2)
mặt khác, ta phải có :
1/2 = dt BMNM / dt ABC = BN.BM / BC.BA = x.(p-x) / ac
that means :
2x^2 -2px + ac = 0 (3)
( x^2 tức là x mũ 2 các bác nhé)
do đó, ta phải tìm nghiệm x của phương trình (3) thoả mãn đk (1), (2)
Look at (3), we''ll have : delta'' = p^2 -2ac
do b lớn hơn hoặc bằng c nên :
p^2 -2ac = (a+b+c)^2 / 4 -2ac = 1/4 [ (a+b+c)^2 -- 8ac ]lớn hơn hoặc bằng 0
tức là delta'' lớn hơn hoặc bằng 0, vậy thì (3) có nghiệm là:
x1,2 =1/2.(p+/- cănbậc2( p^2 - 2ac) )
hiển nhiên x1,2 lớn hơn bằng 0. Ta có vài trường hợp sau :
1/ giả sử x = x1 nên :
(1) <=> p^2-2ac nhỏ hơn hoặc bằng (2c-p^2)^2 = 4c^2 -4cp +p^2
<=> -a nhở hơn hoặc bằng 2c-2p
<=> c lớn hơn hoặc bằng b.
===> để thoả mãn đầu bài khi x= x1 thì tam giác ABC cân tại A.
2/ giả sử x=x2 .
(1) <=> (1/2)( p - căn bậc 2( p^2 - 2ac) nhỏ hơn hoặc bằng c <=>
p-2c nhỏ hơn hoặc bằng cănbậc2(p^2-2ac)
+ tập hơp p-2c nhỏ hơn hoặc bằng 0 thì (1) hiển nhiên đúng với x = x2
+ tập hợp p-2c >0 thì
(1) <=> p^2-2ac lớn hơn hoặc bằng (p-2c)^2 = p^2-4cp+4c^2
<=>-a lớn hơn hoặc bằng-2p +2c
<=> b lớn hơn hoặc bằng c
x=x2 thoả mãn.
mặt khác (2) tương đương
p-x =(1/2) ( p+ căn bậc 2 ( p^2 -2ac) )nhở hơn hoặc bằng a
tương đương
cănbậc2(p^2-2ac) nhỏ hơn hoặc bằng 2a-p
vì a lớn hơn hoặc bằng b lớn hơn hoặc bằng c , nên a lớn hơn hoặc bằng p/2 hay là (2a-p ) lớn hơn hoặc bằng 0 vậy thì :
(2) tương đương với
p^2 -2ac nhỏ hơn hoặc bằng (2a-p)^2 = 4a^2 -4ap+p^2
tương đương với
a lớn hơn hoặc bằng b ( đúng với giả thiết) vậy với x=x2 thì các trường hợp (1) (2) đều thoả mãn.
tóm lại tồn tại ít nhất một đường như đề bài ra.

Không biết cách này có được không:
Thứ nhất là chúng ta có thể chứng mình là đường d đó nếu có phải đi qua tâm đường tròn nội tiếp I.
Thứ hai là nếu 1 đường đi qua I mà chia đôi chu vi thì cũng chia đôi diện tích.
Nên bây giờ ta sẽ chứng minh là tồn tại một đường đi qua I mà chia đôi chu vi:
Giả sử tam giác ABC có ba canh a, b,c ; a+b+c=2p
Không mất tổng quát, giả sử b<=a<=c
Chúng ta sẽ chứng minh là tồn tại một đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp cắt hai cạnh AC=b, AB=c của tam giác tại C'', B'': AB''+AC''=p
Đặt e= ^(IB'', IA)
ta sẽ có AB'' + AC'' là một hàm của e, đặt là f(e)
cho B''=B (d trùng phân giác góc B) dựa vào c>=a, và tính chất của đường phân giác, ta sẽ c/m được f(e)>=p (1)
Tương tự, cho C''=C (d trùng phân giác góc C)nhưng với b<=a ta c/m được f(e)<=p (2)
Khi ta quay d từ (BI)đến (IC), hay cho biến thiên góc e trong khoảng đó, ta thấy hàm f(e)là liên tục trong khoảng đó(một cách định tính khi ta thấy không có góc e nào trong khi quay mà làm f(e) không xác định, hoặc ta có thể làm định lượng chính xác bằng cách áp dụng công thức lượng giác tính theo góc và theo độ dài IA, mình viết định tính vì mình quên hết các phương trình lượng giác rồi nhưng mà ý tưởng thì hy vọng là không bị sai).
Từ (1),(2) và định lý về hàm liên tục, tồn tại e nằm trong khoảng hai góc trên sao cho f(e)=p, hay tồn tại d đi qua I cắt hai cạnh AC=b, AB=c của tam giác tại C'', B'': AB''+AC''=p
Vậy, tồn tại d thoả mãn , và do đó sẽ thoả mãn đề bài.

Có tồn tại hay không đường thẳng chia đôi chu vi và diện tích của một đa diện cho trước.

Này ông? Ông có biết gì về hình học không đấy? Thế nào là Đường thẳng chia đôi diện tích đa diện? Định spam à?

Sorry ....Đường thẳng chia đôi đa giác...