Bài toán hay tìm giá trị

Bài toán hay tìm giá trị

Đề ra: Cho hàm số f(x) = sqrt cosx + sqrt sinx
Tìm giá trị min, max của hàm số.
Giải thìch vì sao không dùng được đạo hàm?





Chờ lời giải hay từ các bạn.

Được nguoinguon sửa chữa / chuyển vào 10:46 ngày 11/05/2006

Đem mũ 4 lên được 1+6sinx cos x+4sqrt(sinx cosx)(sinx+ cosx)=1+3sin2x+2sqrt(2sin2x)2sin(x+pi/4). Tất cả đều cùng đạt giá trị lớn nhất khi x=pi/4. Tất cả đều không âm nên giá trị nhỏ nhất là 0
vậy có giá trị lớn nhất là 2/căn bậc 4 của 2
giá trị nhỏ nhất là 1.
Được KTY sửa chữa / chuyển vào 18:39 ngày 10/05/2006

min thì >=sin² + cos². Còn max thì Cauchy với cos²,sin² và mấy cái 1/2 là ra ấy mà

trước hết điều kiện tồn tại là sinx và cos x cùng dương do vậy x thuộc đoạn [0,pi/2].
áp dụng Bunnhia ta có:
(sqrt sinx + sqrt cosx )^2<= 2(sinx + cosx)
=2sqrt(2) sin(x+pi/4)
<=2sqrt(2)
max có khi sin(x+pi/4) = 1 hay x= pi/4
suy ra:
maxf(x)=sqrt(2sqrt(2)) khi x= pi/4. Hay max f(x) = căn bậc 4 của 8 tai x= pi/2.
Mặt khác:
ta lại có :
f^4(x) = sin^2x + cos^2x + 4 sinxcosx + 4sinx.sqrt(sinxcosx) + 4 cosx.sqrt(sinxcosx) >= sin^2x + cos^2x =1, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi sinx=o hoặc cosx = 0.
hay
minf(x)=1 khi và chỉ khi x=k.pi/2, k là số nguyên.