Bài toán này có dùng nguyên lý Dirichlet để giải đc kô ạ?

Bài toán này có dùng nguyên lý Dirichlet để giải đc kô ạ?

Có hay không một số tự nhiên k : 2009^k - 1 chia hết cho 10^5

Giải = định lý euler thì tìm đc k = 40000 ạ , nhưng nếu mang cách này cho phổ thông thì kô ổn vì em kô cm đc đl euler theo cách của hs . Các bác giúp em giải bài này = dirichlet hoặc cm giúp em đl euler với ạ ( kô phải cm theo kiểu cao cấp đâu ạ , cm để hs có thể hiểu được các bác ạ )
nếu có phương án gì các bác cứ cho em xin lời khuyên . Em xin chân thành cám ơn .

Xét 10^5+1 số 2009^0, 2009^1,2009^2,...,2009^(10^5) sẽ có hai số có cùng số dư khi chia cho 10^5. Thế là được mà.

"Có hay không một số tự nhiên k : 2009^k - 1 chia hết cho 10^5"
Có, đó là k = 0

Bài này phải thay cụm từ "số tự nhiên" thành "số nguyên dương" để tránh trường hợp tầm thường! Có thể chứng minh được sự tồn tại vô hạn số k thỏa mãn.
Dùng định lý Eurler để chứng minh theo kiểu "định lượng", còn muốn chứng minh theo kiểu "định tính" thì dùng nguyên lý Dirichlet.
Khẳng định của bài toán đúng do hai số 2009 và 10^5 nguyên tố cùng nhau. Đúng là chỉ cần xét 10^5+1 số nguyên (thậm chí chỉ cần xét 10^5 số), chẳng hạn: 2009^0, 2009^1, 2009^2,... 2009^(10^5).
Mỗi số nguyên khi chia cho 10^5 nhận một trong 10^5 giá trị từ 0, 1, 2... 10^5-1. Theo nguyên lý Dirichlet, trong dãy trên tồn tại hai số đồng dư với nhau theo modulo 10^5.
Giả sử hai số đó là 2009^m và 2009^n (với m>n), khi đó ta có
2009^m-2009^n chia hết cho 10^5, hay 2009^n[2009^(m-n)-1] chia hết cho 10^5. Do 2009^n và 10^5 nguyên tố cùng nhau nên suy ra
2009^(m-n)-1 chia hết cho 10^5. Chọn k = m-n ta có điều phải chứng minh!

Được Doinui sửa chữa / chuyển vào 07:40 ngày 24/01/2010

Không cần phải xét 10^5 số đâu.
K xét nghiệm tầm thường K=0 thì cũng thấy K=0 cho kết quả đúng.
Chỉ cần xét điều kiện chia hết cho 10^5:Trước hết xét điều kiện cần.
Vì 10^5 tận cùng bằng 0 nên điều kiện cần để 1 số chia hết cho 10^5 là số đó tận cùng bằng 0.
Ta đang xét số 2009^k-1 nên số này phải tận cùng là 0=>số 2009^k tận cùng là 1.Vì số 2009 sau khi luỹ thừa thì chỉ có thể tận cùng bằng 1 khi k chẵn hoặc tận cùng bằng 9 khi k lẻ nên để tận cùng bằng 1 thì k phải chẵn:k=2m với m nguyên dương.
Điều kiện đủ:Vì 10^5=100000 nên để 2009^2m chia hết cho 100000 không có nghiệm tầm thường như đã nói ở trên thì 2009^2m>=100000.Vậy m>=1.
Vậy nghiệm là k=2m>=2 với m nguyên dương.
(Tức là bây giờ có kết quả k= 2,4,6,8,...)