Bài toán "người sắp lớn": Kéo vật vào lỗ trên mặt phẳng nghiêng

Bài toán "người sắp lớn": Kéo vật vào lỗ trên mặt phẳng nghiêng

Tình hình là bài toán "người lớn" bên kia không ai có lời giải xác đáng cả, lý do chủ yếu là đề bài không rõ ràng. Xin mạn phép sửa lại đề như sau và mời các cao thủ nhào vô xơi:

Trên một mặt phẳng nghiêng (hợp với phương ngang một góc theta), có một vật được buộc vào sợi dây (có độ co dãn không đáng kể). Đầu kia của dây được xỏ qua một lỗ nhỏ trên mặt phẳng nghiêng. Ban đầu dây ở vị trí nằm ngang, dây được kéo qua lỗ sao cho trong thời gian T vật vạch được đúng 1/4 đường tròn (tâm là trung điểm đoạn dây tại thời điểm đầu). Giả sử trong quá trình chuyển động dây không bị chùng. Tìm hệ số ma sát giữa mặt phẳng nghiêng và vật trong 2 trường hợp sau:

a) Ban đầu vật đứng yên.

b) Ban đầu vật có vận tốc V vuông góc với dây và hướng xuôi theo chiều trượt xuống mặt phẳng nghiêng.



Ghi chú: dây được kéo theo một nguyên tắc nào đó miễn sao cho vật luôn chuyển động theo qũy đạo tròn tâm là trung điểm đoạn dây tại thời điểm đầu, không nhất thiết phải là kéo "từ từ" .

Anh Wety à, câu 1 thấy ngay là vô nghiệm bởi vì khi vật đứng yên trên mp ngang có nghĩa là nó đang ở trạng thái cân bằng nhờ ma sát nghỉ. Khi ta kéo vật, chuyển động đầu tiên của nó là theo phương nằm ngang, rồi sau đó mới tuột xuống. Do vậy không thể nào tạo ra 1/4 hình tròn được vì nếu thê, chuyển động đầu tiên phải là phuơng vuông góc với phương sợi dây.
Câu 2 không xác định v kéo dây, cả về độ lớn lẫn dạng: tuyến tính, bậc 2, 3..hay một hàm bất kỳ, thì cũng có thể vô số nghiệm. Giả sử ma sát rất nhỏ, ta phải kéo nhanh, và ngược lại. Có lẽ theo em nên nghĩ cách chứng minh nó vô số nghiệm.

Với câu a, vật ở trạng thái ban đầu có vận tốc bằng 0 là do trước đó có người dùng tay giữ nó đứng yên, tới thời điểm t = 0 mới buông tay ra . Nếu Psin(theta) > Fms thì vật vẫn có thể trượt xuống cho dù vận tốc đầu bằng 0.
Với câu b, không phải cứ kéo dây theo bất cứ kiểu gì cũng có thể cho chuyển động tròn được. Với trạng thái ban đầu của vật (tọa độ, vận tốc) và thời gian T được cho biết trước, lực F sẽ không bất định.

Thôi được câu a coi như bác giả thiết như vậy là có thể xẩy ra (kể ra cũng hơi khó thực hiện vì phải buông tay và kéo dây đồng thời).
Nhưng câu b thì em chưa sure lắm. Giả sử hệ số ma sát là k1, với các điều kiện khác của bài toán đã cho, hàm vận tốc kéo dây tìm được cho phù hợp để quỹ đạo có 1/4 hình tròn là V1 (V1=f(t) ). Vậy nếu hệ số ma sát là k2, ta cũng có thể tìm được hàm V2 thoả mãn, do đó bài có vô số nghiệm ?

Làm thế nào để kéo dây được như vậy là vấn đề kỹ thuật rồi, ta không bàn ở đây. Trong bài toán thuận, đúng là đối với các hệ số ma sát k khác nhau sẽ tìm được quy luật biến thiên của hàm F khác nhau, dẫn đến thời gian để vật đi được hết 1/4 hình tròn cũng khác nhau. Vì đề bài cho trước thời gian T rồi nên chỉ có một số hữu hạn giá trị của k cũng như quy luật hàm F thỏa mãn đề bài.

Sau đây là kết quả bằng số của 2 trường hợp cụ thể, có thể dùng để kiểm tra kết quả tổng quát:
TH1 ( m = 1kg, g = 10m/s2, R = 1m, V = 0, theta = pi/3, T = 1s) : giá trị k = 1.2018 thỏa mãn.
TH2 ( m = 1kg, g = 10m/s2, R = 1m, V = 0.1m/s, theta = pi/6, T = 1s ) : giá trị k = 0.29434 thỏa mãn.
Các giá trị k tìm được bằng cách thay đổi giá trị k đầu vào của chương trình mô phỏng cho tới khi vật quét được đúng 1/4 đường tròn. Vì vậy, nghiệm tìm được không chắc là nghiệm duy nhất.

Bắt đầu chưa? chưa ai bắt đầu à? Thế để tôi vậy. Không có nhiều thời gian, cùng làm nhé.
Gọi vận tốc điểm cuối vào lỗ là v1, vận tốc ban đầu là vo. Thời gian vật cđ từ lúc bắt đầu đến khi chui vào lỗ t2.
Ta có một phương trình: dL/dt = F
Ta có hình chiếu lên hai trục vuông góc là ( một chiều trùng với đường kính, một chiều vuông góc với đường kính):
m.dv(x) = Sigma F(x).dt (1).
m.dv(y) = Sigma F(y).dt (2).
Một phương trình hướng theo tâm hình tròn là:
Sigma F = m.v^2/R
Chiếu lên 2 trục x, y là:
m.v(x)^2/R = Sigma F(x) (3)
m.v(y)^2/R = Sigma F(y) (4)
Thay (3) vào (1); (4) vào (2) ta có:
R.dv(x) = v(x)^2.dt (5)
R.dv(y) = v(y)^2.dt (6)
Giải phương trình vi phân cơ bản này sẽ ra được v1 tính theo vo, t2 . Ai giải dùm với, tôi quên hết cách giải bài toán vi phân rồi.
Sau khi giải ra lắp vào (3) hoặc (4) tại điều kiện biên sẽ ra được k theo biến (N) (điểm fi = 0, điểm fi = 45 độ, đỉểm fi = 90độ). Từ đó ta hoán đổi các số hạng sao cho gom (N) về một chỗ trong biểu thức của k. Một điều cơ bản là chắc chắn k không được thay đổi tại mọi vị trí. Do đó là một điều kiện nữa để loại bỏ một ẩn ( đó là N). Vậy cái nhóm số hạng của (N) có giá trị bằng const. Gọi phương trình dó là A. Vậy bài toán tìm k thành ra c/m phương trình có nghiệm với mọi N. Nếu không có nghiệm, phương trình sai và sẽ không thể kéo vật vào lỗ hình tròn nếu như không kéo theo chuyển động đều.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 10:49 ngày 02/07/2007

Phương trình (3) và (4) của bạn chưa đầy đủ. Bởi vì vật có thể chuyển động tròn không đều, gia tốc tức thời có cả thành phần pháp tuyến.

Ờ Để lúc nào tôi xem lại.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 14:15 ngày 02/07/2007

Vậy giả sử tổng hợp lực F lên chất điểm là (F--&gt, gia tốc tương ứng là (a--&gt, vận tốc tương ứng là (v--&gt. (tổng quát thì các véc tơ này không trùng tiếp tuyến). CHiếu lên hệ toạ độ cực tâm (O) theo phương tiếp tuyến và pháp tuyến.
Tức là ta chia chuyển động chất điểm thành hai chuyển động có các đại lượng tương ứng với các chiều chuyển động như sau.
Theo phương tiếp tuyến:
Lực : Fq
vận tốc vq:
gia tốc aq = dvq/dt. Trường hợp chuyển động tròn đều aq=0
Phương pháp tuyến:
Lực: Fp
Vận tốc vp
gia tốc ap = dvp/dt.
(a--&gt = (ap--&gt+(aq--&gt = v^2/r.(p--&gt + dv/dt.(q--&gt.
(F---&gt = m. (a---&gt <==> F(--&gt = m.(aq--&gt + m. (ap---&gt
hay nói cách khác. Fp = ap.m; Fq= aq.m
hay Fp = m.v^2/r ; Fq= m.dvq/dt
Viết lại ta có hệ 2 phương trình:
Fp=m.v^2/r (1)
Fq=m.dvq/dt (2)
Fp và Fq lập được dựa vào N, k, ? và the ta, m.
Vấn đề là giải quyết góc giữa (v--&gt và (vq---&gt theo ? như thế nào đây?
vq = v.sin(pi - d?/2)
vp = v.cos(pi-d?/2).
Vậy Fq = m.d[v.sin(pi - d?/2)] (3)
Vậy từ (1) và (3) ta có quan hệ giữa dv và v ==> là phương trình vi phân, giải ra sẽ được k = F(N, the ta...) Biện luận để k có nghĩa sẽ ra nghiệm k.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 15:47 ngày 02/07/2007