Bất đẳng thức AM-GM

Bất đẳng thức AM-GM
Khái niệm cơ bản:
Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức quen thuộc và có ứng dụng rộng rãi, là bất đẳng thức đầu tiên mà các bạn phải ghi nhớ rất rõ và sử dụng 1 cách thành thạo. Khi sử dụng bất đẳng thức này ta phải chú ý đến điều kiện của đẳng thức khi a=b=c=d=... và cần tách hệ số cho phù hợp.
Dạng cơ bản là a^2+b^2>=2ab.
Có nhiều cách chứng minh bất đẳng thức AM-GM, cách chứng minh hay nhất có thể là cách chứng minh quy nạp của CauChy. Có lẽ vì vậy mà nhiều người hiểu lầm rằng Cauchy phát hiện ra bất đẳng thức này. Ông chỉ là người đưa ra chứng minh rất hay chứ không phải là người phát hiện đầu tiên, bất đẳng thức mà chúng ta hay thường gọi là Bunhiacopxki thực chất là phát minh của 3 nhà toán học Cauchy, Bunhiacopxki, và Schwarz. Theo cách gọi chung của thế giời bất đẳng thức Bunhiacopxki có tên là bất đăng thức Cauchy-Shwarz, còn bất đẳng thức mà chúng ta hay gọi là Côsi (Cauchy) có tên là bất đẳng thức AM-GM (Arithmetics Means - Geometric Means).
Nguồn: Trường học số
Các bạn có thể ghé thăm website http://truonghocso.com để trao đổi thêm về các vấn đề toán học.

Hôm nay Trường học số xin giới thiệu tới các bạn Kĩ thuật chọn điểm rơi trong Bất đẳng thức AM-GM
Như chúng ta đã biết, Bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức được sử dụng rất rộng rãi trong chương trình toán học THPT. Đặc biệt là trong các bài toán về chứng minh bất đẳng thức, nó đã thể hiện rõ ưu điểm của mình. Bất đẳng thức AM-GM không yêu cầu người sử dụng một trình độ quá cao về các kĩ thuật phân tích và biến đổi, mà chỉ cần ở mức độ trung bình là có thể sử dụng được bất đẳng thức này.

Vâng, AM-GM là một bất đẳng thức khá cổ điển mang dáng đấp khá đơn giản, dể sử dụng trong cả việc lựa chọn đối tượng và xét dấu “ = ” xảy ra. Tuy nhiên trong quá trình học tập, chúng tôi nhận thấy rằng, chính điều đơn giản này của bất đẳng thức AM-GM lại luôn gây ra cho học sinh những sai lầm không đáng có. Điều kiện dấu bằng xảy ra của bất đẳng thức AM-GM luôn là con dao hai lưỡi, nó có thể giúp ta giải bài toán nhanh hơn, chính xác hơn, nhưng cũng có thể biến toàn bộ bài giải của chúng ta về con số 0.

Sai lầm về dấu = trong bất đẳng thức AM-GM thường đến dưới hai dạng sau đây:
Dấu = của bất đẳng thức AM-GM không xảy ra.
Dấu = xảy ra không thuộc vùng giá trị chúng ta đang xét.

Do vậy, trong khi áp dụng bất đẳng thức AM-GM, chúng ta phải rất lưu tâm đến điều này. Ví dụ đầu tiên dưới đây sẽ giúp các bạn hình dung rõ hơn:
VD1: Với , tìm GTNN của

Khi nhìn thấy đề bài này, nhiều bạn sẽ nghĩ ngay tới việc sử dụng bất đẳng thức AM-GM trực tiếp cho 2 số và 4x với hi vọng khử hết được x.
Tuy nhiên sai lầm lại từ chính chỗ đấy:

Dấu = xảy ra 1/x=4x x=0,5 không nằm trong vùng mà ta đang xét là x>=2 .
Do vậy khi gặp tình huống này, học sinh tuy đã nhận ra sai lầm trong phép AM-GM trực tiếp, nhưng vẫn luống cuống vì không tìm được hướng giải quyết tiếp theo. Ở đây, để xét cho tổng quát, ta có thể tách 4x=ax+bx và dùng bất đẳng thức AM-GM cho và ax :

Dấu = xảy ra

Khi đã xác định được a và b, ta sẽ thay quay trở lại bài toán và sử dụng bất đẳng thức AM-GM một cách bình thường :

Dấu = xảy ra khi x=2.
Vậy GTNN của P là 17/2 khi x = 2.
Bằng cách phân tích gián tiếp như trên, ta đã biết được P đạt GTNN khi x=2, giá trị này được gọi là điểm rơi của bài toán. Khi đó nếu chúng ta sử dụng các BĐT trung gian trong bài giải của mình, các bạn luôn phải chú ý đến điều kiện để dấu = của các BĐT này xảy ra chính là điểm rơi của bài toán.
Để sử dụng bất đẳng thức AM-GM trong bài này, ta phải tách 4x thành x/4+15x/4 , vì khi sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho và thì dấu = của BĐT AM-GM xảy ra khi x=2 chính là điểm rơi của bài toán.

Phương pháp phân tích và sử dụng bất đẳng thức AM-GM như vậy được gọi là phương pháp chọn điểm rơi của bất đẳng thức AM-GM.
Các bạn có thể truy cập Trường học số để thảo luận về các vấn đề Bất đẳng thức
Website: http://truonghocso.com

Bất Đẳng Thức AM-GM
Nhiều bạn khi xem xong VD1 sẽ thắc mắc rằng có phải nhất thiết phải làm như vậy không, trong khi chúng ta vẫn có thể giải bài toán này một cách dễ dàng hơn bằng các phương pháp khác như sử dụng tính chất của hàm số, các kiến thức về giới hạn,…Đúng vậy chọn điểm rơi không phải là cách duy nhất để giải quyết bài toán trên, tuy nhiên hãy cứ tiếp tục đến với ví dụ 2 dưới đây, bạn sẽ thấy ngay điều chúng tôi muốn nói.

VD2: Tìm GTLN của biểu thức:

với a,b,c là các số thực dương thoã mãn a+b+c = 3.
Sau khi các bạn đọc xong đề bài này, tôi có thể khẳng định rằng nếu không sử dụng kĩ thuật chọn điểm rơi, bạn gần như không thể giải ra bài này bằng một phương pháp nào khác. Vì vậy, chúng ta cùng đến với lời giải dưới đây :
Để có thể làm mất căn bậc ba, ta phải sử dụng AM-GM cho 3 số cho tích a(b+c)/3 ( hai tích còn lại là tương tự ) . Vì đây là một Bất đẳng thức hoán vị vòng quanh ( vai trò của các biến là như nhau ) nên rất có thể dấu = xảy ra khi
a = b = c = 1. Tuy nhiên để cho chính xác ta cứ nhân thêm các số m,n,p vào tích a(b+c)/3 và sử dụng Bất đẳng thức AM-GM :

<=.......(các bạn tự phân tích và tính toán, vì bên này không hỗ trợ latex, nên mình không gõ được công thức)
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1.
Tuy nhiên khi đã quen với phương pháp này rồi, bạn đã tự tin với khả năng của mình, sau khi dự đoán được điểm rơi, bạn nên lựa chọn các số cho phù hợp với dấu = của Bất đẳng thức AM-GM, ta có thể nhẩm dễ dàng
Dấu = xảy ra khi a = b = c = 1.
Qua hai ví dụ trên, chúng ta có thể thấy ưu điểm của phương pháp chọn điểm rơi, nó luôn đi kèm với Bất đẳng thức AM-GM và không thể tách rời. Khi nào bạn có ý định sử dụng Bất đẳng thức AM-GM, hãy tự hỏi rằng : “ Dấu = của Bất đẳng thức AM-GM có xảy ra hay không, và nó có trùng với dấu = của bài toán hay không ”. Những câu hỏi như vậy sẽ làm bạn luôn cảnh giác với các đối tượng được sử dụng trong Bất đẳng thức AM-GM, khi đó ta có thể dễ dàng sử dụng các kĩ thuật như tách, ghép, nhân thêm , chia bớt,…để cân bằng các vế khi sử dụng Bất đẳng thức AM-GM.
Hy vọng với 2 ví dụ trên bạn có thể hiểu rõ về cách tìm điểm rơi trong bất đẳng thức AM-GM
Mọi ý kiến đóng góp hoặc bạn có nhu cầu ôn thi đại học bạn có thể liên hệ Trường Học Số - Mạng xã hội hỏi đáp.
Website: http://truonghocso.com

up