Bất đẳng thức thuần nhất

BẤT ĐẲNG THỨC THUẦN NHẤT

1.Một số khái niệm mở đầu:
Hầu hết các bất đẳng thức cổ điển (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowski, Chebyshev...) đều là các bất đẳng thức thuần nhất. Điều này hoàn toàn không ngẫn nhiên. Về logic có thể nói rằng, chỉ có các đại lượng toàn cục mới có thể so sánh với nhau một cách toàn cục được.
Chính vì thế bất đẳng thức thuần nhất chiếm một tỉ lệ rất cao trong các bài toán bất đẳng thức, đặc biệt là bất đẳng thức đại số (khi các hàm số là các hàm đại số, có bậc hữu hạn). Đối với các hàm giải tích (mũ, lượng giác, logarith) các bất đẳng thức cũng được coi là thuần nhất vì các hàm số có bậc vô cùng (theo công thức Taylor).
Trong bài này chúng ta sẽ đề cập tới phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức, cũng như cách chuyển từ bất đẳng thức không thuần nhất về một bất đẳng thức thuần nhất. Nắm vững và vận dụng phương pháp này chúng ta có thể chứng minh hầu hết bất đẳng thức sơ cấp.

2. Bất đẳng thức thuần nhất
Hàm số f(x1,x2,x3,...) của các biến số thực x1,x2,x3.... được gọi là hàm thuần nhất bậc k nếu với mọi số thực t ta có:

Bất đẳng thức dạng:

Với f là một hàm thuần nhất được gọi là bất đẳng thức thuần nhất (bậc k)
Ví dụ các bất đẳng thức AM-GM, bất đẳng thức Bunhiacopxki, bất đẳng thức Chebyshev là các bất đẳng thức thuần nhất. Bất đẳng thức Bernoulli, bất đẳng tức sinx0 là các bất đẳng thức không thuần nhất..

Các bạn có thể tham gia thảo luận về các vấn đề Toán Lý Hóa trên Trường Học Số.
Mọi thắc mắc vui lòng liên hệ website http://truonghocso.com

Phương pháp chứng minh bất đẳng thức thuần nhất
1. Phương pháp dồn biến
Đặc điểm của nhiều bất đẳng thức đặc biệt bất đẳng thức đại số dấu = xảy ra khi tất cả hoặc một vài biến bằng nhau (xuất phát từ bất đẳng thức cơ bản X^2>=0). Phương pháp dồn biến này dựa vào đặc điểm làm giảm biến số của bất đẳng thức, đưa bất đẳng thức về dạng đơn giản hơn có thể chứng minh đơn giản bằng khảo sát hàm 1 biến hoặc quy nạp.
Để chứng minh:

Ta có thể chứng minh:

hoặc:

sau đó chuyển việc chứng minh bất đẳng thức ban đầu về n-1 biến. Dĩ nhiên bất đẳng thức trung gian có thể không đúng hoặc chỉ đúng trong một điều kiện nào đó. Vì ta thay đổi 2 biến số nên tính đúng đắn của bất đẳng thức ta có thể kiểm tra dễ dàng.

Các bạn có thể tham khảo qua các cách chứng minh bất đẳng thức tại trường học số.

Mọi ý kiến thắc mắc xin liên hệ website: http://truonghocso.com

Bất đẳng thức thuần nhất

Sau đây là một số ví dụ điển hình cho phương pháp dồn biến.
Ví dụ 1:
Cho a,b,c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:


Chứng minh:
Xét hàm số:

Ta có:

Do đó nếu a = min{a,b,c} (điều này có luôn có thể giả sử) thì ta có:

Như vậy để chứng minh bất đẳng thức ban đầu ta chỉ cần chứng minh:

Nhưng bất đẳng thức này tương đương với:




Bài viết dựa trên Chuyên đề ôn luyện bất đẳng thức của thầy giáo Võ Quốc Bá Cẩn
Các bạn có thể thảo luận các vấn đề toán học tại http://truonghocso.com
hoặc bạn có đam mê về bất đẳng thức có thể truy cập chuyên mục Bất Đẳng Thức trên Trường Học Số.

up

up