BT liên quan đến giới hạn dãy

BT liên quan đến giới hạn dãy

Cho dãy {x[sub][/sub]n} (n=1 đến dương vô cùng) sao cho:
x[sub][/sub]1 = 1 x[sub][/sub]2 = -1
x[sub][/sub]n+2 = x[sub][/sub](n+1)2 - 0,5x[sub][/sub]n với mọi n>=1
[
Tìm lim x[sub][/sub]n

giải pt x=x2-0.5x, ra x=0, x=1.5. Bạn xét nốt cái na?o la? giới hạn cu?a dafy.
Được KTY sửa chữa / chuyển vào 21:34 ngày 09/02/2006

Trước khi giải pt đó thì phải CMR tồn tại giới hạn. Tớ sẽ CM = cách không hay lắm, hơi thiên về computing :
Thấy |x[8]| , |x[9]| < 0,25. Dễ CM được nếu |x[n]| và |x[n+1]| < 0,25 thì |x[n+2]|<0,25. Vậy |x[n]|<0,25 với mọi n>=8.
Xét pt x[n+2] = x[n+1]2 ?" 0.5x[n] với n>=8 và đặt y = max(|x[n]| , |x[n+1]|) => 0 < y < 0,25
Với x[n] >=0 : có |x[n+2]| <= max ( x[n+1]2 , |0,5x[n]| ) <= 0,5y.
Với x[n] < 0 : 0 < x[n+2] = x[n+1]2 + 0,5|x[n]| <= y2+0,5y = y(y+ 0,5) < 0,75y.
Tóm lại luôn có |x[n+2]| < 0,75.max(|x[n]| , |x[n+1]|).
Đến đây thì có thể suy ra ngay limx[n] = 0.
Với n lớn thì |x[n+1]| < 0,75.max (|x[n]| , |x[n-1]|) < 0,75.max (|x[n-1]| , 0,75.max (|x[n-1]| , |x[n-2]|) ) < 0,75.max (|x[n-1]| , |x[n-2]|) và cũng có |x[n]| < 0,75.max (|x[n-1]| , |x[n-2]|).
Vậy : max(|x[n]| , |x[n+1]|) <= 0,75.max (|x[n-1]| , |x[n-2]|).
Túm lại : x[2n] < 0,75n-4.max(|x[8]| , |x[9]|)
và x[2n+1] < 0,75n-4.max(|x[9]| , |x[10]|).
Vậy rõ là limx[n] = 0 rồi.
Được metamodel sửa chữa / chuyển vào 23:28 ngày 10/02/2006

đâu cần phải tới x[sub]8[/sub], x[sub]9[/sub]
có |x[sub]n+2[/sub]|<=y2+0.5y<=(1-ε)y thi? chuôfi x sef tiến tới 0 rô?i. Gia?i bất pt trên có y<=0.5-ε la? được. x[sub]5[/sub],[sub]6[/sub] đaf tho?a mafn điê?u kiện na?y rô?i.
Sao lệnh bị ho?ng hay sao ma? không gof được chi? số dưới thế na?y nhi?
Được KTY sửa chữa / chuyển vào 12:17 ngày 11/02/2006

Thật ra chỉ cần 2 phần tử liền nhau mà có trị tuyệt đối <0,5 là được, vì cũng dễ CMR các phần tử sau đó trở đi cũng sẽ có trị tuyệt đối <0,5, nhưng mà tôi lập trình tính hẳn vài chục phần tử đầu của dãy nên lấy x[8], x[9] luôn.
Được metamodel sửa chữa / chuyển vào 14:02 ngày 11/02/2006

Ai da mình cũng ko rõ lắm vì mới học về giới hạn dãy.
Vì x[n+2] = x[n+1]2 - 0,5x[n]
=> |x[n+2]|<= |x[n+1]2| +0,5|x[n]|
=> Tính thử các giá trị từ x1 đến x6 => |x6| = 71:256<72:256= 9:32 AD
=> |x7|<= 81:1024 +0,5 5/16 <1:4
Tương tự => |x8|< 5:6 * 1:4
|x9| < (5:6)2 * 1:4
Cm quy nạp =>0< |x[n]| < (5:6)n-7 * 1:4 với mọi n>=7
AD nguyên lý so sánh
=> lim|x[n]| = 0
=> lim x[n]= 0
Hì cũng có phần nhìu giống với bạn metamodel nhỉ
Được tairy sửa chữa / chuyển vào 22:18 ngày 11/02/2006
Được tairy sửa chữa / chuyển vào 22:21 ngày 11/02/2006

Làm thêm bài nữa nhé.
Tìm giới hạn dãy sau:
{x[n]} cho bởi x1 = 2,9
x [n+1] = căn 3 + x[n] : căn bậc 2 của (x2[n] -1)
với mọi n>=1
Bác nào làm đc bài này em vote 5 sao lun
Được tairy sửa chữa / chuyển vào 22:29 ngày 11/02/2006

Trước hết giải pt x = căn 3 + x : căn (x2-1)
được nghiệm a = (căn 15 + căn 3) : 2
Sẽ CMR nó chính là giới hạn dãy.
Không khó khăn gì để CMR 2 < x[n] < 3 với mọi n.
Đặt F(x) = x : căn (x2 -1).
Xét : |x[n+1] - a| = | căn 3 + x[n] : căn (x[n]2 -1) - ( căn 3 + a : căn (a2 -1) ) | = | F(x[n]) - F(a) |.
Nếu lấy đạo hàm F(x) sẽ thấy |F''(x)| < c < 1 với x >2. Do cả a và x[n] đều > 2 nên suy ra | F(x[n]) - F(a) | < c | x[n] - a | (có thể không dùng đạo hàm để CM điều này). Với pp đạo hàm thì c = 1/ (3.sqrt 3).
Tóm lại : | x[n+1] - a | < c.| x[n] - a | suy ra | x[n] - a | < cn-1.|x[1] - a| .
Vậy lim| x[n] - a | = 0 tức là lim x[n] = a.
Còn phần CM của bạn về bài trên hơi mò mẫm nhưng cũng có thể đúng, tôi ngại kiểm tra, bạn đã kiểm tra chưa, quy nạp có đúng ko?

Quy nạp đúng đó. Nhưng bọn mình chưa học đạo hàm => chắc ko đc sd trong bài. Hì bạn còn cách nào khác ko???
Được tairy sửa chữa / chuyển vào 18:06 ngày 12/02/2006

Bạn đọc chưa kỹ à, tôi đã gợi ý là hãy CM : | F(x[n]) - F(a) | < c.| x[n] - a |, với 0 < c < 1.