Các bạn giúp tôi với!

Các bạn giúp tôi với!

n>1 là số nguyên dương x(i),i=1,2,...,n là các số thực không âm có tổng bằng 1.Tìm Max của :
x(1).x(2)+x(2).x(3)+...+x(n-1).x(n)+x(n).x(1)

Hình như hôm trước bác ica vừa ra bài tập này cho lớp đội tuyển làm

anh Ica đâu rồi, lên chữa bài kìa

n=2,3 tự xét.
n>=4 thì chắc max là 1/4.

Các bạn nói cụ thể một tí,tôi đang rất cần lời giải đúng!

Tôi chưa giải ra bài này, nhưng tôi xin lưu ý các bạn là khi
x(1)=x(2)=...=x(n) và n>=4 thì tổng đó vẫn chưa đạt Max.
Đẻ ý là khi đó tổng bằng 1/n.
Thật vậy :
Cho x(1)=x(2)=1/2, x(i) = 0 với i>2
Khi đó :
Tổng = 1/4 >= 1/n do n>=4

n=2: đương nhiên là 1/2 rồi
n=3: Đương nhiên là 1/3
n>=4: Không mất tính tổng quát ta giả sử x(n).x(1) là min{x(k).x(k+1)}
Như vậy thấy ngay:
x(1).x(2)+x(2).x(3)+...+x(n-1).x(n)+x(n).x(1) <= (x(1)+x(3)+...)*(x(2)+x(4)+...) và theo cosi hiển nhiên <=1/4.
Dấu bằng thì x(1)=x(2)=1/2, còn lại là 0.

Cách giải của bạn nhtdhbk là chưa trọn vẹn
Với n là chẵn thì đó là cách giải rất hay và đúng.
Nhưng với n lẻ, ta thấy : khi khai triển tích
(x(1)+x(3)+...)*(x(2)+x(4)+...)
thì ko có số hạng x(n)*x(1)
Mặc dù bạn đã giả sử rằng x(n).x(1) là min{x(k)*x(k+1)}
nhưng trong khai triển tích trên ko có sự "dư thừa" một số hạng nào của tổng (cần tính Max) cả.
Và từ x(n).x(1) là min{x(k)*x(k+1)}, ta chưa thể khẳng định nó cũng là min{x(i)*x(j)} với j khác (i+1) mod n.
Như vậy, lời giải trên chưa hoàn chỉnh khi n là lẻ.

Dạo này nghỉ học đánh war nhiều quá đây mà. Nguy hiểm thật. Cám ơn bạn metamodel nhé. Bây giờ ta giả sử x(1)=min{x(i)} là ok ngay thôi. Khi đó nếu thiếu x(n).x(1) thì thằng này sẽ nhỏ hơn x(2).x(n) hoặc 1 thằng nào đó có x(n) là ok ngay thôi