Các bạn yêu toán như thế nào

Để coi như là motivation cho các bạn đang học toán phổ thông và có ý định sẽ học tiếp đại học về toán. Tớ xin phét nác một ít về các hướng toán học và ứng dụng cũng như tầm quan trọng của nó đối với tất cả các lĩnh vực trên thế giới.
1. Số lượng và thống kê
Ngày nay, theo số lượng thống kê của một nhà toán học lớn là Ulam, hàng năm thế giới có khoảng 200.000 research papers được công bố riêng chỉ trong toán học. Từ 5 nhánh toán học cơ bản gồm có Logic (fundamental mathematics), Algebra, Analysis, Geometry và Topology người ta phát triển thành khoảng 100 nhánh lớn mà có thể kể tên một số ngành quan trọng ra như:
a).Trong Logic và toán nền tảng:
- Logic
- Representation theory
- Category theory
- Fuzzy logic
...
b) Algebra:
- Linear Algebra ( eigenvalue, vector, matrix )
- Abstract Algebra ( group, ring, field theory)
- Algebraic number theory ( vua của các ngành toán, số học và đại số coi như sát nhập với nhau )
- non-commutative Algebra ( Matrix theory, ..)
- Homological Algebra ( Homotopy, Cohomology ..)
- Fields theory (quantum fields, number fields ....)
- Group theory (Galois theory)
- Combinatorics (cũng có thể coi là một nhánh của Algebra)
...
c) Analysis:
- Complex Analysis (giải tích phức)
- Harmony Analysis (các chuỗi Fourier, ..)
- Functional Analysis (giải tích hàm)
- Convex Analysis
- Statistics
- Stochastics
- Probablity
- Differential equaltion systems
- Partial differential equaltions
- Calculus
- Catastrophe Theory
-Chaos theory
...
d) Geometry:
- Algebraic Geometry (liên quan mật thiết với Algebra)
- Differential Geometry
- Discrete Geometry
- non-commutative Geometry
...
e) Topology:
- point- set Topology
- Algebraic Topology
- differential Topology
- Graph theory
...
Rồi từ 100 nhánh lớn ấy, người ta lại chia ra thành tổng cộng khoảng 3000 (!) nhánh toán nhỏ, mà ngày nay không có bất cứ một nhà toán học nào có thể có được một cái nhìn tổng quát về tất cả các lĩnh vực trong toán học. Cũng như hai nghiên cứu sinh làm tiến sĩ toán về hai lĩnh vực khác nhau (ví dụ một người làm về một đề tài trong Algebraic number theory là Euler systems, một người làm về một đề tài trong differential geometry là Dirac Operator ) có thể không hiểu tí gì khi đọc luận án của người kia (!!).
----------
2. Người ta đang làm gì trong toán học?

a). Toán rời rạc:
Cùng với sự phát triển của máy tính, một ngành toán học "rất cũ và khá mới" là Discrete mathematics (toán rời rạc) trở thành một nhánh quan trọng của toán học. Nó không mới- bởi vì nó là dạng toán học kết hợp giữa đại số cổ điển, toán tổ hợp, hình học cổ điển và số học cổ điển mà ngay từ ở phổ thông mọi người đều đã được học. Đối tượng nghiên cứu của toán rời rạc là những tập hợp hữu hạn phần tử, đếm được. Ngày nay, toán rời rạc có ứng dụng hầu như trong mọi ngành của xã hội- từ tính toán trong kinh tế, trong tin học, tối ưu hoá các dây chuyền sản xuất, tối ưu hoá các mạng lưới điện thoại, đường bay, chuyến bay .v.v. đều là những ứng dụng cơ bản của toán rời rạc.
Một số nhánh chính trong toán rời rạc là:
- Graphs theory : xuất phát từ Euler và bài toán 7 chiếc cầu ở Konigberg và sau này là bài toán tô màu bản đồ thế giới chỉ bằng 4 màu.
- Linear optimization : ứng dụng trong bất cứ lĩnh vực nào cần tối ưu hoá => đặc biệt quan trọng trong thực tế vì hầu như ở bất cứ lĩnh vực nào cũng ứng dụng được. Đây cũng được coi là ngành toán ứng dụng phát triển mạnh nhất trong thế kỷ 20.
- Combinatorial optimization : bao gồm cả linear optimization và intergers optimization - ứng dụng đặc biệt quan trọng trong kinh tế, tối ưu hoá sản xuất, tối ưu hoá các hệ thống giao thông, mạng lưới .v.v.
- Algorithms và algorithms number theory: ứng dụng chủ yếu trong tin học (computer algebra), trong việc mã khoá các tài khoản, thẻ trả tiền, nhà băng (password).
- Game theory: ngành này cũng có thể coi là một phần của toán rời rạc. Có ứng dụng cực kỳ quan trọng trong kinh tế, thương mại cũng như trong chính trị, chiến lược chiến thuật.
------
b) Đại số:
Đại số đã sát nhập số học thuần tuý trở thành một phần của mình và trở thành vua của các ngành toán. Nếu như chúng ta coi toán học là xương sống của tất cả các ngành khoa học tự nhiên và kỹ thuật (kể cả một số ngành khoa học xã hội) thì đại số hiện đại ( modern algebra hay còn gọi là abstract algebra) là xương sống của tất cả các ngành toán học. Hồi đầu thế kỷ 20- giải tích và đại số vẫn là hai ngành rất độc lập- thế nhưng đến đoạn giữa thế kỷ thì người ta đã công nhận rằng cấu trúc cơ bản của toán giải tích cũng chính là cấu trúc đại số. Vì thế, đại số ( cùng với những nhánh toán có liên quan trực tiếp đến đại số như hình học đại số ) là lĩnh vực tốn nhiều thần kinh công sức nhất và tập trung nhiều bộ não lớn nhất trong toán học trong nhiều thế kỷ qua.
Vì là nền tảng- hay chính xác hơn là nghiên cứu cấu trúc nền tảng của toán học ( như nhóm, vành, trường ) nên đại số có ý nghĩa quan trọng đối với toán học nói chung. Cũng chính vì thế- đây là lĩnh vực có ít tài nguyên để khai thác nhất đối với những người muốn nghiên cứu toán hiện nay.
Bởi vì, dễ hiểu thôi- hầu hết những gì có thể nghĩ ra được người ta đã làm cả rồi!!!!.
Ứng dụng thực tiễn nhìn thấy ngay của đại số hiện nay có lẽ là nằm trong lĩnh vực bảo mật (nhìn mục algorithms number theory ở trên).
----------------------
c) Giải tích:
Giải tích được gọi là ngành toán của vật lý và kỹ thuật. Khó có thể hình dung ra người ta sẽ làm như thế nào nếu không sử dụng hệ phương trình vi phân để mô tả các quá trình cơ học, các quá trình vật lý- các quá trình khí động lực học, nhiệt động lực học hay cả vật lý lượng tử .v.v.. Người ta còn phân chia một cách thô sơ rằng giải tích là ngành toán phục vụ thế giới tự nhiên, còn đại số (bao gồm cả toán rời rạc) là ngành toán phục vụ con người. Tất nhiên câu nói trên là sai vì các ngành toán có quan hệ qua lại với nhau rất nhiều. Giải tích hay đại số có quan hệ khá mật thiết, giải tích với Topology thì lại càng mật thiết hơn... Những ngành toán quan trọng nhất trong toán giải tích có lẽ là "Các hệ phương trình vi phân" và "toán thống kê" ( Statistic ). Toán giải tích cũng có lẽ là ngành toán có nhiều nhánh nhỏ nhất vì các ngành kỹ thuật, công nghiệp đòi hỏi rất nhiều công cụ lý thuyết khác nhau cho từng lĩnh vực một. Từ khi sản xuất công nghiệp được đẩy mạnh ở châu Âu thì giải tích cũng được phát triển mạnh mẽ. Trong vòng 2 thế kỷ qua, giải tích liên tục được phát triển và mở rộng không ngừng nghỉ.
-------
d) Hình học:
Hình học có lẽ là nhánh toán được phát triển nổi trội nhất trong thế kỷ 20 trong toán lý thuyết. Nhu cầu tìm hiểu hình dạng thực tế của vũ trụ, của các hạt nguyên tử, của cấu trúc phân tử- cũng như việc sử dụng hình học góp phần giải quyết các vấn đề số học đơn giản hơn nhiều.. đã thúc đẩy các nhà toán học hàng đầu lao vào hình học. Hình học giải tích (differential geometry hay Riemann geometry ) đã giúp Einstein xây dựng thuyết tương đối, không gian 4 chiều, tính chất cong của không gian... Vì thế ý nghĩa của nó cho vật lý vũ trụ là rất to lớn và trở thành mối quan tâm hàng đầu của các nhà vật lý vũ trụ. Các lý thuyết vật lý tiên tiến nhất hiện nay cũng được xây dựng và dùng hình học giải tích làm công cụ biểu đạt như lý thuyết dây và siêu dây (Superstring theory). Hình học bất giao hoán (noncommutative geometry) là ngành toán phục vụ cho công việc này- vì thế nó cũng đồng thời là một trong vài ngành toán được coi là sâu và tiên tiến nhất hiện nay.
Cho đến đầu thế kỷ 20 các nhà toán học đã gần như không quan tâm đến hình học cổ điển nữa cho nên hình học đại số coi như không phát triển. Đến giữa thế kỷ 20, hình học đại số ( đặc biệt kể từ sau khi A. Grothendieck xây dựng lại nền tảng của toàn bộ hình học đại số ) trở thành chìa khoá cho cả số học đại số lẫn nhiều ngành khác, trong đó có cả vật lý lượng tử.
Nếu không có những bước tiến đặc biệt của hình học đại số trong vòng 50 năm qua, thì bài toán Fermat lớn đã không có cách gì để giải được. Hình học đại số vì thế đồng thời có thể coi là một nhánh của hình học hoặc nhánh phát triển cao hơn của đại số- và thực tế nó là nhánh chủ đạo, phát triển mạnh và tập trung nhiều bộ não lớn nhất của toán học trong vòng 50 năm nay. Cũng chính vì thế - cả hai ngành hình học giải tích và hình học đại số rất khó hiểu và hầu như chỉ có thể được học khi bạn làm Master về toán (thạc sĩ) trở lên.
Một số nhánh hình học khác như hình học tổ hợp (Combinatorial geometry)- mà có thể coi là một nhánh của toán rời rạc- có rất nhiều ứng dụng trong thực tế- tương tự như các ngành khác trong toán rời rạc ( xem ở trên ) và một ứng dụng thú vị nữa của nó là ở trong Robotics.
------------
e) Topology:
Topology (Poincare gọi là analysis situs : giải tích vị trí ) có thể hiểu nôm na là "hình học kẹo cao su" hay "hình học về vị trí". Sự ra đời của Topology cần quay lại từ Euler với hệ thức nổi tiếng cho các đa giác đều: "M + G - C = 2". Nguyên nhân là vào khoảng giữa thế kỷ 19- nhà toán học lớn người Đức là Felix Klein có đưa ra một chương trình nổi tiếng mà về sau này người ta vẫn gọi là Erlangen Program (Erlangen là một địa danh của Đức- vào thời điểm đưa ra chương trình ấy Klein dạy ở đại học Erlangen). Nói tóm tắt thì chương trình Erlangen- hay ý tưởng của Klein là tìm cách phân lớp (classification) và tìm các bất biến (invariants) của các tập nghiệm của một phương trình đại số hay của một hệ thống toán bất kỳ. Vấn đề này cho tới ngày nay cũng vẫn là vấn đề chủ đạo của đại số và hình học đại số. Ví dụ trong hình học Euclid (hình học phẳng- hai đường thẳng song song thì không cắt nhau) thì tổng 3 góc là một Invarian => hình tam giác là một hình dạng invariant; hay hình tức giác cũng là một invariant (vì tổng 4 góc luôn bằng 360°). Tức là hệ thức của Euler về tổng số mặt + số góc - số cạnh = 2 cũng là một invariant.
Nhà toán học nổi tiếng người Pháp Poincare- ( người có chỉ số IQ dưới 80!!! ) đã lập luận rằng: "Nếu chúng ta đã biết được hệ thức của Euler đã chỉ ra rằng tất cả các hình đa giác đều đều có giá trị tổng số mặt cộng số góc trừ số cạnh bằng 2 - vậy thì cũng có thể coi rằng tất cả các hình đa giác đều đều cùng là các phần tử của một tập hợp đa giác. Nói một cách khác- chúng là những phần tử tương tự như nhau hay cụ thể hơn là chúng giống nhau." Từ lập luận ấy, Poincare đã được coi là cha đẻ của một lý thuyết mới mà ngày nay chúng ta gọi là Topology (cụ thể là algebraic topology).
Topology vì thế là lý thuyết toán coi các vật thể "khác nhau rõ ràng ràng" như một hình vuông lập phương với một hình quả bóng tròn là các vật thể giống hệt nhau, hay một chiếc vòng đeo tay và một quả chuông có móc tròn treo là giống hệt nhau. Vì thông qua một loạt những biến đổi liên tục hai chiều- các hình thù khác nhau này sẽ biến thành nhau.
Luật cơ bản của topology là không cho phép 2 điểm khác nhau thông qua các biến đổi để trở thành một điểm duy nhất. Ví dụ- chúng ta không được phép uốn một cái que thành một vòng tròn khép kín (vì hai điểm đầu và cuối que sẽ chập thành 1) nhưng nếu cái que đó là một quả bóng dài lép kẹp thì chúng ta có thể được phép thổi để cho nó trở thành một quả bóng dài - tức là cũng là một quả bóng tròn theo quan niệm của Topology rồi. Vậy nên những nguyên tắc cơ bản của topology là một hình A sẽ giống hệt như một quả bóng nếu nó không có lỗ thủng nào. Một hình B sẽ giống như một cái vòng đeo tay nếu như nó có 1 lỗ thủng. Quả bóng và cái vòng đeo tay là hai vật thể khác nhau và không thể biến thành nhau thông qua các biến đổi liên tục được.
Vậy có 2 invariants trong topology mà chúng ta có thể nhìn thấy ngay là "có lỗ thủng hoặc không có lỗ thủng". Trong không gian ít hơn 3 chiều, người ta phân loại được tất cả các vật thể vào thành 2 phân lớp- một phân lớp có đại diện là một quả bóng có vòng tai (số vòng tai có thể là 0 hoặc n tuỳ ý ) và một phân lớp nữa là một hình có lỗ thủng được ghép vào với một vòng tròn Mobius (vòng tròn vặn 180"- tớ sẽ giải thích cái này sau)....
Topology ra đời làm thay đổi hoàn toàn quan niệm cũ của toán học, của vật lý học. Người ta sử dụng topology để đặt lại nền tảng và quan niệm của hầu như tất cả các ngành toán học. Có lẽ, chỉ sau đại số- topology là ngành mà các lý thuyết của nó trở thành công cụ cho tất cả các ngành toán khác. Các nhà vật lý sử dụng topology để xem xét lại vũ trụ, vật lý lượng tử. Các nhà sinh học dùng topology để nghiên cứu cấu trúc xoắn của DNA. Các nhà kinh tế sử dụng ý tưởng của topology để đặt lại cách nghiên cứu về lời lãi, cung cầu của thị trường. Những người chế tạo máy móc, robots thì nghiên cứu topology để tìm cách giúp cho những thế hệ robot mới có khả năng nhận biết không gian, hình dung về không gian để có thể di chuyển và giữ thăng bằng được .v.v.
------
3-4 sẽ nói đến một số nhà toán học lớn, một số hướng chuyên sâu đặc biệt, cũng như vấn đề "tuổi, điểm dừng về sáng tạo của các nhà toán học.."
-----------------------------------

Học là biển khổ, quay đầu là bờ.
Được Cellist sửa chữa / chuyển vào 07:41 ngày 29/01/2004

3​

Một người đã định giải thích cho sự tồn tại và việc làm của mình thường phân biệt hai câu hỏi khác nhau. Câu đầu tiên là công việc mà anh ta đang làm liệu có đáng giá không; và điều thứ hai, tại sao anh ta lại làm việc đó, không kể đến giá trị của nó là như thế nào. Câu hỏi đầu thường rất khó và dễ làm nản lòng, trong khi đó câu thứ hai lại khá đơn giản. Một cách trung thực, câu trả lời cho chúng thường ở một trong hai thể loại; và loại thứ hai thường chỉ là một biến hình của loại thứ nhất, câu trả lời mà chúng ta thực sự quan tâm.
(I) ''Tôi làm cái tôi làm vì đó là một và cũng là cái duy nhất tôi có thể làm tốt. Tôi là một luật sư, một người buôn bán chứng khoán, hay một cầu thủ cricket chuyên nghiệp bởi vì tôi có năng khiếu thực sự cho công việc đó. Tôi là một luật sư vì tôi có một giọng lưỡi trôi chảy và tôi thích sự tinh tế của môn luật; tôi là một người buôn bán chứng khoán vì sự phán đoán thị trường của tôi rất tinh tế và nhanh nhạy; tôi là một cầu thủ cricket chuyên nghiệp vì tôi chơi tốt không thể tưởng tượng được. Tôi cũng đồng ý có lẽ sẽ tốt hơn nếu như tôi trở thành một nhà thơ, hay một nhà toán học, nhưng rất tiếc tôi lại không hề có một tý tài năng cho những môn như vậy.''
Tôi không cho rằng đây là lời bảo vệ của đa số người, vì rất nhiều người không thể làm bất cứ cái gì tốt cả. Nhưng chắc chắn đó là câu trả lời hợp lý, dù chỉ cho một phần nhỏ đại diện: có lẽ 5 hay 10% số người có thể làm một việc gì đó tốt hơn hẳn. Nó còn là một phần nhỏ hơn nhiều nữa cho những người có thể làm một việc gì đó "cực" tốt, và số người có thể làm hai việc tốt liền là không đáng kể. Nếu một người nào đó có một chút ít tài năng , anh ta nên sẵn sàng hy sinh tất cả để theo đuổi nó đến cùng.
Quan điểm này cũng đã từng được nhắc đến bởi tiến sỹ Johnson-
Khi tôi bảo với anh ta tôi đã từng được thấy (một người trùng tên) Johnson một lúc cưỡi ba con ngựa liền, anh ta nói ngay, ''Ông thấy không, một người như vậy phải được khuyến khích, vì tài năng của anh ta cho thấy khả năng to lớn của loài người...''
và một cách tương tự, Johnson chắc đã vỗ tay khen ngợi những nhà leo núi, những người bơi vượt kênh biển hay những người chơi cờ bịt mắt. Về phần tôi, tôi thực sự cảm kích với tất cả những điều đó về những thành quả đáng kinh ngạc. Tôi cũng cảm kích ngay cả với những nhà ảo thuật hay những người có khả năng nói tiếng bụng; và khi Alekhine và Bradman phá vỡ kỷ lục trước đó, tôi đã rất thất vọng nếu như họ không đạt được như vậy. Và ở điểm này, Johnson và tôi đều tìm thấy mình trong tiếng nói của công luận. Như W.J.Turner đã nói, chỉ có những tay "cù lần" mới không ngưỡng mộ những người "tai to mặt lớn".
Tất nhiên chúng ta phải phân biệt những tính chất khác nhau của mỗi công việc. Tôi thà là một người viết tiểu thuyết hay một họa sỹ hơn là một chính khách với danh tiếng tương tự; và có rất nhiều con đường dẫn đến sự nổi tiếng mà đa số chúng ta sẽ gạt bỏ ngay lập tức vì có thể nguy hại. Mặc dù vậy, những sự khác nhau đó hiếm khi có thể thay đổi lựa chọn của một người trong ngành nghề của mình, cái chính luôn là sự hạn chế trong khả năng của anh ta. Thơ ca có giá trị hơn cricket, nhưng Bradman sẽ thành một chàng khờ nếu như anh ta từ bỏ môn cricket để viết một vài bài thơ nhỏ loại hai (tôi chắc Bradman không thể làm tốt hơn thế). Nếu tài năng của Bradman trong môn cricket bớt đi một chút, và thơ ca lại hơn thì sự lựa chọn có thể sẽ khó hơn nhiều: Tôi không biết là tôi thích làm Victor Trumper hay Rupert Brooke nữa. Cũng may là khă năng như vậy rất hiếm khi xảy ra.
Tôi có thể thêm vào rằng những người như vậy khó có thể trở thành những nhà toán học. Thường thì có vẻ hơi phóng đại khi nói về sự khác nhau giữa trí tuệ của những nhà toán học so với những người khác, nhưng không thể phủ nhận là năng khiếu cho toán học là một trong những tài năng đặc biệt nhất, và thường rất khó có thể phân biệt giữa năng lực và sự uyên bác của các nhà toán học. Nếu một người theo nghĩa nào đó là một nhà toán học thực sự, thì 100 ăn 1 là toán của anh ta tốt hơn hẳn so với tất cả những gì mà anh ý có thể làm, và sẽ rất ngu ngốc nếu như anh ta lại đầu hàng, hay từ bỏ cơ hội phát huy tài năng của mình để chạy theo một việc gì đó trong những ngành khác. Sự hy sinh đó chỉ có thể giải thích bằng nhu cầu mưu sinh hay là do tuổi tác.

Strawhero

4​

Tôi nên nói một vài điều ở đây về vấn đề tuổi tác, vì nó là điều đặc biệt quan trọng cho các nhà toán học. Không có nhà toán học nào có thể cho phép mình quên rằng, toán học, hơn hẳn các môn nghệ thuật và khoa học khác, là một trò chơi của những người trẻ tuổi. Lấy một ví dụ đơn giản trong phạm vi nhỏ, tuổi trung bình của các thành viên trong viện hàn lâm là thấp nhất cho toán học.
Chúng ta có thể đưa ra nhiều thí dụ to tát hơn nhiều. Ví dụ như, ta có thể xem sự nghiệp của một con người chắc chắn là một trong ba nhà toán học vĩ đại nhất của thế giới. Newton từ bỏ toán học ở tuổi 50, và thực sự thì đã không còn hứng thú từ trước đó rất lâu rồi; chắc chắn ở tuổi 40 Newton đã nhận ra rằng những ngày tháng sáng tạo của mình sẽ không bao giờ còn nữa. Công trình và ý tưởng lớn nhất của ông, về vi phân và lực vạn vật hấp dẫn, nảy sinh trong đầu ông từ năm 1666, khi ông chỉ có 24 tuổi - ''những ngày đó, tôi đang ở đỉnh điểm cho những phát minh, cho toán học và triết học hơn bao giờ hết''. Newton có một số công trình vĩ đại khác khi ông gần 40 (quỹ đạo elliptic ở tuổi 37), nhưng sau đó thì ông làm rất ít và chỉ chau chuốt cho những gì mình đã làm.
Galois mất năm 21 tuổi, Abel năm 27, Ramanujan ở tuổi 33 và Riemann năm 40. Có một số người vẫn còn đưa ra những công trình vĩ đại một thời gian sau đó; kết quả của Gauss về hình học vi phân được công bố năm ông 50 (mặc dù ông đã có ý tưởng này từ 10 năm trước đó). Tôi không thể ngay lập tức đưa ra ví dụ về một thành tựu lớn đưa ra bởi một nhà toán học đã qua tuổi 50. Nếu một người đã nhiều tuổi mất đi hứng thú cho và từ bỏ toán học, sự mất mát đó có lẽ là không đáng kể, kể cả cho toán học hay cho bản thân ông ta.
Một mặt khác, cái lợi cũng không được là mấy; những thành tích ghi lại được của những nhà toán học đã bỏ toán cũng khá nản lòng. Newton làm công việc của mình khá tốt (chỉ khi ông không cãi nhau với những người khác). Painlevé không phải là một thủ tướng thành công của Pháp. Sự nghiệp chính trị của Laplace đầy tai tiếng, nhưng dù sao thì Laplace cũng không phải là một ví dụ tốt, thực sự ông không trung thực nhiều hơn là không có khă năng và không bao giờ có thể ''từ bỏ'' toán học. Sẽ rất khó để tìm được một nhà toán học hạng nhất sau khi đã bỏ toán mà vẫn dành được danh tiếng xuất sắc trong một ngành nào đó khác . Cũng có thể có một số người trẻ tuổi đã có thể thành những nhà toán học bậc nhất nếu anh ta theo đuổi toán học nhưng tôi cũng chưa bao giờ được nghe một ví dụ lọt tai. Tuy nhiên tất cả những điều này chỉ hoàn toàn xuất phát từ những kinh nghiệm rất hạn chế của bản thân tôi. Những nhà toán học trẻ có tài năng thật sự mà tôi biết đều luôn chung thủy với toán học, và không hề thiếu tham vọng, thậm chí còn thừa những điều đó; tất cả họ đều nhận ra rằng, nếu như có cái gọi là danh vọng, thì đó là con đường sẽ dẫn họ đến.
Pascal có lẽ là ví dụ điển hình nhất

Strawhero

5​

Vẫn còn một lời giải thích khác mà tôi gọi là biến tấu nhỏ của lời xin lỗi thứ nhất; nhưng tôi có thể gạt bỏ chỉ trong vài từ.
(II) ''Chẳng có một cái gì mà tôi có thể làm được tốt. Tôi làm cái tôi đang làm vì đơn giản là nó xuất hiện trên con đường của tôi. Tôi chưa bao giờ có một cơ hội nào để làm cái gì khác cả.'' Và lời xin lỗi này tôi cũng chấp nhận là khá thuyết phục. Cũng đúng khi nói rằng hầu hết mọi người không làm được cái gì giỏi. Nếu quả thực như vậy, thì việc người ấy chọn một ngành nghề nào cũng không ảnh hưởng gì lắm, và cũng chẳng còn gì để nói thêm nữa. Đó là một câu trả lời thuyết phục, nhưng khó có ai có thể nói như vậy với chút gì đó tự hào; và vì thế, tôi có thể giả sử là không ai trong chúng ta hài lòng về nó cả.

Strawhero

6​

Giờ sẽ là lúc chúng ta cùng nghĩ về câu hỏi thứ nhất mà tôi đưa ra ở mục 3, câu hỏi khó hơn nhiều so với câu thứ hai. Liệu toán học, toán học theo đúng nghĩa tôi và những nhà toán học khác vẫn quan niệm, có đáng để nghiên cứu, và nếu như vậy thì tại sao?
Tôi đã xem lại những trang đầu trong bài giảng đầu tiên của tôi ở Oxford vào năm 1920, trong đó có một chút tóm lược cho một lời xin lỗi cho toán học. Nó không thỏa đáng lắm (chỉ một vài trang), và được viết theo kiểu mà tôi không mấy tự hào (tôi nghĩ, nó như một bài luận đầu tiên mà tôi cho là "văn phong" của Oxford); nhưng tôi vẫn cảm thấy rằng, dù có phát triển thế nào đi nữa, thì nó cũng chứa đựng những phần thiết yếu của vấn đề. Tôi sẽ đề cập lại ở đây, coi như là mở đầu cho một cuộc thảo luận hoàn chỉnh.
(I) Tôi bắt đầu bằng việc nhấn mạnh tính vô hại của toán học - ''việc nghiên cứu toán học là một nghề hoàn toàn vô hại và không có ích''. Tôi vẫn nghĩ như vậy, nhưng hiển nhiên sẽ phải có một sự phát triển và giải thích hợp lý.
Liệu toán học đúng là không hề có ích? Về một mặt nào đó, đơn giản là nó không phải như vậy; ví dụ như, nó đem lại nhiều điều thú vị cho rất nhiều người. Dù vậy, tôi đang nghĩ về ''lợi ích'' theo một nghĩa khá hẹp. Liệu toán học có ích, trực tiếp có ích, như các ngành khoa học khác như hóa học hay sinh lý học? Câu hỏi này nhìn chung không dễ nhưng cũng không phải là đầy tranh cãi và tôi sẽ trả lời ngay lập tức là Không, dù một số nhà toán học khác, và hầu hết những người ngoài cuộc sẽ không nghi ngờ mà trả lời Có. Toán học có ''vô hại'' không? Một lần nữa, câu trả lời cũng không phải là hiển nhiên, và tôi bằng cách nào đó vẫn thích tránh trả lời, vì nó sẽ đưa ra cả một vấn đề lớn về tác động của khoa học tới chiến tranh. Toán học liệu có vô hại, theo nghĩa, ví dụ như hóa học đơn giản là không? Tôi sẽ quay trở lại cả hai câu hỏi này ở phần sau.
(II) Tôi tiếp tục nói rằng ''vũ trụ là vô cùng, và nếu như chúng ta lãng phí cuộc đời của mình, sự lãng phí cuộc đời của một vài con người lỗi lạc cũng không phải là một khủng hoảng to lớn'': và ở đây tôi dường như đã chấp nhận sự khiêm tốn mà tôi đã gạt bỏ trong vài phút trước. Tôi chắc đó không phải là điều tôi thực sự nghĩ trong đầu; tôi đang cố gói gọn trong một câu một ý mà tôi đã giải thích rất dài ở mục 3. Tôi đã cho rằng những người như chúng ta thực sự có một chút tài năng, và chắc chắn chúng ta đã không sai lầm khi dành hết cuộc đời mình cho nghiên cứu.
(III) Và cuối cùng (một cách tu từ, điều mà làm tôi thấy đau đớn bây giờ), tôi nhấn mạnh sự vĩnh cửu của những thành tựu toán học -
Những cái chúng ta làm có thể rất nhỏ bé, nhưng nó vẫn có một chút gì đó là vĩnh cửu; và làm được bất cứ một điều gì dù có vĩnh cửu ít đến đâu, dù đó chỉ là một định lý hình học, thì cũng là làm được điều hoàn toàn nằm ngoài khả năng của phần lớn người.
Và -
Khi vẫn còn những sự mâu thuẫn giữa khoa học cổ đại và hiện đại, chắc chắn sẽ còn nhiều điều để nói về những nghiên cứu, với những kết quả không bắt đầu với Pythagoras và sẽ không kết thúc với Einstein.
Tất cả những điều này nghe có vẻ ''hoa mỹ''; nhưng ý nghĩa của nó tôi vẫn thấy hoàn toàn đúng, và tôi có thể mở rộng nó ngay lập tức mà không ảnh hưởng gì đến những câu hỏi khác mà tôi vẫn để mở.

Strawhero

7​

Tôi sẽ giả sử rằng tôi đang viết cho những người đọc đầy, hoặc trong quá khứ đã từng, tràn đầy lòng tham vọng. Nhiệm vụ đầu tiên của một con người, ít ra cho một người trẻ tuổi, là phải có nhiều khát vọng. Tham vọng là một niềm say mê cao quý mà có rất nhiều cách thể hiện; có một điều gì đó đáng khâm phục trong tham vọng của Attila hay Napoleon: niềm tham vọng cao quý nhất đó là để lại cho đời sau một thứ gì đấy có giá trị vĩnh cửu-
Ở đây, trên những bãi cát dài,
Giữa những đại dương và đất liền,
Tôi sẽ viết hay xây cái gì đây,
Trước khi ánh đêm buông xuống?
Hãy chỉ cho tôi những điều thần bí
Đang chứa những cơn sóng tuôn trào,
Hay những pháo đài để thiết kế
Vẫn còn được nhớ mãi khi tôi qua đời.
Tham vọng luôn luôn là động lực đằng sau tất cả những công trình vĩ đại nhất của nhân loại. Nói riêng thì, thực tế cho thấy những đóng góp to lớn thiết thực cho hạnh phúc của loài người đều được tạo ra bởi những con người đầy tham vọng. Nếu phải lấy hai ví dụ nổi tiếng, chả nhẽ đấy không phải là tính cách của Lister và Pasteur? Hay một cách tương tự, vua Gillette và William Willett; ai trong thời gian gần đây đã cống hiến cho nhân loại nhiều hơn họ?
Sinh lý học cũng là một ví dụ khá tốt, vì đơn giản nó là một ngành khoa học có "lợi ích" thiết thực. Chúng ta phải cẩn thận trong sự nhầm lẫn chung của những lời xin lỗi cho khoa học: sự nhầm lẫn khi cho rằng những người mà công trình của họ đóng góp nhiều nhất cho lợi ích nhân loại thực sự nghĩ đến điều đó khi họ làm công việc của mình, hay nói riêng, một cách tương tự, đó là những nhà sinh lý học đều có một tâm hồn cao cả. Một nhà sinh lý học có lẽ sẽ rất vui mừng khi được biết công trình của mình có đóng góp cho loài người, nhưng động lực thúc đẩy và niềm khát vọng cho nó thực ra cũng chẳng khác gì so với những nhà học giả kinh điển hay một nhà toán học.
Có rất nhiều động lực cao quý dẫn con người đến việc nghiên cứu, nhưng chỉ có ba điều là quan trọng hơn cả. Điều đầu tiên (nếu như không có điều này thì hai điều sau cũng là vô nghĩa) đó là sự tò mò trí tuệ, niềm mong muốn tìm hiểu sự thật và vươn đến chân lý. Tiếp đó là sự kiêu hãnh trong nghề, sự khao khát muốn được hài lòng với công việc của mình, sự xấu hổ của bất cứ một người nghệ nhân tự tôn khi thấy thành quả của anh ta không xứng đáng với năng lực của mình. Và cuối cùng là tham vọng, khát vọng cho danh tiếng, địa vị và thậm chí có thể là quyền lực hay tiền bạc mà nó có thể mang lại. Nó có thể rất tuyệt vời khi anh cảm thấy công việc của mình đã đem lại hạnh phúc hay giảm những nối đau cho người khác, nhưng đó không phải là lý do anh làm như vậy. Do đó, nếu như một nhà toán học, hay một nhà hóa học, hay thậm chí một nhà sinh lý học nói với tôi rằng động lực thúc đẩy anh ta là lợi ích nhân loại thì tôi sẽ không thể tin được (tôi cũng không nghĩ về anh ta tốt hơn nếu như tôi có tin đi chăng nữa). Động lực chính của anh ta chắc chắn phải là những điều tôi đã đề cập ở trên, và chẳng ai cần phải xấu hổ vì chúng cả.

Strawhero

8​

Nếu sự tò mò trí tuệ, sự kiêu hãnh trong nghề và tham vọng là động lực chính thúc đẩy đến nghiên cứu, thì chắc chắn không ai có nhiều cơ hội để giải thích hơn một nhà toán học. Môn của anh ta là đáng tìm hiểu hơn cả- không có điều gì mà chân lý có thể đùa cợt được. Nó chứa đựng những công cụ trau chuốt, tỉ mỉ và quyến rũ, và mang đến những cơ hội không gì sánh được cho việc thể hiện tài năng của con người. Và cuối cùng, lịch sử đã cho thấy, những thành tựu toán học, bất kể giá trị bên trong của nó là thế nào, là những thứ tồn tại lâu dài và vĩnh cửu nhất.
Chúng ta có thể thấy điều này ngay cả ở những nền văn minh trung sử (?). Nền văn minh Babylon và Assyrian đã bị hủy diệt; Hammurabi, Sargon và Nebuchadnezzar là những cái tên vô nghĩa; mặc dù vậy toán học thời Babylon vẫn còn được quan tâm, và hệ thống chia độ trên 60 của người Babylon vẫn còn được dùng trong thiên văn học. Nhưng tất nhiên, ví dụ quan trọng nhất là của người Hy Lạp.
Những người Hy Lạp là những nhà toán học đầu tiên vẫn còn "sống" với chúng ta ngày nay. Toán học phương đông có thể cũng là một điều thú vị nhưng toán học của người Hy Lạp là một cái gì đó thực sự. Người Hy Lạp là những người đầu tiên nói thứ ngôn ngữ mà những nhà toán học hiện đại vẫn có thể hiểu; như Littlewood đã có lần nói với tôi, họ không phải chỉ là những cậu bé thông minh ở trường học, cũng không phải là những sinh viên đáng được nhận học bổng, mà là "những thành viên của một học viện khác". Do đó toán học Hy Lạp là "vĩnh cửu", lâu dài hơn cả văn học Hy Lạp. Archimedes (Ácsimét) sẽ còn được nhớ đến trong khi Aeschylus bị quên lãng, bởi vì ngôn ngữ thì chết đi nhưng những ý tưởng toán học thì không. "Bất tử" có thể là một từ lố bịch, nhưng có lẽ một nhà toán học có nhiều cơ hội nhất cho bất kể điều gì nó có thể có nghĩa.
Anh ta cũng không phải sợ tương lai sẽ không công bằng với mình. Bất tử đôi khi cũng buồn cười và tàn nhẫn: một số người trong chúng ta có thể đã chọn là Og, Ananias hay Gallio. Ngay cả trong toán học, đôi khi lịch sử cũng bị nhẫm lẫn; Rolle xuất hiện trong các sách toán giải tích như là một nhà toán học ngang hàng với Newton; Farey vẫn sống mãi vì không thể hiểu một định lý Haros đã chứng minh mười bốn năm trước đó; tên của năm người Na Uy đáng quý vẫn được nhắc đến trong cuộc đời của Abel, chỉ vì những hành động ngu đần của họ mà con người vĩ đại của đất nước đã phải trả giá. Nhưng nhìn tổng thể thì lịch sử thường công bằng, và điều này nói riêng thường đúng trong toán học. Không có một ngành khoa học nào có những tiêu chuẩn rõ ràng, được chấp nhận rộng rãi, và những con người được nhớ đến hầu như luôn luôn là những người xứng đáng với nó. Danh tiếng của toán học, nếu như anh có đủ tiền để trả cho nó, là một trong những sự đầu tư có cơ sở và vững vàng nhất.

Strawhero

Đoạn dưới đây là một phần trong mục chú giải ở cuối sách, nhưng là về phần này nên em bê lên đây.
--------------------------------------------------------------------

Chú giải​

Tiến sỹ Snow có đưa ra một điểm khá độc đáo ở mục 8. Ngay cả nếu như chúng ta chấp nhận rằng "Archimedes sẽ còn được nhớ đến trong khi Aeschylus thì bị quên lãng", phải chăng sự nổi tiếng của toán học là một điều gì đấy rất "mơ hồ"? Chúng ta vẫn có thể vẽ ra được chân dung về tính cách của Aeschylus (chắc chắn còn hơn thế nữa với Shakespeare và Tolstoi) chỉ qua những tác phẩm của họ, trong khi đó Archimedes và Eudoxus sẽ mãi chỉ còn lại đơn giản là những cái tên.
Quan điểm này được J.M.Lomas nhắc lại với nhiều hình ảnh hơn khi chúng tôi đi qua tượng đài Nelson ở quảng trường Trafalgar. Nếu như tôi có một tượng đài tưởng nhớ ở Lonđon, tôi sẽ muốn nó rất cao đến nỗi tượng không còn nhìn rõ, hay đủ thấp để mọi người có thể nhận thấy được những đặc điểm của tượng? Chắc là tôi sẽ chọn lựa chọn thứ nhất, tiến sỹ Snow, khả năng lớn, sẽ chọn cái thứ hai.

Strawhero

9​

Tất cả những điều đã nói rất thỏa mãn với những nhà học giả ưu tú, và đặc biệt cho những giáo sư toán học. Mọi người, luật sư hay chính khách hay những nhà doanh nghiệp, vẫn cho rằng một nghề dính dáng đến lý thuyết trừu tượng thường chủ yếu là dành cho những con người thận trọng và không tham vọng, những người chỉ quan tâm chủ yếu đến sự an nhàn và bảo đảm của chính mình. Sự chỉ trích thực ra khá nhầm lẫn. Những nhà học giả thường chấp nhận đầu hàng một số thứ, trong đó nói riêng là cơ hội làm ra nhiều tiền- một giáo sư rất khó có thể kiếm được £2000 một năm; và vị trí bảo đảm là một trong những yếu tố nói riêng làm sự đầu hàng này khá dễ dàng. Nhưng đó không phải là lý do tại sao Housman đã từ chối trở thành Nghị sỹ Simon hay Nghị sỹ Beaverbrook. Ông từ chối điều đó bởi vì tham vọng của chính bản thân mình, vì ông sẽ thấy khinh bỉ mình khi trở thành những con người sẽ bị quên lãng chỉ trong vòng 20 năm.
Mặc dù vậy, quả thật là đau đớn khi thấy rằng, với tất cả những lợi thế như vậy, một người có thể nhầm lẫn. Tôi vẫn nhớ Bertrand Russell có kể cho tôi về một giấc mơ khủng khiếp. Russell đang ở trên tầng trên cùng của thư viện trường đại học, khoảng năm 2100. Một người giúp việc ở thư viện đang đi vòng quanh các giá sách và mang theo một cái xô to khủng khiếp, lấy từng quyển sách một, liếc qua chúng, sau đó thì hoặc là xếp lại chúng trên giá hoặc là quẳng vào xô. Cuối cùng anh ta đi đến ba tập sách lớn, Russell có thể kịp nhận ra đó là những bản sao cuối cùng của Principia Mathematica. Người thủ thư lấy xuống một quyển, lật vài trang đầu, dường như suy nghĩ về những ký hiệu lạ lùng trong vài phút, đóng sách lại, cầm sách trong tay và cân nhắc...

Strawhero

1 bài viết quá hay. vote cho bác 5 *.
Từ truớc đến nay , nguời được Home vote đếm trên đàu ngón tay đấy bác à!!Hiiii. Có vẻ như hơi câu bài !!