CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ SỐ HỌC 1 NHỮNG VẤN ĐỀ CĂN BẢN 1.1nguyên tắc dirichlet(peter dirichlet, 1805-1859)nguyên tắc này thoạt trông có vẻ đơn giản nhưng lại có rất nhiều ứng dụng trong việc giải toán. nó được phát biển như sau: nếu ta nhốt n chú thỏ vào n-1 ***g thì tồn tại mọt ***g chứa nhièu hơn một chú thỏ.đây là cách phát biểu phổ phổ dụng nhất,ví dụ :trong các sách tiếng anh ,gọi đây là nguyên lí chuông bồ câu(pigeon-hole pigeon:if 5 pigeons fly into 4 pigeon-holes then at the least one pigeon -hole contains 2 ore more pigeons) một cách chính xác hơn :nếu n thuộc số nguyên dương và n+1phần tử (hoặc nhiều hơn)được chia vào n tập hợp thì tồn tại ít nhất mọt tập hợp chứa nhiều hơn motl phần tử. cm:giả sử trong n taạp hợp không có tập nào chứa nhiếu hơn 1 phần tử thì số phần tử được chia vào n tập nhiều nhất là n điều này mâu thuẫn với giả thiết là có n+1 phần tử.ta có điều phải chứng minh. ví dụ :trong ngăng kéo của tôi có ba đôi găng tay khác nhau tuàng đôi mọt ,một buổi sáng trời hãy còn tối , tôi cần có găng tay để đi làm nhưng khônh muốn bậT ĐÈN làn phiền mọi người tôi đã nghĩ ra :lấy 4 chiếc găng bất kì và đen ra ngoài sáng và tôi đã làm đúng. vd2 :trong mf toạ độ cho năm điểm có toạ độ là các số nguyên cmr luôn chọn được ít nhất 2 điểm mà toạ độ trung điểm của chúng cũng là các số nguyên. cm:có bốn dạng toạ độ có tính chẵn lew khác nhau của 5 điêm đã cho lachẵn;lẻ) (chẵn:chẵn) (lẻ;chẵn) (lẻ;lẻ) {xem như là 4 chuồng} như vạy có ít nhất hai điểm có cùng tính chẵn lẻ gọi hai điểm này là P[sub][/sub]i(a;b) và P[sub][/sub]j (c;d) khi đó toạ độ trung diểm của chung là A(a+c/2;b+d/2)là các số nguyên. 1.2 NGUYÊN LÍ CHUỒNG BỒ CÂU MỞ RỘNG nếu chuồng bồ câu có k lỗ và nhiều hơn mk con bồ câu bay vào thì tồn tại ít nhất một lỗ có m+1 con bay vào.(cm tương tự) vd: có 30 học sinh cùng làm mọt bài trắc nghiệm có một học sinh mắc 12 lỗi số còn lại mấc ít lỗi hơn cmr có ít nhất 3 hs mắc cùg số lỗi. cm.co 29 hs mắc ít hơn 12 lỗi .khi đó ta xây dựng 12 tập hợp mang tên tượng trưng là tập 1 lỗi , 2 lỗi ...... 11 lỗi.ta có 29>2.12 lỗi theo nguyên lí dirichlet mở rộng, có ít nhát 2+1=3 hs có cùng một số lỗi. sau đay là một số bài để các bạn giải thử: 1.các số từ môt đến mười được sắp xếp ngẫu nhiên xung quanh một vòng tròn.cmr có ít nhất 3 số liên tiếp mà tổng của chúng lớn hơn 17. 2.cmr trong một buổi tiệc luôn có ít nhất 2 người có cung số người quen. .
Gọi buổi tiệc đó có n người, nếu mỗi người quen ít nhất 1 thì phải có 2 người có cùng số người quen vì số người quen là 1,2,...,n-1 mà có n>n-1 người. Nếu có ít nhất 1 người không quen ai thì làm tương tự.
Đánh số các số a0, a1, a2, ....,a9. Trong đó chọn ra số 1, ko mất tính tổng quát, chọn a0 = 1. Ta cố các cặp số liên tiếp gần nhau: (a1 + a2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6) + (a7 + a8 + a9) = 2 + ... + 10 = 54. Tổng 3 số = 54 => tồn tại ít nhất 1 số >= 54/3 = 18 ( > 17)=> ĐPCM
hai bạn chỉ có thể được 50% số điểm mà thôi.tôi biết là các bạn có thể giải được, song bài giải của các bạn không có chút gì gội là tính chặt chẽ của toán học cả.lần sau có lẽ các bạn nên trình bày hoàn chỉnh hơn.tôi sẽ giải một cách hoan chỉnh nhưng phải đẻ lần sau , vì tôi khôbng có nhiều thời gian cho lắm,lúc đó tôi sẽ trình bày luôn vấn đè tiếp theovà một số bài vui vui. hẹn lần sau.
đầu tiên tôi xin giải chi tiết baimà bạn modun đã giải. gọi số người trong buổi tiệt đó là n. giả sử tồn tại duy nhất một người không quen một ai ,khi đó gọi i là số người quen của người thứ j trong buổi tiệc.nếu tồn tại j sao cho i[sub][/sub]j=n-1 .nhưng điều này lại mâu thuẫn giả thết là tồn tại một ngườ không quen một ai.do đó không thêtồn tại đông thời i[sub][/sub]j=o và i[sub][/sub]k=n-1. ta xét các trường hợp : tồn tại i=o.nếu tồn tại nhiều hơn một i=o thì ta chứng minh được có ít nhất hai ngườ có cùng số người quen.néu chỉ tồn tại duy nhất i=0.khi đó i thuộc tạpP= (0,1......,n-2)rõ ràng Pcó n-1 phần tử .nên theo nguyên lí chuồng bồ câu cõ ít nhất 2 người có cùng số người quen. min i=1.tương tưnếu tồn tại nhiều hơn một min i=1 thì ta có được điều pgải chứng minh.nếu chỉ tồn tại duy nhất min i=1.khi đó i thuộc tập P={1,2,....n-1} rõ ràng P có n-1 phần tử nên theo nguyên lí chuồng bồ câu ta có điều phải cm. Bây giớ tô xin chuyeẻn sang vấn đề khác. 1.2phép chia trên tập số tự nhiên 1.2.1tiên đè thứ tự tốt(the well-ordering principle) giả sử A là tập con khác rỗng của tập số nguyên dương khi đó A có một phần tử bé nhất. 1.2.2nguyên lí quy nạp(the principle of induction goij P(n) là hàm mệmh đè với n thuộc N VÀ n[sub][/sub]0thuộc N sao cho P(n[sub][/sub]o)đúng và P(n)đúng =>P(n+1)đúng thì Pđúng với mọi n>hoặc =n[sub][/sub]0. chứng minh nguyên lí quy nạp (bằng phản chứng). giả sử hai điều sau đúng:a/p(no)đúng và b/với mọi k>=no p(k)đúng. nhưng tồn tại n[sub][/sub]1>=n0 mà P(n[sub][/sub]1)sai.khi đó gọi S={nthuộc Nvà n>=n[sub][/sub]0/p(n)sai} vì n[sub][/sub]1thuộc Snên Skhác rỗng theo tiên đè thứ tự tốt tồn tại m thuộc S sao cho m là bé nhất.do dó m>=n[sub][/sub]0và p(m)sai=>m>n[sub][/sub]0=>k=m-1=n[sub][/sub]o.mà k không thuộc S nên P(k)đúng và k>=n[sub][/sub]0=>p(k+1)đúng =>p(m)đúng =>m không thuộc S mâu thuẫn vói giả thiết .vậy không tồn tại phần tử n>=n[sub][/sub]0mà p(n)sai nguyên lí quy nạp được cm. 1.2.3phép chia hết và phép chia có dư với hai số nguyên a và b ,ta nói achia hết b hay b chia hết cho a , hay a là ước số của b,hay b là bội số của b nếu tồn tai số nguyen c sao cho b=ca.về mặt kí hiệu thì các bạn đã biết. mội số nguyên p>1 được gọi là số nguyên tố nếu chỉ có ước tầm thường tức là 1 và p,số nguyên dupwng lớn hơn 1 không nguyên tố gọi là hợp số. tính chất cho a,b,c,dthuộc Z i)nếu a chia hết b và b chia hết c thì a chia hết c ii)nếu achia hết b và a chia hết c và m,n thuộc Zthì achia hết (nb+mc) iii)nếu achia hết b và c chia hết d thì ac chia hết bd các bạn hãy tự chứng minh (rất đơn giản) BÀI TOÁN CHỨNG MINH: 1)n2+n+1không chioa hết cho 9 2)n2+11n +39 không chia hết cho 49 3)2x+3Ychia hết cho 17 nếu và chỉ nếu 9x+5y chia hết cho 17 nếu giải được các bạn hãy nêu ra phương pháp cho mọi người học hỏi nhé lần sau tôi sẽ tiếp tuc về chủ đề này .mong các bạn góp ý .
1)n2+n+1không chioa hết cho 9 2)n2+11n +39 không chia hết cho 49 3)2x+3Ychia hết cho 17 nếu và chỉ nếu 9x+5y chia hết cho 17 1:giả sử n2+n+1 mod 9=0=>n2+n+1 mode 3 = 0 Nếu n mod 3 = 0 => n2+n+1 mod 3 = 1 =>n2+n+1 ko chia hết cho 9 => n mod 3 =/ 0 ta cón2+n+1).n = n3+n2+n = n.(n-1).(n+1)+n.(n+2) mod 3 = 0 => n.(n+2) mod 3 = 0 => n+2 mod 3 = 0 => n mod 3 = 1 => n = 3.k+1 ta có n2+n+1= 9.k2+9.k+3 mod 9 = 3 => dpcm 2)n2+11n +39 không chia hết cho 49 giả sử: n2+11n +39 mod 49 = 0 => n2+11n +39 mod 7 = 0 ta co: n2+11n +39 = n2+4n+4+7.(n+5) mod 7 = 0=> n2+4n+4 mod 7 = 0 vì 7 nguyên tố => n+2 mod 7 =0=> n = 7.k-2 => n2+11n +39 = (7.k)2 +7.( 7.k+3) mod 49 =21 => dpcm 3)2x+3Ychia hết cho 17 nếu và chỉ nếu 9x+5y chia hết cho 17 ta có: 4(2.x+3.Y)+ (9x+5y) = 17(x+y) mod 17 = 0 với mọi x, y cm thuận: Giả sử 9x+5y mod 17= 0 từ và (4, 17, 1) là các cặp nguyên tố cùng nhau đôi 1 => (2.x+3.Y) mod 17 = 0 cm nghịch: Giả sử (2.x+3.Y)mod 17= 0 từ và (4, 17, 1) là các cặp nguyên tố cùng nhau đôi 1 => 9x+5y mod 17 = 0 => dpcm Được nx100yt sửa chữa / chuyển vào 14:43 ngày 06/01/2007 Được nx100yt sửa chữa / chuyển vào 14:47 ngày 06/01/2007
Xin bạn đừng nói chung chung như thế? bạn hãy chỉ ra chỗ nào trong bài giải của mình là không có chút gì gội là tính chặt chẽ của toán học cả Được nx100yt sửa chữa / chuyển vào 14:46 ngày 06/01/2007
to nxt:có vẽ như tôi hơi quá lời chang?nhưng lan này khi đoc bài giải của bạn tôi không được hiểu cho lắm. bang dùng đồng dư thức để giải(thực chất là tính chia hết mà thôi)nhưng ban kí hiệu tôi không hiếu.vấn đề về đồng dư thức toi sẽ nói vào chuyên đề sau.về các bai toán tôi xin giải như sau: cmr với mọi số tự nhiên n thì: 1/n2+n+1không chia hết cho 9 cm:c1/ nếu n=3k(k thuộc Z) thì n2+n+1 không chia hết cho 3 =>n2+n+1không chia hết cho 9. nếu n=3k+1thìn2+n+1=9k2+9k+3=9(k2+k)+3 không chia hết cho 9. với n=3k+2=>n2+n+1=9k2+15k+7không chia hêt cho 3 =>không chia hết cho 9. Vậy n2+n+1 không chia hết cho 9 với moi số tự nhiên n C2:giả sử n2+n+1 chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n,suy ra n2+n+1 chia hết cho 3 hay n2+n+1=(n-1)(n+2)+3chia het 3 =>(n-1)(n+2)chia hêt cho 3.do 3 la số nguyên tố nên (n-1) hoặc (n+2)chia hêt cho 3.từ: (n+2)-(n-1)=3chia het cho3,ta co (n+2)và (n-1)đồng thời chia hết cho 3.vay(n+2)(n-1)chia hết cho 9. theo gia thiết n2+n+1=(n+2)(n-1)+3 chia hết cho 9 vay 3 chia hết cho 9 vô lí. Từ đó n2+n+1 không chia hết cho9 với mọi số tự nhiên n C3:giả sử n2+n+1 chia hết cho 9 vwí mọi số nguyên n khi đó n2+n+1=9K với k la số nguyên.theo đó phương trình n2+n+1=3kse có nghiệm nguyên n.ta có biệt thức denta=1-4(1-9K)=36k-3=3(12k-1)chia hết cho 3.nhrung không chia hết cho 3^2=9 nên denta không là số chính phương.phương trình không có nghiêm nguyên.vậy n2+n+1 không chia hết cho 9 với mọi số nguyên n. trên đây là những cách đơn giản chỉ dung kiến thức sơ cấp ai cũng làm được. cm:2x+3y chia hết cho 17 nếu và chỉ nếu9x+5y chia hết cho 17 tôi xin lấy kí tự"!"để chỉ tính chia hết(vì không có các kí tự toán học trong bộ gõ) từ17!(2x+3y)=>17![13(2x+3y)],hay 17!(26x+39y),từ đó 17![(17x+34y)+(9x+5y)]dovay ta được 17!(9x+5y) ngược lại,giả sử17!(9x+5y) ta ccó: 17![4(9x+5y)]=>17!(36x+20y)=>17!(2x+3y) =>dpcm
tôi có một loạt bai rất thú liên quan đến ssố học nê.mở đầu là bài rất đơn giản:cho một hình vuông cạnh a tìm số điểm tôi đa có thể cho vao hình vuông đó nếu khoảng cách bất kì giữa hai điểm không nhỏ hơn 1/2 a.các bác giải thử xem(tuy có đễ thật) Được ngocquy10 sửa chữa / chuyển vào 16:16 ngày 21/01/2007
