Cần giải gấp bài hình khá hay

Cần giải gấp bài hình khá hay

Cho tam giac ABC đường tròn tâm O.Từ A,B,C kẻ các đường thẳng song song từng đôi một cắt đường tròn lần lượt tại 3 điểm A1, B1, C1 ( # A, B, C ).
Chừng minh 3 tam giác A1BC; B1CA; C1AB có 3 trực tâm thẳng hàng.

Trực tâm? Điê?m đó la? điê?m na?o? Xin lôfi la? đaf ho?i vi? tôi quên tên rô?i.
Nếu trực tâm la? điếm cắt cu?a 3 đươ?ng trung trực, va? ̣đô?ng thơ?i la? tâm
cu?a đươ?ng tro?n ngoại tiếp, thi? 3 tâm cu?a 3 đươ?ng tro?n ngoại tiếp
cu?a 3 tam giác trên không nhất thiết thă?ng ha?ng.
Ý bạn muốn nói tới trọng tâm, có nghifa la? điê?m cắt cu?a 3 trung tuyến?
Trọng tâm cu?a môfi tam giác chia môfi trung tuyến theo ty? lệ
1:2.
Gia? sư? AA1 // BB1 // CC1 // k
Ta xét một tam giác bất ky? trong 3 tam giác kê? trên,
ví dụ tam giác B1CA. Gọi trung điê?m cu?a A1C1 la? T1, va? O chia
T1B1 theo ty? lệ 1:2. Như thế O la? trọng tâm cu?a tam giác A1B1C1. Tư? O
ke? đươ?ng thă?ng m // k. Gọi trung điê?m AC la? T, va? TB1 cắt m tại B2.
Tư? TT1 // CC1 // k // m suy ra TT1 // OB2, do đó theo
Talet (Tales) suy ra TB2 / B2B1 = T1O / OB1 = 1 / 2. Như thế B2
la? trọng tâm cu?a tam giác B1CA.
Ta đaf chứng minh ră?ng trọng tâm cu?a môfi một tam giác kê? trên nă?m trên
cu?ng một đươ?ng thă?ng m (đươ?ng thă?ng // k va? đi qua trọng tâm cu?a A1B1C1)
Ta không sư? dụng ră?ng A1, B1, C1 la? điê?m cắt cu?a 3 đươ?ng thă?ng
song song ke? tư? A, B, C với đươ?ng tro?n cho trước. Trọng tâm
cu?a 3 tam giác xét ơ? trên thă?ng ha?ng với bất ky? A1, B1, C1 thứ tự trên
3 đươ?ng // cho trước, với điê?u kiện la? A1, B1, C1 không thă?ng ha?ng.
Nhưng lúc đó thi? luôn tô?n tại một đươ?ng tro?n ngoại tiếp tam giác A1B1C1,
va? có thê? coi A1, B1, C1 như la? điê?m cắt cu?a 3 đươ?ng thă?ng // với
đươ?ng tro?n đó.

Tưởng giỏi toán lắm hoá ra chưa biết nổi trực tâm là giao điểm 3 đường cao!

Chắc bạn khoái lắm khi cho mi?nh cơ hội thư? la?m nhục tôi?
Nếu bạn gio?i thi? trô? ta?i đi, sao lại nă?m im thế? Cha? nhef chi?
hafnh diện la? mi?nh biết tên cái na?y cái nọ, co?n ngoa?i ra cha?
biết la?m gi?? Nếu thế thi? ngô?i im co?n hơn.
1. Tôi đaf có lúc na?o vôf ngực tự cho la? mi?nh gio?i toán?
Ba?n thân tôi luôn chi? cho mi?nh la? ngươ?i yêu toán, thế thôi.
Yêu toán va? thích gia?i toán, coi đó như la? cách re?n luyện
tư duy.
2. Tôi không bao giơ? học chuyên toán, ca? ơ? phô? thông va? đại học.
Trong việc la?m cu?a mi?nh tôi không du?ng đến toán. Tất ca? nhưfng
gi? tôi nhớ bây giơ? la? tư? nhưfng năm tháng học xa xưa. Trơ?i ơi,
rất xa xưa đấy. Co?n nhớ được chư?ng ấy cufng la? vi? toán la? mối ti?nh
đâ?u đấy.
3. Tôi nói la? tôi không nhớ. Nếu bạn ơ? nước ngoa?i 30 năm, chi? mới
nư?a năm gâ?n đây mới đọc báo chí trong nước trên mặng thi?
chắc bạn cufng sef quên nhiê?u tư? tiếng Việt, các tư? du?ng trong toán
cufng thế.
4. Nếu bạn tốt nghiệp phô? thông 37 năm trước va? sau đó không
la?m gi? liên quan tới toán, sống ơ? nước ngoa?i 30 năm, ít đọc,
viết, va? ca? nói tiếng Việt nưfa, nếu sau nhưfng biến cố như thế
ma? bạn co?n nhớ mọi tư? tiếng Việt tới mức không pha?i suy nghif,
vâfn gia?i toán như gió thi? lúc đó hafy lên đây trô? ta?i. Thươ?ng nhưfng
ngươ?i ca?ng biết nhiê?u thi? ca?ng thấy kiến thức thật bao la, khó có
thê? ôm xuê?, va? vi? thế họ khiêm tốn hơn, biết tôn trọng ngươ?i khác hơn.
Nhưfng ke? không biết gi? hay khinh thươ?ng ngươ?i khác, bơ?i họ thậm
chí không biết được nhưfng gi? mi?nh co?n chưa biết.

Nếu ý bạn đúng la? xét giao điê?m cu?a 3 đươ?ng cao cu?a tam giác
như một vị thông minh trong box na?y đaf nói (thông minh vi?
biết trực tâm la? gi?, nhưng sự thông minh kết thúc ơ? đây. Hơi buô?n
khi sự thông minh chi? có vậy, chi? đu? đê? thư? la?m nhục ngươ?i khác) thi?
kết luận la? sai. 3 giao điê?m cu?a nhưfng đươ?ng cao không thă?ng ha?ng.
Chi? câ?n vef hi?nh ra la? thấy ngay. Ma? có thê? chi? ra một trươ?ng hợp
la? nhi?n thấy ngay.
Lấy một điê?m trên đươ?ng tro?n va? gọi đó la? A1. Nối O tới A1 va? kéo
da?i một đọan A1D. Ke? đươ?ng thă?ng qua D
va? vuông góc với A1D, sau đó lấy trên đươ?ng thă?ng đó vê? 2 phía cu?a
D hai điê?m B va? C sao cho DB = DC <= R. Tư? B va? C ke? đươ?ng // với A1D
cắt đươ?ng tro?n tại B1 va? C1. Tư? B ke? đươ?ng thă?ng vuông góc với C1B
cắt A1D kéo da?i tại A. Do tính đối xứng ta có góc ACB1 = góc ABC1 = pi / 2
Giao điê?m 3 đươ?ng cao cu?a tam giác B1CA la? C, cu?a tam giác C1AB la? B.
Giao điê?m 3 đươ?ng cao cu?a tam giác A1BC (gọi la? E) nă?m trên đươ?ng thă?ng
chứa A1D (A1BC la? tam giác cân) nhưng E khác D (Giao điê?m 3 đươ?ng cao
chi? có thê? nă?m ơ? 1 đi?nh - tam giác vuông - hoặc nă?m trong hoặc ngoa?i tam
giác, không bao giơ? nă?m trên cạnh tam giác), do vậy
E, B, C không thê? thă?ng ha?ng được.

Hình như các anh hiểu sai đề rồi. Ta goi H1 , H2 . H3 lần lượt là trực tâm của A1BC; B1CA; C1AB ,, Chứng minh H1,H2.H3 thảng hàng ( Vẽ hình thì thấy ngay).
Còn bây giờ thì hãy Cm giùm em

Trả đũa giỏi thế, nếu giỏi thực sự thì cần gì thêm người nữa! Em chỉ dạo chơi thôi, hơi sức đâu! Mà cũng chưa từng xưng là giỏi, là thông minh đâu nhé! Chê người ta thì đừng đi vào vết xe đổ của người ta chứ!

Tôi không đi vào vết xe đổ của ai.
Bạn không hiê?u ý cu?a tôi. Chi? gâ?n đây thôi đọc một số ba?i
trong box na?y tôi thấy một số bạn (trong các ba?i ma? tôi không
tham gia) sai, nhưng tôi không hê? thốt ra các câu đại loại: "dốt thế ..."
Ơ? đây tôi trách bạn la? chi? biết có trách cứ ngươ?i khác thôi ma?
không biết la?m gi? thêm. La?m một cái gi? đó mới la? khó, ma? có la?m
thi? mới có "cơ hội" đê? mắc lôfi. Ngươ?i không la?m gi? thi? không bao giơ?
mắc lôfi ca?. Ma? chi? ngô?i đê? chi? trích ngươ?i khác thi? quá dêf. Ma? nhưfng
câu như "Tưởng giỏi toán lắm hoá ra chưa biết nổi" thi? mục đích la?
khiêu khích chứ không bao giơ? có tính xây dựng. Nhất la? tôi đaf thú
nhận la? không nhớ, va? có xin lôfi hă?n hoi rô?i cơ ma?.

Trơ?i ơi, bây giơ? tôi mới xét trươ?ng hợp khi đươ?ng tro?n la? đươ?ng tro?n
ngoại tiếp tam giác. Một đoạn trích ba?i cu?a bạn:
"Cho tam giac ABC đường tròn tâm O"
Câu cú như thế thi? dêf gây lâ?m lâfn quá.
Ví dụ như:
"Cho tam giac ABC va? đươ?ng tro?n ngoại tiếp nó có tâm O"
hoặc ít ra:
"Cho tam giac ABC CU?A đường tròn tâm O"
Thi? rof ra?ng biết bao nhiêu. Nhâ?m lâfn hoặc không chính xác la? chuyện
thươ?ng. Nhưng tại sao khi trong ba?i gư?i sau đó tôi cho ra một ví
dụ ma? bạn cufng nhi?n thấy la? ABC nă?m ngoa?i đươ?ng tro?n ma? bạn
vâfn im lặng, vâfn không nhấn mạnh la? đươ?ng tro?n cho trước ngoại tiếp
tam giác cho trước? Vi? nhưfng cái như thế ma? ai đó mất phí thơ?i gian.
Vê? ba?i gia?i tôi kiến thức cu?a tôi chi? có hạn nên tôi la?m như sau:
----------------------------------------
Tôi không vef hi?nh (lươ?i ma?), bạn pha?i vef nếu muốn theo dofi các lý luận.
Tôi chia ra 2 ba?i nho? đê? kho?i vef trên một hi?nh, vi? như thế hi?nh nha?m va? "tối" lắm.

Ba?i 1: Chứng minh ră?ng nếu gọi điê?m đối xứng với trực tâm H cu?a một
tam giác qua một cạnh bất ky? cu?a tam giác đó la? H'' thi? H'' pha?i nă?m trên
đươ?ng tro?n ngoại tiếp tam giác cho trước.
CM:
Ta xét 2 trươ?ng hợp đối xứng qua BC.
1. góc B va? C đê?u < pi / 2 (góc nhọn?. Tôi ho?i vi? quên khái niệm rô?i)
Với góc B hoặc C vuông thi? H tru?ng với H''
Ta chứng minh điê?u tương đương. Gọi chân đươ?ng cao hạ tư? A trên BC
(nă?m trong khoa?ng BC) la? D. Đươ?ng thă?ng qua AH cắt đươ?ng tro?n
tại H''. Ta chứng minh H va? H'' đối xứng qua BC.
Các diêfn gia?i sau đây đúng khi góc A < pi/ 2, hoặc góc A > pi / 2 (góc tu??):
.
Góc BH''H = góc ACB (cu?ng chắn một cung)
Góc BHH'' = góc ACB (hai cạnh tương ứng vuông góc tư?ng đôi một)
Suy ra góc BH''H = góc BHH'', như vậy tam giác BHH'' la? cân nên
đươ?ng cao BD (BD vuông với HH'') cufng đô?ng thơ?i la? trung trực va?
trung tuyến do vậy DH = DH''. Do HH'' vuông góc với BC nen suy ra
H va? H'' đối xứng qua BC.
2. Xét trươ?ng hợp góc B > pi / 2 (góc tu??)
Ta cufng chứng minh tương tự tam giác BHH'' la? cân (hoặc CHH'' la? cân).
Phâ?n chứng minh na?y xin đê? chu? topic tự luyện.
-----------------------
Ba?i 2: Cho tam giác ABC va? đươ?ng tro?n k ngoại tiếp ABC.
Trên đươ?ng tro?n k lấy điê?m A1 khác A, B, C. Gọi H va? H1 la? trực tâm
cu?a tam giác ABC va? A1BC. Chứng minh ră?ng HH1 // AA1.
(các diêfn gia?i sau đây ̣đúng với vị trí bất ky? cu?a A1: trên cung AB,
trên cung AC hoặc trên cung BC)
Gọi H'' va? H1'' la? các ̣iê?m đối xứng cu?a H va? H1 qua đươ?ng
thă?ng chứa BC. Tư? ba?i 1 suy ra ră?ng H'' va? H1'' nă?m trên đươ?ng
tro?n k. Do tính đối xứng nên góc H''HH1 = góc H1''H''H (1)
Bơ?i vi? AH'' va? A1H1'' la? hai dây cung song song (cu?ng vuông
góc với BC) nên cung AH1'' = cung A1H'' do vậy
góc H1''H''H = góc A1AH'' (2 góc chắn 2 cung bă?ng nhau) (2)
Tư? (1) va? (2) suy ra góc H''HH1 = góc A1AH''
Hay nói một cách khác HH1 // AA1.
-----------------------------
Gia?i ba?i chính:
Ke? một đươ?ng thă?ng m bất ky? // với AA1. Ta có AA1 // BB1 // CC1 // m.
Gọi trực điê?m cu?a các tam giác ABC, A1BC, B1AC, C1AB la? H,
H_A, H_B, H_C. Tư? kết qua? ba?i 2 suy ra:
HH_A // AA1 // m
HH_B // BB1 // m
HH_C // CC1 // m.
Gọi đươ?ng thă?ng đi qua H va? // với m la? n thi? ta có H_A, H_B, H_C
đê?u nă?m trên ̣đươ?ng thă?ng n. Thật thế nếu gia? dụ H_A không nă?m
trên n thi? suy ra la? tư? H ta có thê? ke? được 2 đươ?ng thă?ng khác nhau
n va? HH_A ma? chúng cu?ng // m. Đó la? điê?u phi lý.
-------------------------
Đây chi? la? cách gia?i cu?a tôi, tôi không vôf ngực tự khoe la? nó đúng.
Viết ra chi? đe? bạn tham kha?o ma? thôi.

Thế à? Thế chẳng phải tôi nhắc cho bạn trực tâm là giao điểm 3 đường cao à? Than ôi! Hận thù làm mờ mất lý trí!