Challenge of the week

Có bài này cũng liên quan đến hình tròn.
Trên một đường đua hình tròn có n trạm xăng. Tổng lượng xăng có trong tất cả các trạm vùa đủ để 1 xe đi 1 vòng. Chứng minh rằng có một trạm xăng mà nếu xe xuất phát từ đó ( ban đầu không có xăng), tất nhiên ở trạm này phải nạp xăng trước khi đi , và xe có thể đi được hết vòng đua.
Matek

Không hiểu đề của bác lắm với lại nếu xe này đi hết 1 vòng thì các xe khác lấy xăng đâu mà đi.

Không tin bài này mà đại ca Username không biết, đây không biết còn là đề thi nước nào không chứ ít nhất là đề thi của Tầu năm bao nhiêu đó ? Chắc bọn Tầu cũng trộm từ một định lý nào đấy trong Toán thôi ( đinh lý này nếu có thi chắc đại ca Matek biết chứ em chỉ đoán vậy thôi )
Đại khái đề là :
Cho a1, a2 , ...., an không âm ( a(n+i)=a(i) )
và cho b1, b2, ... , bn không âm sao cho :
a1+a2+....+an=1=b1+b2+...+bn
Chứng minh tồn tại chỉ số i sao cho :
ai>=bi
ai+a(i+1)>=bi+b(i+1)
........................
a(i)+....+a(i+n)>=b(i)+....+b(i+n)
Em quên mất lời giải rồi ! Hehehehe

Chỉ có 1 xe thôi. Còn dịch ra ngôn ngữ Toán thì đúng như Mignon dịch!!!
Matek

Ờ đọc đề nhầm tưởng mỗi trạm có 1 xe
Còn nếu viết tường minh ra như chú mignon thì OK rồi.
Đại khái là chọn ra một dãy chỉ số liên tiếp i, i+1, i+2,.. j sao cho (a(i)-b(i)) +..+ (a(j)-b(j)) lớn nhất thì hình như cái i đó thoả mãn hệ bdt trên.

Làm cái này cho vui (cái này bác CXR chắc chắn biết và chú mignon chắc cũng biết). Lời giải đơn giản, dễ hiểu nhưng cũng có một bác tên là Artin không làm được bài này .
F là một trường q phần tử với đặc số p. f1, f2,.. fr là các đa thức n biến trên F, với bậc tương ứng d1,.. dr. CMR nếu d1+..+dr < n thì số các nghiệm chung của f1,..fr là bội của p.

Chết ném cái này lên lâu rồi mà quên giải đáp.
Đây là một câu hỏi của Wetzel năm 1962. Hai năm sau, Erdos cho lời giải đáp thật bất ngờ : kết quả phụ thuộc vào giả thuyết continuum !
Cụ thể hơn : nếu c > N1, thì ta có thể khẳng định mọi họ hàm thoả mãn tính chất trên đều đếm được, nếu c = N1, tồn tại họ hàm thoả mãn tính chất trên với lực lượng c.
Chứng minh cái này không phức tạp chút nào nhưng mà ... ngại gõ.
Giới thiệu qua một chút cho những bác không biết. Giả thuyết continuum phát biểu đơn giản thế này : tồn tại một lực lượng trung gian giữa N0, lực lượng các số tự nhiên và c, lực lượng các số thực. Tuy phát biểu đơn giản thế này nhưng phải đến năm 62 Paul Cohen mới chứng minh được là giả thuyết này độc lập với các tiên đề của hệ tiên đề Zermelo-Fraenkel, ( cũng giống như tiên đề thứ 5 độc lập với các tiên đề khác của hình học Euclid ).
Và như vậy câu trả lời của bài toán này là : khẳng định cũng được, mà bảo là không khẳng định được cũng ok !

Và đây là thách thức mới : ( bài này cực kỳ sơ cấp )
Đặt Hn = 1 + 1/2 +.. + 1/n, chứng minh bất đẳng thức :
t(n) ( tổng các ước số của n ) <= Hn + exp(Hn)*log(Hn)
với đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi n=1.

Bác username đưa lời giải bài mấy đa thức trên trường hữu hạn F gì gì đấy cái .. Tớ nghĩ mãi mà chả ra cách nào đơn giản cả ... À, mà theo Math Genealogy thì tớ thuộc nhánh ông Artin đấy .. hihihi ..
"Nguyện mỗi người có một niềm vui"
Được CXR sửa chữa / chuyển vào 05:21 ngày 23/04/2003

Các bác trình bày giúp em định lý ko hoàn hảo của cái ông gì gì đấy để em xem "giới hạn" của toán học là ở chỗ nào cái!.Cám ơn các bác nhiều!