Challenge of the week

hì, bác ronaldo giải đúng rùi, nhưng mờ nói ko rõ ràng lắm . Đại ý là con vịt nó bơi trên 1 vòng tròn bán kính < R/4 cho tới khi con Cáo và con Vịt thẳng hàng qua tâm. Rồi con Vịt bơi thẳng ra ngoài.
Bác mờ thấy hứng thú thì làm tiếp bài BĐT trong tam giác đó. Hay đố bác bài khác vậy, làm cho vui:
1 hình cầu có bán kính R. 1 đường cong liên tục nằm trong hình cầu bắt đầu từ 1 điểm A trên mặt cầu và kết thúc tại 1 điểm B trên mặt cầu. Độ dài đường cong AB < 2R. CMR: có 1 mặt phẳng qua tâm hình cầu sao cho mặt phẳng đó ko cắt đường cong AB.
Được SaB sửa chữa / chuyển vào 01:44 ngày 31/10/2003
Được SaB sửa chữa / chuyển vào 01:47 ngày 31/10/2003

Đố các bác bài toan xinh xinh này nhé:
Một hôm tôi xuống nhà kho, và tìm thấy 1 tập hợp n phần tử, nhưng không may vì ẩm thấp nên nó bị dính vào nhau. Bên cạnh nhà tôi có ông thợ chuyên tách các phần tử, ông ấy tính tiền cho mồi lần cắt là (k x l) nếu tách tập hợp k+l ra 2 phần, 1 phần k phần tử, một phần gồm l phần tử. Tôi phải làm thế nào để tốn ít tiền nhất.
Matek

Em làm thế này không biết đúng không!!
f là một đa thức n biến có bậc <n(q-1) khi đó tổng sigma(f(x))
x chạy qua tất cả các bộ n phẩn tử nhận giá trị trong trường F
là =0. Chứng minh cái này không khó.
Áp dụng: Xét f=(f1^(q-1)-1)*(f2^(q-1)-1)*...*(fn^(q-1)-1)-(-1)^n.
deg(f)<n*(q-1) nên sigma(f(x))=0 hơn nữa f chỉ nhân giá trị 0 hoặc -1^n nên số các giá trị -1^n cũng như 0 la chia hết cho p.
Dễ thấy nghiệm của f cũng là nghiệm chung của fi và ngược lại và ta đã cm số các nghiệm là chia hết cho p.
ĐPCM
-----------------------------------
Bài của bác Matek cứ thế nào ấy, em thấy chặt kiểu gì cũng ra n*(n-1)/2 là sao?? (cm điều này bằng quy nạp!)

Các bác làm thử bài này xem:
Cho một họ F các tập ***g nhau có lực lượng M.
CMR Card(F)<= 2^M
Lấy ví dụ cho trường hợp M đếm được cũng là bài toán khá thú vị.
Được dickchimney sửa chữa / chuyển vào 21:26 ngày 25/11/2003

Chú đề này chết chìm nửa năm bây giờ kéo nó lên cái.
Hôm qua thấy có bài này cũng thú vị, nếu biết mấu chốt chắc chỉ mấy phút là ra còn tôi không hình dung được có cách công phá nào khác không :
Cho n+1 hàm g1, g2,.. gn, f :R -> R, g1,..gn bị chặn. Biết tồn tại e, d >0 sao cho nếu f(x) - f(y) >e thì max( gi(x) - gi(y) ) > d.
CMR f cũng bị chặn.
Các bác có bài nào hay thì tham gia cái nhưng mà từ tốn không anh em bội thực.

Anh Username cho bài khó thế, em nghĩ cần phải thêm giả thiết :
f(x) = f(-x), liên tục, khả vi trên x > 0 với đạo hàm là h
h(x)= - f(x) ( voi moi x>0 )
Phù, bây giờ em mới làm được cao thủ kô ?
Được mignon sửa chữa / chuyển vào 03:13 ngày 13/05/2004

Không có điều kiện khả vi hay liên tục gì cả, thế mới khó chứ. Bài này nhìn đơn giản nhưng mà ác chiến đấy, nhưng nếu biết mấu chốt thì giải không cần nháp

Dạo này đang được nghỉ hay sao mà rỗi rãi thế hả đồng chí username?
Ko hiểu có thể giải bài của đồng chí như thế này ko? Giả sử f ko bị chặn
trên
=> tồn tại một dãy x_k sao cho f(x_(k+1))-f(x_k)>e
=>max(g_i(x_(k+1))-g_i(x_k))>d>0
=>max(g_i(x_k))->dương vô cùng, mâu thuẫn
Với chặn dưới tương tự.
Được Nocturne_hn sửa chữa / chuyển vào 07:54 ngày 13/05/2004

Theo em cứ thêm cái giả thiết đấy vào cho cách giải nó đẹp đẽ
tuy là đồng chí nocturne giải chưa chính xác nhưng mà cứ đặt dãy như vậy, cẩn thận một tí ( một hai tiểu xảo ) vượt qua cái chỗ max_i của g_i(x)-g_i(y) thì thể nào chả ra.
Nhưng hy vọng đại ca U có cách gì đấy độc đáo cho anh em thưởng thức chứ !!!

Đồng chí Nocturne_hn giải sai toét rồi từ dòng thứ 2 ra dòng thứ 3 đâu chỉ một mũi tên như thế mà nó là cả một nghệ thuật đấy . Vượt qua chỗ đấy là mới là chỗ độc đáo chứ đâu phải là một hai tiểu xảo hả chú mignon Các chú nghĩ tiếp đi.