Chia hết!Chia hết!

Chia hết!Chia hết!

Đây là hai bài toán chia hết tương đối đơn giản, nhưng để tìm ra một cách giải ngắn mới là điều quan trọng. Xin mời các bác ra tay
Chứng minh rằng với mọi n thuộc N, n>=1 có F(n)=16^n - 15n -1
chia hết cho 125
Chứng minh rằng với mọi n thuộc N, n>=1 có F(n)=42^(4n) - 21^(4n) + 8(n+11) +37n +2 chia hết cho 45

Hai bà?i nà?y 'Ă?u dù?ng quy nàp hẮt bàn à, nhưng bà?i 1 chf́c bàn ghi sai: 225 thay vì? bàn ghi là? 125. Vì? F(2) = 225 ko chia hẮt cho 125!
Già?i bà?i 1:
+ n=1, F(1) = 0 chia hẮt cho 225.
+ Già? sư? F(n) chia hẮt cho 225. Ta chứng minh F(n+1) chia hẮt cho 225.
+ F(n+1) = 16^(n+1) - 15(n+1) - 1 = 16.16^n - 15n -15 -1
= 15.16^n - 15 + 16^n - 15n - 1 = 15(16^n -1) + F(n)
= 15(16-1)[16^(n-1) + 16^(n-2) + ... + 1] + F(n)
= 225 ( ....) + F(n) chia hẮt cho 225.
VẶy theo nguyĂn lỳ quy nàp toàn hòc kẮt luẶn F(n) chia hẮt 225 với mòi n>=1.
Già?i bà?i 2:
Tương tự tuy phức tàp hơn 1 chùt. ĐĂ? dà?nh cho bàn tự già?i.

Trời ạ! Đề bài của tôi đúng là sai thật. Nhưng cách giải như trên của bác đối với bài thứ hai đúng là rất dài và không dễ dàng chút nào đâu.
Thế này nhé, cả hai bài này đều chỉ cần áp dụng một tính chất nho nhỏ thế này thôi. Nếu a chia hết cho c, b chia hết cho c thi a-b cũng sẽ chia hết cho c. Áp dụng quy nạp cho bài toán đầu ta sẽ có F(1)=0 chia hết cho 125.
Giả sử F(n) chia hết cho 125, ta thay vì CM F(n+1) chia hết cho 125 ta cũng có thể CM F(n+1)- F(n) chia hết cho 125.
Ta sẽ có 16^(n+1)- 15(n+1)-1-16^n +15n+1=(16^n)15-15.
Theo định lý Fermat nhỏ thì hiển nhiên phương trình trên phải chia hết cho 15.15=225.
Hì hì, chắc thế này đã ngắn hơn cách của bác nhiều rồi chứ
Áp dụng cách này cho bài toán 2 cũng sẽ ngắn hơn cách CM quy nạp bình thường.

Trời ạ! Đề bài của tôi đúng là sai thật. Nhưng cách giải như trên của bác đối với bài thứ hai đúng là rất dài và không dễ dàng chút nào đâu.
Thế này nhé, cả hai bài này đều chỉ cần áp dụng một tính chất nho nhỏ thế này thôi. Nếu a chia hết cho c, b chia hết cho c thi a-b cũng sẽ chia hết cho c. Áp dụng quy nạp cho bài toán đầu ta sẽ có F(1)=0 chia hết cho 225.
Giả sử F(n) chia hết cho 225, ta thay vì CM F(n+1) chia hết cho 225 ta cũng có thể CM F(n+1)- F(n) chia hết cho 225.
Ta sẽ có 16^(n+1)- 15(n+1)-1-16^n +15n+1=(16^n)15-15.
Theo định lý Fermat nhỏ thì hiển nhiên phương trình trên phải chia hết cho 15.15=225.
Hì hì, chắc thế này đã ngắn hơn cách của bác nhiều rồi chứ
Áp dụng cách này cho bài toán 2 cũng sẽ ngắn hơn cách CM quy nạp bình thường.

Bài 1 cần gì quy nạp nhỉ
F(n) = 16n - 15n -1
=(16-1)(16n-1 + 16n-2 + ... + 161 + 1) - 15n
=15(16n-1 + 16n-2 + ... + 161 + 1 - n)
=15[(16n-1 - 1) + (16n-2 - 1) + ... + (1 -1)]]
chia hết cho 15.15=225

Đọc đề bài 2 mà thấy... tức. Mấy cái "lèo nhèo" kia thì chia hết cho 45 rồi. Còn 42^4- 21^4= 21^4. 15 rõ ràng chia hết 45! Hic!