Chu vi và diện tích

Chu vi và diện tích

Các bác giúp em một tay



Cmr trong các hình có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất

Mình không có thời gian nhưng bạn thử đi theo hướng dùng công thức tổng quát tính diện tích và chu vi một hình bất kì theo tích phân, rồi lấy đạo hàm của diện tích theo chu vi xem có ra phương trình đường tròn không?

Không ra

Có một chứng minh hình học rất đẹp mà không cần dùng đến giải tích:
http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml
Chứng minh này tuy có một chút xíu flaw (cần phải có thêm giả thiết là tồn tại đường cong tối ưu) nhưng lại dễ hiểu đối với HS phổ thông.
Được werty98 sửa chữa / chuyển vào 02:41 ngày 19/08/2007

Bài này là bài cơ bản trong calculus of variations, tự nghiên cứu nhé. Hình như trong chương trình toán đại cương không có món này. Trước đây trong box vật lý tớ đã có dùng calculus of variations một lần để tìm quỹ đạo tối ưu:
http://www9.ttvnol.com/vatly/840585/trang-10.ttvn
Calculus of variations được ứng dụng vào rất nhiều ngành khoa học kỹ thuật hiện đại, không hiểu sao lại không được đưa vào chương trình toán cao cấp đại cương. Mọi người có thể xem thêm link này:
http://www.quangio.com/quangio/nguyenxuanvinh807_1.htm
Được werty98 sửa chữa / chuyển vào 09:00 ngày 19/08/2007

Chứng minh của bác binh000 mới chỉ áp dụng trên tập hợp các đa giác nội tiếp đường tròn mà thôi. Ngoài ra còn có các đa giác không nội tiếp được, và cả những hình không phải là đa giác nữa.

Nếu có cùng diện tích và cùng số cạnh, thì đa giác đều sẽ có CV nhỏ hơn đa giác không đều (và dĩ nhiên mọi đa giác đều , đều nội tiếp đuợc)

Đúng rồi bác. Tớ chỉ còn một thắc mắc là định đề 1: '' Mọi đa giác đều có CV nhỏ nhất so với các đa giác cùng số cạnh và cùng diện tích'', liệu có dùng được để chứng minh định đề 2 : ''Hình tròn có CV nhỏ nhất....'' hay không ?
Bác CM nốt định đề 1 thì coi như xong.