Chu vi và diện tích

Đây là cách chứng minh bằng calculus of variations:

Không ngờ cũng thú vị phết.
Thử xem cách của tôi xem :
Bổ đề 1 : Cho đoạn AB cố định và điểm C thây đổi sao cho CA+CB=const. Khi đó S(ABC) max khi CA=CB.
Bổ đề 2 : Cho đoạn AB cố định và 2 điểm C, D thay đổi sao cho AD=DC=CB=const và A,B,C,D là 4 đỉnh của một tứ giác lồi. Khi đó S(ABCD) max khi gócADC=gócBCD.
Bổ đề 3 : Cho n số dương bất kỳ a0, i = 1,...,n, có tổng bằng Q=const.
Lập dãy mới a(k+1) từ dãy ak như sau :
Thay đổi 2 phần tử thứ h=(k+1 mod n) và m=(k+2 mod n) như sau :
a(k+1)[h]=a(k+1)[m]=(ak[h]+ak[m])/2
các phần tử còn lại thì giữ nguyên.
Khi đó ta có : lim(k--> vô cùng) ak=Q/n với mọi i.
Cả 3 bổ đề trên đều hiển nhiên.
Bây giờ xét tập các đa giác lồi n cạnh có chu vi không đổi.
Lấy một đa giác bất kỳ trong tập đó
Áp dụng BĐ1 một cách liên lục men theo các cạnh đa giác(tức là thay cặp cạnh kề nhau đầu tiên thành trung bình cộng của chúng, rồi lại đến cặp cạnh kề nhau tiếp theo, cứ thế xoay vòng). , ta sẽ lần lượt nhận được các đa giác n cạnh mới có diện tích lớn hơn đa giác cũ (theo BĐ1) khi đó ta cũng thấy là ta đang biến đổi dãy các cạnh theo BĐ3 nên cuối cùng khi số lần thay đến vô cùng sẽ nhận được đa giác mới có n cạnh bằng nhau mà có diện tích lớn hơn tất cả các đa giác trung gian.
Xét đa giác có n cạnh bằng nhau này ( chưa chắc đã đều) ta cho nó vào pha biến đổi tiếp.
Bây giờ lại đến các góc, chú ý là tổng các góc ở đỉnh của một n-giác đều bất kỳ là không đổi. Vậy xét hai góc ở đỉnh kề nhau một, áp dụng BĐ2 để thay đổi cho 2 góc đó bằng nhau --> nhận được đa giác mới có diện tích lớn hơn rồi lại chuyển sang hai góc ở đỉnh kề nhau tiếp (giữ lại một góc cũ), rồi lại thay đổi hai góc mới này .... cứ như thế đến vô hạn lần. Ta cũng thấy là đang thay đổi dãy các góc theo BĐ3 nên cuối cùng thì đa giác có các góc ở đỉnh bằng nhau là đa giác có diện tích lớn nhất.
Lúc này thì đa giác đều rồi.
Việc còn lại là chứng minh đa giác này có dt < hình tròn cùng chu vi là xong. Cái này dễ quá.

Cám ơn các bác!
Nhưng các bác ơi! Bài toán yêu cacù là phải xét với mọi hình cơ mà, chứ có phải chỉ với đa giác thôi đâu. Chẳng hạn hình của chúng ta là một hình giớ hạn bởi một đường cong kín bất kì thì sao??????
Mong các bác chỉ giáo!

Hai cách chứng minh tớ đưa ra ở trên đều xét cho mọi dạng hình, không chịu đọc à
Chứng minh bằng hình học (rất đẹp, dễ hiểu cho HS): http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml
Chứng minh bằng giải tích: tất cả các tài liệu về calculus of variations đều có, bài này kinh điển mà.

Để tớ tóm tắt sơ cách chứng minh ở http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/isoperimetric.shtml, dành cho những đồng chí chỉ biết tiếng Việt:
Đề bài: CMR trong các hình có cùng chu vi, hình tròn có diện tích lớn nhất
Bổ đề 1: Nếu tồn tại một hình cho diện tích lớn nhất, thì đường bao của hình đó không có điểm lõm.
Chứng minh: Giả sử đường bao của hình cho diện tích lớn nhất đó lõm tại một điểm:

Ta kẻ một đường thẳng đi qua 2 điểm lân cận của điểm lõm, rồi vẽ một đoạn cong đối xứng với đoạn lõm qua đường thẳng đó. Như vậy hình tạo bởi đường cong mới và phần còn lại của đường bao cũ sẽ có chu vi không đổi nhưng diện tích lớn hơn hình cũ --> vô lý (bởi vì ta đã giả sử hình cũ cho diện tích lớn nhất). Bổ đề 1 được chứng minh xong.

Bổ đề 2: Giả sử tồn tại hình cho diện tích lớn nhất. Lấy 2 điểm bất kỳ trên đường bao hình đó sao cho chúng chia đôi chu vi. Khi đó, đoạn thẳng nối 2 điểm này sẽ phải chia đôi diện tích của hình.
Chứng minh: 2 điểm S và T chia đường bao thành 2 đoạn S1T và S2T dài bằng nhau.

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng diện tích hình bao bởi S2T không lớn hơn diện tích hình bao bởi S1T. Ta vẽ đoạn S3T đối xứng với đoạn S1T qua đường thẳng ST. Bởi vì đường bao ban đầu không lõm (theo bổ đề 1) nên hình bao bởi S3T sẽ không có phần nào xếp chồng lên hình bao bởi S1T. Hình tạo bởi 2 đường S1T và S3T có chu vi bằng với hình ban đầu, do đó diện tích hình bao bởi S3T không thể lớn hơn diện tích hình bao bởi S2T (nếu vậy sẽ vi phạm giả thuyết hình ban đầu cho diện tích lớn nhất). Mặt khác diện tích hình bao bởi S2T cũng không lớn hơn diện tích hình bao bởi S1T hay S3T, do đó diện tích hình bao bởi S2T phải bằng với diện tích hình bao bởi S3T hay S1T. Bổ đề 2 chứng minh xong.
Từ bổ đề 2, ta chỉ còn phải chứng minh rằng trong các hình bao bởi đoạn cong bất kỳ có chiều dài cho trước và đoạn thẳng nối 2 đầu mút của đoạn cong đó, nửa đường tròn sẽ cho diện tích lớn nhất.
Chứng minh: Giả sử tồn tại một đoạn cong cho diện tích lớn nhất. Trên đoạn cong đó ta lấy một điểm M bất kỳ.

Ta nhận thấy rằng góc SMT phải là góc vuông. Thật vậy, nếu góc SMT không vuông, ta có thể xoay đoạn cong SM sao cho SMT trở thành vuông. Trong quá trình xoay đó chiều dài đoạn cong ST vẫn không đổi, diện tích 2 phần màu đỏ không đổi, chỉ có diện tích tam giác SMT thay đổi. Trong các tam giác SMT với chiều dài 2 cạnh SM và TM cho trước thì tam giác vuông có diện tích lớn nhất (cái này dễ chứng minh thôi )
Như vậy góc SMT vuông với mọi điểm M trên đoạn cong, do đó đoạn cong đó phải là nửa đường tròn.
Nhận xét: Ở cả 3 bước của bài chứng minh, ta đều phải giả thiết rằng có tồn tại một đường cong cho diện tích lớn nhất. Chỉ dùng kiến thức hình học không thôi thì ta không thể chứng minh giả thiết này được. Vì vậy, bài chứng minh này không chặt chẽ. Tuy nhiên, nếu giả thiết này được cho sẵn trong đề bài thì OK.


Được werty98 sửa chữa / chuyển vào 12:49 ngày 21/08/2007

Xin lỗi bác werty98 vì em không đọc kĩ bài làm của bác(Bằng tiếng Anh).
Giờ thì em hiểu rồi! ơn bác nhiều nhiều!!!!!!!!

Đang thử giải kiểu khác, cũng dùng hệ toạ độ cực, nhưng đến đây thì bí, chưa biện luận được ( Vòng đỏ). Nghĩ sau vậy. Ai có thể làm tiếp được không?

Thử làm tiếp, nhưng không biết có ra được không.

Chỗ chu vi kia bị định nghĩa sai. Để lúc nào sửa lại vậy.

Tui chợt nhớ tới đường cong Hilbert . Đây là 1 đường cong thuộc loại lấp đầy không gian (space-filling). Trong không gian 2 chiều, 1 đường cong Hilbert có thể nằm lọt hẳn bên trong 1 hình vuông đơn vị; mà đường cong này lại đi qua mọi điểm thuộc hình vuông đơn vị này. Nói cách khác, khi đó diện tích của nó là hữu hạn nhưng chu vi thì lại là vô hạn:
http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve
(hiểu biết nông cạn, có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn)
-thân