1. Tuyển Mod quản lý diễn đàn. Các thành viên xem chi tiết tại đây

Chứng minh bất đẳng thức Chebyshev với 3 số

Chủ đề trong 'Toán học' bởi toancap3, 14/11/2016.

  1. 1 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
  1. toancap3

    toancap3 Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    13/10/2016
    Bài viết:
    23
    Đã được thích:
    0
    Chứng minh bất đẳng thức Chebyshev với 3 sốa, b, c
    với a>b>c và x>y>z thì (a+b+c)(x+y+z)≤(ax+by+cz)
    Bài giải:
    Ta có: (a+b+c)(x+y+z) ≤ 3(ax+by+cz).
    <=> ax + ay + az + bx + by + bz + cx + cy + cz ≤ 3(ax+by+cz).
    <=> 2ax + 2by + 2cz - ay - az - bx - bz - cx - cy ≥ 0.
    <=> (ax-ay-bx+by) + (by-bz-cy+cz) + (cz-cx-az+ax) ≥ 0.
    <=> (a-b)(x-y) + (b-c)(y-z) + (c-a)(z-x) ≥ 0.
    Đến đây theo giả thiết ta có điều phải chứng minh.Theo mình nghĩ giả thiết phải là a≥b≥c và x≥y≥z, nếu không thì bất đẳng thức Chebyshev không có dấu bằng.
    Đẳng thức xảy ra <=> a=b=c hoặc x=y=z.
    Nếu (a;b;c) và (x;y;z) đơn điệu ngược chiều nhau, ví dụ như a≥b≥c và x≤y≤z thì dấu của bất đẳng thức đổi chiều.

Chia sẻ trang này