Chứng minh rằng...... Cho hàm số f : Z -->[0,1] được xác định như sau: f(p) = ap - E(ap) Trong đó a là số vô tỷ, E(s) là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn s Chứng minh rằng :Với 0<e<1 tuỳ ý thì tồn tại vô số số nguyên p sao cho f(p)<=e Nhờ các bạn chỉ giúp! Thanks!
Cho hàm số f : Z -->[0,1] được xác định như sau: f(p) = ap - E(ap) Trong đó a là số vô tỷ, E(s) là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn s Chứng minh rằng :Với 0<e<1 tuỳ ý thì tồn tại vô số số nguyên p sao cho f(p)<=e Chào em, bài toán mà em hỏi có thể được phát biểu dưới dạng sau: Cho a vô tỷ, khi đó A = { {az}, z thuộc Z} trù mật trong (0,1). Ở đây khái niệm trù mật được hiểu như sau: Cho hai tập A và B, khi đó A được nói là trù mật trong B nếu, với mọi b1 < b2 thuộc B, luôn tồn tại a thuộc a sao cho a thuộc (b1, b2) Quay trở lại bài toán, đầu tiên nhận xét rằng f đơn ánh vì nếu f(p) = f(q) thì a(p-q) = E(ap)-E(aq). Nếu p!= q thì a = ( E(ap)-E(aq) ) / (p-q) sẽ thuộc Q, vô lý vì a vô tỷ. Từ đó có p=q. Bây giờ xét q thuộc N sao cho 1/q < e. Ý tưởng ở đây là chia (0,1) thành hợp của các đoạn có độ dài < e, sau đó chứng minh tồn tại 1 phần tử của A thuộc vào đoạn này. [0,1) = U [ i/q, (i+1)/q) với i chạy từ 0 đến q-1. Như vậy chúng ta đã chia [0,1) thành q đoạn phân biệt. Xét f(j) với j chạy từ 1 dến q+1. Khi đó có q+1 số, theo nguyên lý Dirichlet ta có tồn tại 1 đoạn chứa ít nhất hai số, chẳng hạn đoạn [i/q, (i+1)/q) chứa f(k) và f(l), không mất tính tổng quát có thể giả sử k > l. Suy ra f(k) - f(l) thuộc (0,1/q), mà f(k) - f(l) = ak - E(ak) - al + E(al) = a(k-l) - E(a(k-l)) = f(k-l) (tổng quát hơn, với mọi a, b thuộc R ta có {a+b} = {{a} + {b}}) Suy ra f(k-l) thuộc (0,1/e), p =k-l thoả mãn. Bây giờ chỉ cần lấy e'''' = f(k-l) và xét bài toán tưong tự với (0,e'''') ta sẽ có p'''' sao cho f(p'''') thuộc (0,e''''), rõ ràng p'''' != p. Cứ làm như vậy ta sẽ có vô hạn p sao cho f(p) thuộc (0,e) (đfcm) Khái niêm trù mật vô cùng quan trọng trong toán học hiện đại, ngoài ra nó cũng có khá nhiều ứng dụng trong giải toán phổ thông, một trong các ứng dụng thường thấy lá áp dụng trong các bài toán phương trình hàm. Nếu em muốn biết anh sẽ viết sau, tạm thời thế đã hen! Chúc em vui! Được eiffel sửa chữa / chuyển vào 11:51 ngày 09/06/2004
Tổng quát hơn, tập {na} có phân phối đều trong [0,1], nghĩa là với mọi 0<u<v<1 thì xác suất để {na} rơi vào [u,v] là v-u. Tổng quát hơn nữa có thể thay {na} bằng {P(n)} trong đó P(n) là một đa thức với hệ số cao nhất vô tỷ. Định lý này hình như của bác Weyl. Được username reincarnated sửa chữa / chuyển vào 17:58 ngày 10/06/2004
Phân bố vẫn đều. Trong trường hợp đa thức có thể CM bằng một tiêu chuẩn cảu bác Weyl và vài cái bổ đề. Hoặc hiện đại hơn có thể dùng lý thuyết ergodique (anh em trước không học systèmes dynamiques, đau quá).
Xin lỗi vô cùng vì type nhầm mấy chỗ. Bây giờ sửa lại đúng rồi Chứng minh: +Rõ ràng ta thấy f là đơn ánh. +Giả sử y1, y2 là hai phần tử thuộc f(Z) và y2 > y1 ta sẽ chứng minh rằng y2 - y1 cũng thuộc vào f(Z). Thật vậy : giả sử f(p1) = y1, f(p2) = y2; y2 - y1 = [ap2 - E(ap2)] - [ap1 - E(ap1)] = a(p2 - p2) - (E(ap2) - E(ap1) Dễ thấy 0<y2 - y1<1 nên (E(ap2) - E(ap1]) cũng là số nguyên lớn nhất nhỏ hơn ap2 - ap1 tức là : E(ap2) - E(ap1) = E(a(p2-p1)) vậy ta có f(p2) - f(p1) = f(p2- p1). +Với mọi 0<e<1 giả sử [0,e] không chứa bất kì một phần tử nào của f(Z). Vì mọi phần tử y1, y2 thuộc vào f(Z) theo chứng minh trên thì |y2 - y1| thuộc vào f(Z) cho nên |y2 - y1| > e. ---> f(Z) chứa hữu hạn phần tử. Nhưng lại do f đơn ánh, Z vô số phần tử --> f(Z) vô hạn phần tử(**). Ta thấy và (**) mâu thuẫn nhau. Vậy với mọi e : 0<e<1 thì đoạn [0,e] chứa ít nhất 1 phần tử s1 của f(Z) +Lại thấy f(p) # 0 với mọi p thuộc Z. Do tính trù mật của R ta có thể chọn e1 : 0<e1<s1. Lúc đó [0,e1] chứa ít nhất 1 phần tử của f(Z),... Tiếp tục như vậy ta có thể có vô hạn phần tử của f(Z) nằm trong đoạn [0,e] Tức là tồn tại vô số số nguyên p thoả mãn f(p)]<= e P/S : bài này rất hay đó Thân Supermetric Oái! Được supermetric sửa chữa / chuyển vào 20:46 ngày 11/06/2004 Được supermetric sửa chữa / chuyển vào 21:11 ngày 11/06/2004
Cám ơn anh(chị) Eiffel và anh(chị) Supermetric nhiều lắm. Hai cách giải của hai anh (chị) đều hay. Em xin cám ơn nhiều lắm. Lần sau em mong được sự giúp đỡ của các anh chị nữa nhé. Cái này thì em không biết là sau này em có cần không vì em không phải là dân Toán. Xin tự giới thiệu em học IT anh (chị) ạ. Nhưng em cũng thích giải toán lắm. Dù sao cũng xin cám ơn các anh.
Ergodique théorie là gì thế bác UR ? Bác có thể dịch sang tiếng Việt và tóm tắt vài dòng được không ? Hồi trước em có gặp, mà cho qua luôn Chỉ biết cái này dính dáng đến Poincaré nhà bác.
Bác hỏi lại làm tôi đau lòng, tôi cũng có biết cái này là gì đâu, hồi trước do ngu nên không luyện qua systèmes dynamiques. Nếu tra google rồi nói leo thế nào cũng thành tầm bậy, cao thủ nào trả lời giúp với. Còn về dịch cái này tôi nghĩ tiếng Việt không có từ tương ứng đâu.
