CMR:1+1=2?

Cần chứng minh: 1+1=2
Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates, với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả tiên đề:
P1. 1 thuộc N
P2. nếu x thuộc N, thì số nối tiếp x’ cũng thuộc N
P3. nếu x khác 1, thì có 1 số y thuộc N mà y’ = x
P4. nếu S là một tập hợp con của N, 1 thuộc S, và
(x thuộc S => x’ thuộc S)
Do đó S=N
Khi đó bạn phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng p1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì
1 + 1 = 1’ =2 (đpcm)
Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
C ũng ph ải đ ịnh ngh ĩa 1 = 0’, v à 2= 1’. Khi đ ó d ẫn ch ứng cho đ ịnh l í tr ên c ó m ột s ự kh ác bi ệt nh ỏ:
Ch ứng minh: d ùng ph ần th ứ hai c ủa đ ịnh ngh ĩa c ủa ph ép c ộng :
1 + 1 = (1+0)’
R ồi d ùng ph ần đ ầu c ủa đ ịnh ngh ĩa ph ép c ộng v ề t ổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)