có ai giải dùm em bài toán này không ?

có ai giải dùm em bài toán này không ?

chào các anh các chị
nay em có một bài toán cần giải
xin các anh chị giúp cho


"Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q , R lần lượt là chân của các đường vuông góc hạ từ đỉnh D xuống các đường thẳng BC, CA và AB. Chứng minh rằng PQ=QR khi và chỉ khi các đường phân giác của hai góc ABC và ADC gặp nhau trên cạnh AC"

Chào em, anh giúp em giải nó nhé:
Chắc là em biết đến đường thẳng Simson đúng không, thế thì ta có P, Q, R thẳng hàng.
Gọi tia phân giác của góc ABC la CI
tia phân giác của góc ADC la DJ
Theo tính chất đường phân giác ta có: AI /CI = AB / BC, AJ / CJ = AD / DC.
Như thế bài toán <=> (PQ = QR <=> I trùng J <=> AB / BC = AD / DC <=> AB.CD = BC.AD)
Xét các cặp tam giác đồng dạng sau: RQD~BCD, DQP~DAB, ta có: RQ / QD = BC / CD và DQ / QP = DA / AB
Nhân vế với vế ta được RQ / QP = (BC.DA) / ( CD.AB)
Từ đây ta có ngay RQ = QP <=> BC.DA = CD.AB (đfcm)
Nhân tiện anh nói luôn, đây là bài thứ tư trong IMO 2003 tổ chức tại Tokyo, Nhật, em có thể tham khảo đề bài cũng như lời giải tại địa chỉ sau http://www.imojp.org/
Thế nhé, hy vọng anh giúp được em!

em nhờ các bác giải hộ bài toán này với: có 13 đồng tiền trong đó có một đồng tiền giả không biết tiền giả nặng hơn hay nhẹ hơn tiền thật, với 3 lần cân hãy tìm ra đồng tiền giả đó?
voiconlontalonton

Chia 13 viên bi thành 3 phần A, B, C trong đó A và B có 4 viên, C có 5 viên. Cân như sau:
Lần 1: Cân A và B, xét các trường hợp có thể xảy ra:
- A = B, khi ấy trong C có viên bi giả, còn A và B đều là thật.
Lại chia C thành hai phần C1 3 viên, C2 2 viên.
Lần 2, đem cân C1 với 3 viên bi thật (lấy từ A), xét các trường hợp:
- Nếu hai bên bằng nhau, suy ra viên còn lại nằm trong C2.
Lần 3: Lấy 1 viên trong C2 đem cân với 1 viên bi thật:
- Nếu hai bên bằng nhau => viên giả la viên còn lại trong C2
- Nếu hai bên không bằng nhau => viên giả là viên của C2 đang được cân (vì viên còn lại đã là thật rồi)
- Nếu hai bên không bằng nhau, có thể giả sử bên C1 nặng hơn, khi đó ta vừa biết được viên giả nằm trong C1, vừa biết được là viên đó nặng hơn viên thật. Đến đây, tách C1 thành 3 viên, lần 3 đem cân hai viên trong chúng:
Nếu hai bên bằng nhau, viên còn lại là viên giả
Nếu hai bên không bằng nhau, khi đó viên nặng hơn là giả.
- Nếu A và B không bằng nhau, có thể giả sử A nhẹ hơn B, khi đó 5 viên trong C là thật. Tách A thành hai phần A1 và A2 mỗi bên 2 viên, tách B thành 2 phần B1 3 viên, B2 1 viên. Đánh dấu các viên thuộc A màu xanh, B màu đỏ, đem trộn lẫn A1 và B1.
Lần 2: Cân (A1+B1) với C, xét các trường hợp:
- Nếu hai bên bằng nhau: Khi đó viên giả nằm trong A2 (màu xanh) hoặc B2 (màu đỏ).
Lần 3: Lấy 1 viên xanh (trong A2) cùng với 1 viên đỏ (trong B2), đem cân với hai viên bi thật.
- Nếu hai bên bằng nhau => viên xanh còn lại trong A2 là giả (hơn nữa nó nhẹ hơn viên thật)
- Nếu bên xanh + đỏ nhẹ hơn => viên giả nhẹ hơn viên thật và nằm trong đống xanh+ đỏ. Viên giả nhẹ hơn nên => viên giả nằm trong A => đó là viên xanh đang cân
- Nếu bên xanh + đỏ nặng hơn => viên đỏ là viên giả, lí luận tương tự trên.
- Nếu hai bên không bằng nhau: Khi đó viên giả nằm trong A1 + B1. Ta xét các trường hợp:
- Nếu (A1+B1) nặng hơn => viên giả nặng hơn viên thật và nằm trong A1+B1. Viên giả nặng hơn nên => viên giả nằm trong B => viên giả nằm trong B1 ( 1 trong 3 viên đỏ)
Lần 3: Đem cân hai viên của B1:
Nếu bằng nhau => viên còn lại là giả
Nếu không bằng nhau, khi đó bên nặng hơn sẽ chứa viên giả.
- Nếu (A1+B1) nhẹ hơn => viên giả nhẹ hơn viên thật và nằm trong A1+B1. Viên giả nhẹ hơn nên => viên giả nằm trong A => viên giả nằm trong A1 ( 1 trong 2 viên xanh)
Lần 3: Đem cân hai viên của A1 với nhau, bên nào nhẹ hơn là bên giả.
Có một bài toán tương tự trong mục Những bài toán vui (trang chủ đề 4), nhưng là làm với 12 viên bi, em có thể tham khảo, chúc em vui nhé!

em vote bác 5 sao đấy, bác chịu khó giúp đỡ người khác nhỉ? em muốn hỏi bác là làm sao bác nghĩ ra cách làm như vậy thì chỉ cho em với?! chúc bác dzui!
voiconlontalonton

Cảm ơn em nhiều vì đã vote cho anh
Còn về chuyện nghĩ ra, hic, anh cũng chẳng biết nói thế nào nữa
Còn chuyện giúp mọi người, anh thấy mình có thể giúp được ai thì giúp thôi, hồi xưa anh đang bí bài nào, được ai đấy giải giúp thì thấy thích lắm, bởi vậy bây giờ, nếu ai đó bí bách, mình giúp được cho họ thì tốt quá, mà cũng may là anh giải được, chứ nếu không thì....
Thế còn em, em chắc là cũng thích học toán lắm nhỉ? Anh chúc em học tốt nhé!