Có gì hay không ?

Có gì hay không ?

Xét phương trình vi phân : 4x*y(2)+2y(1)-y=0 (1) ( y(n):đạo hàm cấp n)
Ta tìm nghiệm có dạng chuỗi : y=a0+a1x+...+a(n)x^n+... (2)
Đạo hàm 2 lần và thay vào (1) ta tìm được hệ thức :
8a2x+24x^2+...+4*n*(n-1)*a(n+1)*x^(n-1)+...
+2a1+4a2x+8a3*x^2+16a4x^3....2*n*a(n)*x^(n-1)+...
- a0 - a1x - a2x^2-.........................-a(n-1)*x^(n-1)+....=0
Phương trìng này được thoả mãn với mọi x , nếu các hệ số của các luỹ thừa liên tiếp của x đều =0.Như vậy ta có hệ thức :
2*n*(2*n-1)*a(n)-a(n-1)=0 (với n=1,2,3,4...
<=> a(n)=a(n-1)/[2n(2n-1)]=a(n-2)/[(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)}
=...=a0/(2n)! ( n! : n giai thừa)
Thay các giá trị của a1,a2,..... vào chuỗi (2) ta được nghiệm dưới dạng chuỗi : y=a0(1+x/(2)!+...x^n/(2n)!+...) (3)
Trong đó a0 tuỳ chọn.Ta thấy chuỗi (3) chính là khai triển của hàm số ch(căn x) , do đó nghiệm của pt vi phân đã cho là
y=a0 ch(căn x)

Đọc xong tôi chợt nảy ra ý định là liệu có thể sử dụng phương trình vi phân để tìm số hạng tổng quát của dãy số cho =công thức truy hồi k0?
Tôi bắt tay vào làm thử với dãy số cho = công thức sau:
a(n)=a(n-1)/n a0=1
Ta có thể viết công thức như sau : a(n-1)=n*a(n)
Xét hàm chuỗi : y=a0+a1*x+...+a(n)*x^n+...
Đạo hàm 2 vế : y '' =a1+2a2*x+....+n*a(n)*x^(n-1)+....(**)
Trừ cho (**) tađược:
y-y '' =a0-a1+(a1-2a2)*x+...+[a(n-1)-n*a(n)]x^(n-1)+...(A)
Vì a(n-1)=n*a(n) <=> a(n-1)-n*a(n)=0
nên (A) <=> y-y '' =0
<=>y '' /y=1
<=> ln(y)=x+c
<=> y=c*e^x
Như ta đã biết e^x=1+x+x^2/(2)!+...+x^n/n!+..
=> y=c+c*x+c*x^2/2+...+c*x^n/n!+..)
Từ đó suy ra a(n)=c/n!
Do a0=1 =>c=1 .Vậy a(n)=1/n!

Các bạn thấy thế nào!
Khi áp dụng phương pháp này cho các dãy số khác tôi đã gặp khó khăn :
Thứ nhất là :Các phương trình vi phân rất khó giải
2 :Chắc là phương pháp này không áp dụng được cho các dãy không hội tụ.
3 :Khi tìm được hàm y rồi ta lại phải khai triển nó ra thành chuỗi...
Quá phức tạp phải không?

Tôi viết bài này để giới thiệu với các bạn 1 phương pháp tìm dãy số..các bạn có cách nào khác không hãy đưa ra để mọi người cùng học tập.

Sao chẳng thấy ai có ý kiến gì vậy

nói thật là mình nhìn ngán quá chẳng muốn đọc