1. Tuyển Mod quản lý diễn đàn. Các thành viên xem chi tiết tại đây

Có gì hay không ?

Chủ đề trong 'Toán học' bởi nguyenthihongnhien, 17/04/2005.

  1. 1 người đang xem box này (Thành viên: 0, Khách: 1)
  1. nguyenthihongnhien

    nguyenthihongnhien Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    22/03/2003
    Bài viết:
    89
    Đã được thích:
    0
    Có gì hay không ?

    Xét phương trình vi phân : 4x*y(2)+2y(1)-y=0 (1) ( y(n):đạo hàm cấp n)
    Ta tìm nghiệm có dạng chuỗi : y=a0+a1x+...+a(n)x^n+... (2)
    Đạo hàm 2 lần và thay vào (1) ta tìm được hệ thức :
    8a2x+24x^2+...+4*n*(n-1)*a(n+1)*x^(n-1)+...
    +2a1+4a2x+8a3*x^2+16a4x^3....2*n*a(n)*x^(n-1)+...
    - a0 - a1x - a2x^2-.........................-a(n-1)*x^(n-1)+....=0
    Phương trìng này được thoả mãn với mọi x , nếu các hệ số của các luỹ thừa liên tiếp của x đều =0.Như vậy ta có hệ thức :
    2*n*(2*n-1)*a(n)-a(n-1)=0 (với n=1,2,3,4...
    <=> a(n)=a(n-1)/[2n(2n-1)]=a(n-2)/[(2n+1)2n(2n-1)(2n-2)}
    =...=a0/(2n)! ( n! : n giai thừa)
    Thay các giá trị của a1,a2,..... vào chuỗi (2) ta được nghiệm dưới dạng chuỗi : y=a0(1+x/(2)!+...x^n/(2n)!+...) (3)
    Trong đó a0 tuỳ chọn.Ta thấy chuỗi (3) chính là khai triển của hàm số ch(căn x) , do đó nghiệm của pt vi phân đã cho là
    y=a0 ch(căn x)

    Đọc xong tôi chợt nảy ra ý định là liệu có thể sử dụng phương trình vi phân để tìm số hạng tổng quát của dãy số cho =công thức truy hồi k0?
    Tôi bắt tay vào làm thử với dãy số cho = công thức sau:
    a(n)=a(n-1)/n a0=1
    Ta có thể viết công thức như sau : a(n-1)=n*a(n)
    Xét hàm chuỗi : y=a0+a1*x+...+a(n)*x^n+...(*)
    Đạo hàm 2 vế : y '' =a1+2a2*x+....+n*a(n)*x^(n-1)+....(**)
    Trừ (*) cho (**) tađược:
    y-y '' =a0-a1+(a1-2a2)*x+...+[a(n-1)-n*a(n)]x^(n-1)+...(A)
    Vì a(n-1)=n*a(n) <=> a(n-1)-n*a(n)=0
    nên (A) <=> y-y '' =0
    <=>y '' /y=1
    <=> ln(y)=x+c
    <=> y=c*e^x
    Như ta đã biết e^x=1+x+x^2/(2)!+...+x^n/n!+..
    => y=c+c*x+c*x^2/2+...+c*x^n/n!+..)
    Từ đó suy ra a(n)=c/n!
    Do a0=1 =>c=1 .Vậy a(n)=1/n!

    Các bạn thấy thế nào!
    Khi áp dụng phương pháp này cho các dãy số khác tôi đã gặp khó khăn :
    Thứ nhất là :Các phương trình vi phân rất khó giải
    2 :Chắc là phương pháp này không áp dụng được cho các dãy không hội tụ.
    3 :Khi tìm được hàm y rồi ta lại phải khai triển nó ra thành chuỗi...
    Quá phức tạp phải không?

    Tôi viết bài này để giới thiệu với các bạn 1 phương pháp tìm dãy số..các bạn có cách nào khác không hãy đưa ra để mọi người cùng học tập.
  2. nguyenthihongnhien

    nguyenthihongnhien Thành viên mới

    Tham gia ngày:
    22/03/2003
    Bài viết:
    89
    Đã được thích:
    0
    Sao chẳng thấy ai có ý kiến gì vậy
  3. tungsin_tpg

    tungsin_tpg Thành viên rất tích cực

    Tham gia ngày:
    24/11/2003
    Bài viết:
    4.584
    Đã được thích:
    0
    nói thật là mình nhìn ngán quá chẳng muốn đọc

Chia sẻ trang này