Có tin gì về IMO 2007 chưa các bác?

Có tin gì về IMO 2007 chưa các bác?

Cập nhật đi các bác ơi!

Mới có đề thôi. Lượm đc bên mathnfriend.org:

Kết quả chắc là chưa có.

Có bác nào giải đề không các bác ơi? Tham gia giải đề đi.

http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?s=fe7f261d7e929b03344f245f4a7aa21a&showforum=220

Bài 6. =3n
Cách tốt nhất là chứng minh số mặt phẳng ít nhất là khi chúng ko giao nhau.
Quy nạp. Chứng minh cho hình vuông cạnh bằng 2, 3 ,4 có số mặt phẳng diện tích bé nhất khi chúng song song với nhau và có số bằng quy luật 3n. Giả sử đúng với k thì đúng với k+1.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 07:43 ngày 30/07/2007

Bài này dính tới lý thuyết tổ hợp, không chứng minh dễ dàng vậy được đâu.
Không có gì ràng buộc để cho trường hợp tối thiểu phải luôn có các mặt phẳng không giao nhau.
Những bài toán tìm giải pháp tối ưu thường ít khi chứng minh được bằng quy nạp.

n=2, 3, 4 đúng.
Giả sử đúng với k.
[
Số đường thẳng có thể vẽ được trên một mặt phẳng đáy hình hộp chữ nhật mà chứa toàn bộ các điểm trên mf đáy mà ko chứa O:
từ 2.n đến (3n-6).(n-2)+(2n-4)(n-2)+(n-2)(n-2) + 6(n-2)+3
=3(n-2).(n-2)+2(n-2).(n-2)+(n-2).(n-2)+6(n-2)+3
=6.(n-2).(n-1)+3 > 2n
Số mặt phẳng có thể qua ba điểm trên hình hộp vuông cạnh n (Qua một đường thẳng trên mf đáy và một điểm trên mặt phẳng chéo của hình hộp-gồm 3.(n-1) điểm):
Từ 3n đến 3.(n-1).[6.(n-2).(n-1)+3] > 3n mặt phẳng.

Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 15:55 ngày 30/07/2007

Bạn mới chỉ ra được 1 giải pháp và tính được số mặt phẳng cần thiết, tuy nhiên cái khó nằm ở chỗ chứng minh nó là tối ưu thì bạn chưa làm được.

Tôi giám đảm bảo dùng phương pháp quy nạp là đúng.
Tôi nói rõ nhé: Số mặt phẳng tối ưu là 3n.
Trường hợp n=2,3,4 đúng.
Giả sử đúng với n=k. Nếu suy ra tối ưu là <3(k+1) là tôi sai. Nhưng tôi lại đúng, số mặt phẳng tối ưu là 3k+3 = 3(k+1). Không thể bé hơn được. (Xem hình vẽ trên).
Vậy làm sao bảo là ko quy nạp được.
Làm cách khác cũng chứng minh được. Xem hình ba. Một mặt phẳng tạo bởi tối thiểu là một đoạn thẳng và một điểm. Sẽ tối ưu khi số đoạn thẳng tối ưu và số điểm là tối ưu. Số đoạn thẳng tối ưu khi chúng song song với nhau. Lấy cái này làm tiền đề để làm tiếp.

Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 20:08 ngày 30/07/2007

Bài 2: ( Thấy đề ngắn nên làm thử, ra ngon lành quá nên chẳng biết có sai chỗ nào không nữa ). Ai vẽ hình hộ mình với.
Từ giả thiết EC = EG = EF => E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác FCG. Hạ EK vg FC ( KF = KC ) và hạ EH vg GC ( HG = HC ).
Gọi AD = BC = a và AB = DC = b
tg FCG đồng dạng tg ABG nên FC/CG = AB/BG = b/(a+CG) <=> FC.a + FC.CG = b.CG <=> FC.a + 1/2FC.CG = b.CG - 1/2FC.CG <=> FC/CG = (b - 1/2FC)/(a + 1/2CG) (1)
Vì tứ giác CEDB nội tiếp nên E^DC = E^BC dễ thấy tg EKD đồng dạng tg EHB nên EK/EH = DK/BH = (b - 1/2FC)/(a + 1/2CG) (2)
Từ (1) và (2) => FC/CG = EK/EH <=> KC/HC = EK/EH => CE là phân giác F^CG hay tgCFG cân ở C, dễ dàng suy ra AE là phân giácD^AB.
Đpcm.