Có tin gì về IMO 2007 chưa các bác?

Bài 5:

Đề 4 kiểu gì vậy nhi? góc DAB ở đâu ra vậy??? Không hiểu.

Buồn cười nhất là xem bảng điểm có rất nhiều chú bị 0 hay 1 điểm. Như mấy chú Chilê, Bôlivia,...Tớ bỏ toán lâu rồi nhưng vẫn có thể "ăn" được 2 bài hình!

Bài một không thấy ai động đũa gì cả nhỉ?
Thử phương án này xem!
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 16:20 ngày 31/07/2007

Lần đầu tiên tôi thấy phép chia như thế này. Phần nguyên có thể là phân số?

Chia theo số mũ của a và b. 4a.b-1 có số mũ là bình phương. Chia hết số mũ bình phương thì dừng lại. Còn để chia hết thì phải biện luận. Số dư phải bằng không.
Phần nguyên cũng rút ra và biện luận cho nó nguyên. Nhưng khi a = b thì đã thoả mãn rồi.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 18:11 ngày 31/07/2007

Bài 4: ( Tính toán thì dễ không biết có cách nào nhanh gọn hơn không ).
Sửa đề: Phân giác góc B^CA cắt đường tròn ngoại tiếp tgABC ở R.
Giải:
Đặt BC = a, CA = b. Không mất tổng quát giả sử a>b ( để tiện vẽ hình ). Đặt RC = x. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tgABC.
Kẻ đường cao RE của tgRQL và RD của tgRPK. Hạ OH vg RC => H là trung điểm RC.
tgCQL đồng dạng tgCPK nên QC/PC = QL/PK = b/a (1)
tgOHQ đồng dạng tgCQL nên OH/CL = QH/QL => OH = 1/2b.QH/QL = 1/2b.(1/2x - QC )/QL (2)
tg OHP đồng dạng tgCKP nên OH/CK = PH/PK => OH = 1/2a.PH/PK = 1/2a.(PC - 1/2x)/PK (3)
Từ (2) và (3) => b.(1/2x - QC )/QL = a.(PC - 1/2x)/PK
Kết hợp (1) => 1/2x - QC = PC - 1/2x <=> QC + PC = x => QC = PR và PC = QR (4)
Từ (4) => tgRPD = tgCQL (g.c.g) => RD = CL = 1/2b
tgREQ = tgCKP (g.c.g) => RE = 1/2a
(5)
Từ (5) 2S tgRQL = RE.QL = 1/2a.QL
2S tgRPK = RD.PK = 1/2b.PK
Diện tích 2 tg bằng nhau <=> a.QL = b.PK <=> QL/Pk = b/a, điều này đúng do (1).
Đpcm.
Có lẽ còn rút gọn ở đâu đó được nữa.
Được chiaki_co_len06 sửa chữa / chuyển vào 13:10 ngày 01/08/2007

Hai bài này có lẽ là dễ nhất, nhưng làm được cũng chưa chắc đã ẵm nổi một huy chương

Làm bài 1 đi bạn. Hình tôi vẽ rồi đó. Tổng epxilon dãy trên trừ tổng epxilon dãy dưới. đường d/2 là đường trung bình của hai dãy trên và dưới đó.

Tôi không hiểu bài đó lắm nên có khi giải ra lại làm mọi người cười lăn cười bò cũng nên. Nhưng dù sao tôi vẫn làm thử theo đúng ý hiểu, để xem sai chỗ nào, hay tôi hiểu nhầm đề.
Tôi để ý là nếu di = I max aj - min aj I (giá trị tuyệt đối) thì sẽ khó hơn.
Giả sử d = B - A, xét B>A ( vì B<A thì khỏi cần chứng minh ). Tương ứng với B, A có các số thực xb và xa ( b <a), với điều kiện xa > xb.
Nếu xb > B thì Ixa - AI > Ixb - AI > B -A > d/2
Nếu xa <A thì Ixb - BI > Ixa - BI > IA -BI > d/2
Nếu xa > A và xb< B, chứng minh phản chứng. Giả sử là sai: B - xb < (B -A)/2 và xa - A < (B - A)/2, giải hai cái này ra suy ra xb > (A + B)/2 và xa< (A + B)/2, suy ra xa < xb, vô lý.
Đpcm.
Được chiaki_co_len06 sửa chữa / chuyển vào 13:09 ngày 01/08/2007