Có tin gì về IMO 2007 chưa các bác?

Tôi biết là bạn hiểu. Xong nên post lại cho mạch lạc. Định nghĩa xong các tham số rồi hãy giải. Lúc đó người khác mới tưởng tượng được. Còn tôi giải cách khác. Mọi người không phải tưởng tượng, nhìn trực tiếp vào hình mà làm. (Tất nhiên có một số bước trong đó đáng lẽ cần phải viết ra song dễ thấy nên tôi không viết. Ví dụ các dãy cận trên và cận dưới là tăng dần. Các dãy Xi để cho max/Xi-ai/=dmax/2 cũng là tăng dần. Dễ chứng minh thôi)

Bài 1 tôi giải hoàn chỉnh như sau: ( dài dòng nhưng cũng là một thành quả ):
Chứng minh 2 bổ đề:
Bổ đề 1: B>=A, xb =< xa, CMR max {I xb - B I, I xa - A I} >= (B - A)/2.
I xb - B I + I xa - A I >= I xa -A + B - xb I >= B - A, vậy max {I xb - B I, I xa - A I} >= (B - A)/2
( lâu rồi không giải toán đâm ra NGU thật )
Bổ đề 2: A =< ai =< B, CMR I ai - (A + B)/2 I =< (B - A)/2
Xảy ra 2 trường hợp:
*) I ai - (A + B)/2 I = ai - (A + B)/2 = ai - B + (B - A)/2 =< (B - A)/2
*) I ai - (A + B)/2 I = ai - (A + B)/2 = A - ai + (B - A)/2 =< (B - A)/2
Đpcm.
a) : Bổ đề 1 đã chứng minh tại điểm dmax = B - A luôn tồn tại I x - a I >= dmax/2.
b) : Có 3 kết luận sau:
*) ai ( 1 =< i =< a) =< B vì nếu tồn tại ak > B, tồn tại d > dmax
*) Tương tự aj ( b =< j =< n ) >= A.
Vậy dãy ai gồm 3 dãy:
(1) : A =< ai =< B ( b=< i =< a)
(2): ai > A ( a < i =< n )
(3): ai < B ( 1 =< i < B )
# Dãy (1) lấy xi = xa = xb, theo bổ đề 2 => max I ai - xi I = dmax/2
# Dãy (2) +) nếu A < ai < B lấy xi = xa = xb. Xong
+) nếu tồn tại C >= B, và D nhỏ nhất trong dãy lấy xi = (C+D)/2. Do C - D =< B - A nên xi >= xa, thoả mãn cách lấy xi. Theo bổ đề 2, max { I ai - xi I } =< (C - D)/2 =< dmax/2
# Dãy (3) lí luận tương tự dãy (2) lấy xi = xa = xb hoặc xi = (max của dãy + min của dãy )/2. Xong.
Vậy max { I ai - xi I, 1=< i =< n } = dmax/2, tồn tại bộ xi như vậy.
Được chiaki_co_len06 sửa chữa / chuyển vào 11:35 ngày 02/08/2007
Được chiaki_co_len06 sửa chữa / chuyển vào 11:40 ngày 02/08/2007
Được chiaki_co_len06 sửa chữa / chuyển vào 10:41 ngày 03/08/2007

Chứng minh 2 bổ đề:
Bổ đề 1: B>=A, xb =< xa, CMR max {I xb - B I, I xa - A I} >= (B - A)/2.
Vậy dãy ai gồm 3 dãy:
(1) : A =< ai =< B ( b=< i =< a)
(2): ai > A ( a < i =< n )
(3): ai < B ( 1 =< i < B )
# Dãy (1) lấy xi = xa = xb, theo bổ đề 2 => max I ai - xi I = dmax/2
# Dãy (2) +) nếu A < ai < B lấy xi = xa = xb. Xong
+) nếu tồn tại C >= B, và D nhỏ nhất trong dãy lấy xi = (C+D)/2. Do C - D =< B - A nên xi >= xa, thoả mãn cách lấy xi. Theo bổ đề 2, max { I ai - xi I } =< (C - D)/2 =< dmax/2
# Dãy (3) lí luận tương tự dãy (2) lấy xi = xa = xb hoặc xi = (max của dãy + min của dãy )/2. Xong.
Sửa lại chỗ này:
Chứng minh 2 bổ đề:
Bổ đề 1: Đặt d=a(b)-a(a)=B-A. giả sử B>=A, [a,b] thuộc[1,n] và a>b. xb =< xa, CMR max {I xb - B I, I xa - A I} >= (B - A)/2=d/2.
.
.
Vậy dãy ai gồm 3 dãy:
(1) : A =< ai =< B ( b=< i =< a)
(2): ai > A ( a < i =< n )
(3): ai < B ( 1 =< i < b )
.
.
# Dãy (1) lấy xi = xa = xb=(B+A)/2, theo bổ đề 2 trong đoạn [a,b]max I ai - xi I = dmax/2 (4)
#Dãy (3) và (2) làm như sau.
Tại bất kỳ đoạn [c,d] ([c,d] thuộc [1,b] hoặc [a,n] tương ứng với (3) và (2)) nào có di = ad-ac =D-C. (giả thiết D>C)
đặt Xc=Xi = Xd = (D+C)/2 ta đều có max/Xi-ai/ =d/2 (5)
Kết hợp (4),(5) trong (3) đoạn [1,b]; [b,a],[a,n]
Ta luôn có max/Xi-ai/ = dmax/2.
Ta cần phải chứng minh
khi c>d>a>b Xc>=Xd >=Xa>=Xb
khi d<c<b<a Xd<=Xc<=Xa<=Xb
Dễ thấy khi c>d>a>b Ta có a(c)=C>= A=a(a) ; D>B
vì d/2<=dmax/2 <=> D-C<=B-A => D-C -2D<= B-A-2B
Hay D+C>=B+A hay Xa<=Xd.
Tương tự cho đoạn d<c<b<a.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 13:36 ngày 02/08/2007

Cả hai bạn chiaki_co_len06 và FromtheStars giải phần b) bài 1 sai, ở đoạn xác định các phần tử dãy 2 và dãy 3.
Lấy trường hợp min{ai} = a1(phần tử đầu). Thì thấy ngay các d với i>=2 sẽ không có dạng C-D như của bạn, nên không thể có C-D<=B-A . Hơn nữa, với kiểu xây dựng dãy như trên, bạn đã quên mất một điều kiện nữa là dãy xi là dãy không giảm.
Còn về mấy cái bổ đề kia, thì bổ đề 2 là hiển nhiên, cần gì phải nêu ra, bổ đề 1 chứng minh quá dài dòng.
Bài 5 của bạn FromtheStars biện luận sai, do không hiểu được vấn đề.

Dãy Xi giảm đây. Bạn đọc kỹ dùm.
#Dãy (3) và (2) làm như sau.
Tại bất kỳ đoạn [c,d] ([c,d] thuộc [1,b] hoặc [a,n] tương ứng với (3) và (2)) nào có di = ad-ac =D-C. (giả thiết D>C)
đặt Xc=Xi = Xd = (D+C)/2 ta đều có max/Xi-ai/ =d/2 (5)
Kết hợp (4),(5) trong (3) đoạn [1,b]; [b,a],[a,n]
Ta luôn có max/Xi-ai/ = dmax.
Ta cần phải chứng minh
khi c>d>a>b Xc>=Xd >=Xa>=Xb
khi d<c<b<a Xd<=Xc<=Xa<=Xb
Dễ thấy khi c>d>a>b Ta có a(c)=C>= A=a(a) ; D>B
vì d/2<=dmax/2 <=> D-C<=B-A => D-C -2D<= B-A-2B
Hay D+C>=B+A hay Xa<=Xd.
Tương tự cho đoạn d<c<b<a.
Trường hợp d1: có hai trường hợp. ac là nhỏ nhất trên dãy 2-n
lúc này d =1 và c=c.
Bạn nên nhớ lúc này B>=D và A>=C
D-C<=B-A ==> D-C+2C<=B-A+2A ==> D+C <= B+A ==> X1=Xc<=Xb=Xa
Tất nhiên tôi đã giải. Mà tôi đã giải thì bao giờ cũng có hình. Tôi chỉ cần vẽ xong là xong. Viết rất ít.
Còn bài 5 Bạn nói tôi không hiểu ở chỗ nào? Thiếu gì nào.
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 13:38 ngày 02/08/2007

Thật ra tôi post bài trên dựa trên nhận xét về bài trước khi sửa của bạn, trong khi tôi đang gõ thì bạn đã kịp sửa rồi.
Nhưng thậm chí sau khi đọc bài sửa của bạn, vẫn bị sai .
Ai cho phép bạn ràng buộc mọi d với i<b<a đều có dạng a[c]-a[d] với c<d<a<b? Cũng như vậy với b<a<i?
Hơn nữa, trong đoạn chứng minh dãy xi không giảm, thì khẳng định C>=a thì đúng, nhưng D>B là sai hoàn toàn(nhưng cái này cũng chả qua trọng nữa vì bạn sai từ trên rồi).
Tóm lại, bạn vẫn chưa giải được .

Khổ thật. Giải theo phương pháp không có hình là như vậy đấy. Người đọc không thể theo được mà mình cũng viết nhầm lẫn hết
Thế này nhé. Đoạn chứa dmax là a(b), a(a). Đúng không bạn
a(b) =B; a(a)=A. (a>b)
Còn ta có: di = Max {aj,i=1-i} - min {aj,j=i-n} Cho nên đặt Max {aj,j=1-i} = a(d) =D
min {aj,j=i-a} =a(c) =C
có đúng là khi i thuộc 1->b D<=B không và C<=A. Vì nếu D>B ==> D-C>=D-A>B-A ==> di>dmax
Ngược lại nếu i thuộc a--> n.
Max {aj,j=1-i} = a(d) =D (1)
Min {aj,j=i-n} =a(c) =C
Lại có D>=B vì định nghĩa (1). và A<=C
D-C<=B-A ==> D-C-2D<=B-A-2B ==> D+C>=A+B tức là Xd=Xc>=Xa=Xb
Tôi chẳng thấy sai chỗ nào cả.!
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 15:07 ngày 02/08/2007

Nói chung là Chiaki làm dài dòng. Tôi cố gắng viết gọn cũng khó. Người đọc khó theo dõi. Cố gắng vẽ hình ra, viết mấy dòng là xong.

D,C ở đây lại khác D, C ở trên, hehe .
Nhưng vẫn cứ sai.
Tôi thừa nhận đoạn chứng minh sau đúng :
khi c>d>a>b Xc>=Xd >=Xa>=Xb
khi d<c<b<a Xd<=Xc<=Xa<=Xb
với d,c như đ/n của bạn, nhưng đúng thì giải quyết gì?
Điều này đâu có đảm bảo dãy x tăng vì không phải với bất kỳ cặp d<=c nào cũng đều có j để a[d]-a[c]=d[j].
Còn những giá trị xi khác thì sao? Chẳng hạn e<f<d<c, bạn có chứng minh được x[f]<x[d], hay vẫn chỉ so với x[a],x thôi?

Điều này đâu có đảm bảo dãy x tăng vì không phải với bất kỳ cặp d<=c nào cũng đều có j để a[d]-a[c]=d[j].
Còn những giá trị xi khác thì sao? Chẳng hạn e<f<d<c, bạn có chứng minh được x[f]<x[d], hay vẫn chỉ so với x[a],x thôi?
Chứng minh được hết!
Không nhìn thấy tôi không sử dụng B-A = dmax/2 à. Có nghĩa là nó tổng quát đấy.
Hãy xem E=B, F=A mà giải thì sẽ có Xe=Xf<= Xc=Xd
Có lẽ trước khi xem tôi trả lời, bạn nên xem bài tôi giải. Đã post lên 3 ảnh liên tiếp trong một bài trả lời trang trước.
Theo tôi, bạn nên suy nghĩ thật kỹ để hỏi, tránh spam. Tôi không cần phải nghĩ ra cái e,f làm gì bởi Tôi chỉ cần chứng minh với mọi di = D - C mà có /xi-ai/ =d/2 là được rồi.
Bởi /Xi-ai/ =d/2 <= /Xa-a(a)/ =/Xb-a(b)/=dmax/2 là được rồi. Có nghĩa là lúc ấy /Xa-a(a)/ = max/Xi-ai/
Được FromtheStars sửa chữa / chuyển vào 16:48 ngày 02/08/2007