Min = 895122 đạt khi x=y=669 Cách giải của mình rất ko đẹp, đưa ra đ/s để làm nóng topic lên thôi. Rất mong được đọc những lời giải hay của các bạn
Bô? đê? 1: "Số tự nhiên dạng 4*k + 3 (số nguyên tố hay hợp số) không thế la? tô?ng cu?a 2 bi?nh phương". Bô? đê? 2: "Nếu p la? số nguyên tố va? tô?n tại 2 số nguyên không chia hết cho p sao cho tô?ng 2 bi?nh phương cu?a chúng chia hết cho p thi? p la? tô?ng cu?a 2 bi?nh phương". Xin phép gia?i. Gia? sư? tô?n tại x, y thoa? mafn điê?u kiện đâ?u ba?i. Nếu x hoặc y không chia hết cho 3 thi? tô?ng 2 bi?nh phương chia cho 3 dư 1 hoặc 2. Do vế pha?i chia hết cho 3 (cho 9) nên x va? y pha?i chia hết cho 3. Đặt x = 3*x1, y = 3*y1 ta có A1 = x1^2 + y1^2 chia hết cho 223. Ta có 1 nghiệm A1 = 223^2 + 223^2 = (2*223)*223 Ta chứng minh ră?ng không có nghiệm na?o nho? hơn. Theo bô? đê? 1 (va? dêf kiê?m tra) số 223 không thê? la? tống cu?a 2 bi?nh phương. Do vậy theo bô? đê? 2 nếu tô?n tại x2, y2 sao cho A2 = x2^2 + y2^2 chia hết cho 223 (A) thi? 1 trong 2 số x2, y2 pha?i chia hết cho 223. Gia? sư? x2 chia hết cho 223. Tư? (A) suy ra ră?ng y2 cufng chia hết cho 223. x2 = k*223, y2 = n*223 với k, n la? số tự nhiên. Do vậy A1 = 223^2*2 <= A2 = 223^2*(k^2 + n^2) Đáp án: A = 669^2 + 669^2 = 446*223.
ChĂn trời rTng thĂnh thang ch- nĂo cũng lĂ nhĂ, ch? cần cảm thấy thoải mĂi thĂ dừng chĂn, nếu khĂng hĂy tiếp tục dạo bư>c t>i ngĂi nhĂ bạn mu'n.
Cha? có gi? đâu bạn. Co?n 2 bô? đê? la? tôi lấy tư? một quyê?n sách cu?a nha? toán học Ba lan Waclaw Sierpinski xuất ba?n năm 1950. Sách nói vê? lý thuyết số nhưng tôi chi? ti?m thấy ba?n bă?ng tiếng Balan: http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=19&wyd=10&jez= Do không ti?m được ba?n bă?ng tiếng Anh đê? cung cấp link ma? tiếng Ba lan có thê? các bạn không biết nên tôi mạn phép dịch tư? ba? tiếng Anh. 2 bô? đê? nă?m trong chương 4 (Rozdzial IV). Nếu bạn na?o biết tiếng Ba lan thi? có thê? ta?i vê? tất ca? 20 pdf hoặc chi? chương 4. Bô? đê? 2 (ông gọi la? Lemat 1) được chứng minh trong khi chứng minh định lý Fermat: vê? sự phân tích số nguyên tố dạng 4k + 1 tha?nh tô?ng cu?a 2 bi?nh phương va? nă?m ơ? trang 71, 72, 73. Khi chứng minh thi? ông du?ng bô? đê? ơ? § 2 (dưới dạng định lý - Twierdzenie 5 ơ? trang 63): "Với mọi số nguyên a va? tự nhiên m tô?n tại 1 va? chi? 1 số nguyên q thoa? mafn điê?u kiện: q = a (mod m) va? -m/2 < q <= m/2" Vê? chứng minh tôi tạm dịch như sau: CM: Gọi r la? số dư khi chia a cho m ta có: r = a (mod m) , 0 <= r < m (19) Nếu r <= m/2 thi? số q = r thoa? mafn điê?u kiện cu?a định lý. Nếu r > m/2 thi? số q = r - m tho?a mafn điê?u kiện cu?a định lý bơ?i vi? tư? (19) ta sef có q = r = a (mod m) va? -m/2 < q < 0. Đê? chứng minh chi? có một số q thoa? mafn điê?u kiện cu?a định lý ta gia? sư? ră?ng tô?n tại 2 số q va? q'' như thế. Lúc đó ta sef có số q - q'' chia hết cho m va? -m < q - q'' < m. Điê?u na?y la? không thê? vi? giưfa số -m va? m chi? có số 0 chia hết cho m. Ta có kết luận 1: "Nếu m la? số le? thi? với môfi số nguyên a luôn tô?n tại 1 va? chi? 1 số nguyên q sao cho q = a (mod m) va? |q| < m/2 (20)" ----------------------- Chứng minh bô? đê? 2 (Lemat 1). Vi? tống các bi?nh phương cu?a các số nguyên luôn la? số không âm va? bă?ng 0 chi? khi các số na?y bă?ng 0 do vậy tô?ng bi?nh phương cu?a 2 số không chia hết cho p luôn la? số tự nhiên. Theo gia? thiết cu?a bô? đê? thi? tô?n tại số tự nhiên chia hết cho p va? bă?ng tô?ng 2 bi?nh phương cu?a 2 số không chia hết cho p. Nhưfng số tự nhiên như thế có thê? có rất nhiê?u. Ta gọi số nho? nhất trong các số như thế la? n. Như vậy với một số tự nhiên m na?o đó ta có: n = m*p (23) n = a^2 + b^2 (24) với a va? b la? số nguyên không chia hết cho p. Theo như định lý ơ? trên tô?n tại α va? β sao cho: α = a (mod p) va? β = b (mod p) |α| <= p/2 va? |β| <= p/2 (25) Tư? đó ta có: α^2 + β^2 = a^2 + b^2 (mod p) va? α^2 + β^2 <= p^2/4 + p^2/4 = p^2 /2 < p^2 (26) Do các số a va? b không chia hết cho p nên tư? (25) ta có α va? β không chia hết cho p, co?n (26) cho thấy la? tô?ng α^2 + β^2 chia hết cho p. Vậy thi? số α^2 + β^2 la? số tự nhiên chia hết cho p va? la? tô?ng cu?a 2 bi?nh phương nhưng do n la? số nho? nhất trong các số như thế nên: n <= α^2 + β^2 Tư? (23) va? (26) ta có: m*p < p^2 => m < p (27) Nếu ta chứng minh được m = 1 thi? bô? đê? được chứng minh bơ?i lúc đó tư? (23) va? (24) ta có p = a^2 + b^2. Gia? sư? m <> 1. Do m la? số tự nhiên tho?a mafn (27) nên 1 < m < p (28). Ta gọi a1 va? b1 la? 2 số tho?a mafn: a1 = a (mod m) va? b1 = b (mod m) (29) |a1| <= m/2 va? |b1| <= m/2 (30) Các điê?u kiện na?y cho ta: a1^2 + b1^2 = a^2 + b^2 (mod m) (31) a1^2 + b1^2 <= m^2/4 + m^2/4 = m^2/2 < m^2 (32) (31), (20), va? (19) cho ta thấy ră?ng số a1^2 + b1^2 chia hết cho m co?n bất đă?ng thức (32) cho thấy ră?ng số đó nho? hơn m^2. Do vậy a1^2 + b1^2 =l*m, với l la? số nguyên nho? hơn m. Số l không thê? bă?ng 0 vi? lúc đó ta có a1 = b1 = 0. Điê?u na?y đâfn đến la? a1 va? b1, va? do (29) nên ca? a va? b nưfa, sef chia hết cho m; tiếp theo đặt a = t*m va? b = u*m ta sef có tư? (24) n = (t^2 + u^2)*m^2 va? theo (23) thi? p = (t^2 + u^2)*m, có nghifa la? số nguyên tố p có ước số m tho?a mafn (28) - la? điê?u không thê?. Như vậy số l la? số tự nhiên va? ta có bất đă?ng thức 0 < l < m (34) Ta có đă?ng thức (a^2 + b^2)(a1^2 + b1^2) = (a*a1 + b*b1)^2 + (a*b1 - b*a1)^2 (35) Như vậy theo (24), (23) va? (33) thi? vế trái biê?u diêfn số (m*p) * (l*m) = l*p*m^2 (36) Ta tính vế pha?i cu?a (35). Tư? (29) ta có a*a1 + b*b1 = a^2 + b^2 = a1^2 + b1^2 = 0 (mod m) => a*a1 + b*b1 = c*m (37) với c la? số nguyên. Cufng tư? (29) ta có a*b1 - b*a1 = 0 (mod m) => a*b1 - b*a1 = d*m (38) với d la? số nguyên. Đă?ng thức (32) thông qua (36), (37) va? (38) cho ta: l*p*m^2 = c^2*m^2 + d^2*m^2 => l*p = c^2 + d^2 (39) (39) cho thấy ră?ng hoặc c va? d cu?ng chia hết cho p hoặc ca? hai cu?ng không chia hết cho p. Nếu c va? d cu?ng chia hết cho p thi? giá trị tuyệt đối cu?a ít nhất một số không nho? hơn p bơ?i ca? hai cu?ng bă?ng 0 la? không thê? do l > 0. Nhưng lúc đó ta có bi?nh phương cu?a số đó không nho? hơn p^2 nên c^2 + d^2 >= p^2, va? tiếp theo l >= p, la? điê?u không thê? do (34) va? ( 27). Như vậy (39) cho thấy số l*p la? tô?ng 2 bi?nh phương cu?a 2 số nguyên không chia hết cho p. Nhưng số l*p la? bội số cu?a số tự nhiên p vậy theo định nghifa cu?a số n thi? ta pha?i có n <= l*p tư? đó do (23) nên m*p <= l*p => m <= l, la? điê?u không thê? do (34). Như vấy gia? thiết m <> 1 dâfn đến mâu thuâfn. Bô? đê? như vậy đaf được chứng minh. ------------------ Vê? bô? đê? 1 (trang 76, Lemat 2): "Số tự nhiên dạng 4*k + 3 (số nguyên tố hay hợp số) không thế la? tô?ng cu?a 2 bi?nh phương". CM: Chi? câ?n chứng minh ră?ng không có tô?ng a^2 + b^2 na?o chia cho 4 dư 3. Nếu ca? a va? b la? chăfn hoặc ca? a va? b la? le? thi? tô?ng 2 bi?nh phương la? số chăfn nên chia cho 4 không thê? cho số dư 3. Nếu một trong hai số a va? b la? chăfn va? số co?n lại la? le?, gia? sư? a = 2*t va? b = 2*u + 1 với t va? u la? nguyên thi? a^2 + b^2 = 4*t^2 + 4*u^2 + 4*u + 1 nên a^2 + b^2 chia cho 4 dư 1. ---------------------------- Như tôi đaf nói bô? đê? 2 (ông gọi la? Lemat 1) được chứng minh trong khi chứng minh định lý Fermat trong một quyê?n sách xuất ba?n năm 1950. Cufng định lý đó trong một quyê?n sách khác (có phiên ba?n bă?ng tiếng Anh) thi? ông đưa ra chứng minh không co?n du?ng bô? đê? 2 (Lemat 1) nưfa. Quyê?n sách "Elementary theory of numbers" có thê? ta?i vê? tư? http://diendantoanhoc.net/Kho/Elementary.zip Co?n nội dung đọc trang http://diendantoanhoc.net/forum/index.php?showtopic=9939 ------------- A? quên, do không có phím như 3 gạch ngang nên trong khi ghi vê? phép đô?ng dư tôi du?ng phím "=". a = b (mod p) có nghifa la? a va? b cho cu?ng số dư khi chia cho p, hay chính xác hơn la? a - b chia hết cho p.
