Cực trị đại số.

Cực trị đại số.

Tìm Max của :f(a,b,c) = /a-b/./b-c/./c-a/,Với a,b,c là 3 số thực không âm có tổng bằng 1.

Giả sử a >= b >= c ta có
f(a,b,c) = (a - b)(b - c)(a - c)
Một cách trực giác ta có f(a,b,c) <= (a-c)3/2 (theo cô-si cho 2 thành phần đầu tiên). Dấu bằng xảy ra khi b = (a+c)/2. Sau đấy chọn a-c lớn nhất có thể.
Thế nhưng nó có vẻ yếu yếu vì điều kiện này có thể khống chế điều kiện kia, vì khi chon b = (a+c)/2 thì đã phải có (a+c) = 2/3 rồi.
Bây giờ giả sử đã tìm được A,B,C là nghiệm của bài toán (A >= B >= C) và giả sử B < (A+C)/2
Ta chọn delta > 0 và đặt
A'' = A - delta
C'' = C - delta
B'' = B + 2*delta
ta có A'' + B'' + C'' = 1 và
f(A'',B'',C'') = ((A - B) - 3*delta)((B-C) + 3*delta)(A-C)
để so sánh với f(A,B,C) ta có thể bỏ qua thành phần (A-C) > 0, vì ta biết giá trị max của f > 0. Khai triển ta có
(A-B)(B-C) + 3*delta*(A-C) - 9*delta2
Đa thức 3*delta*(A-C) - 9*delta2 có cực đại ở delta = (A-C)/6, và lúc đó B'' = (A''+C'')/2, và f(A'',B'',C'') > f(A,B,C), sai với giả thiết.
Vậy B=(A+C)/2. Như vậy ta đã khẳng định được điều kiện thứ nhất không làm mất cực đại của f(a,b,c). Việc còn lại chỉ cần tìm (a-c) max với (a+c) = 2/3 => c = 0, a = 2/3
Ah quên, phải xét thêm C=0, lúc đấy, chỉ cần
A'' = A - delta
C'' = C
B'' = B + delta
thì ta vẫn có f(A'',B'',C'') > f(A,B,C)
Trường hợp B > (A+C)/2 cũng làm tương tự.

Có lẽ đề bài dùng dấu trị tuyệt đối đấy chao_co ạ.
Mình thì mình làm như sau :
Chẳng hề giảm tổng quát tí nào khi ta giả sử 0<=c<=b<=a.
Ta sẽ CMR c=0 khi f đạt Max.
Xét bộ số a1,b1,c1 >= 0 bất kỳ có c1 <>0 và a1+b1+c1 = 1.
Lập bộ số thứ 2 như sau :
c2=0, a2=a1+c/2, b2=b1+c/2.
Vẫn có a2+b2+c2=1, nhưng dễ thấy f(a2,b2,c2) > f(a1,b1,c1).
Vậy có c=0.
Thay vào f ta có:
f(a,b) = (a-b)*a*b. với a+b = 1 và a>=b.
ta thấy b<= 0,5. thay a=1-b có
f(b) = (1-2b)(1-b)b với 0<=b<=0,5.
Khảo sát hàm số ra kết quả.
Các bạn thử nghĩ cách hay hơn để tìm max f(a,b) ở trên mà ko cần khảo sát hàm số.

Uh, tớ đã giả sử a >= b >= c. Tớ trình bày hơi lộn xộn, và cũng sai cái bđt Cô-si rồi.
Tóm lại là, đầu tiên phải chứng minh: nếu A,B,C là nghiệm và f(A,B,C) là max thì B=(A+C)/2. Cách chứng minh thì tớ đã đưa ra cách xây dựng bộ nghiệm mới A'',B'',C''.
Sau đấy áp dụng bđt Cô-si có f(a,b,c) <= (a-c)3/4 mà không sợ điều kiện b=(a+c)/2 làm mất cực trị, và chỉ cần tìm max của (a-c).
Đáp án là a=2/3, b=1/3, c=0

Thế...2/27 với 1/(6*sqrt(3)) cái nào lớn hơn hở bạn ?

Hehe, dĩ nhiên là 1/(6*sqrt(3)), nhưng tớ chưa kịp hiểu altus ám chỉ cái gì. Nếu altus có kết quả khác thì trình bày cho anh em xem chứ ... hỏi khó tớ thế thì ... khó thật. Mà cách suy luận để dẫn dắt ra cách làm của bạn cũng sẽ rất hay, chứ nếu bạn chỉ cho kết quả thì tớ cũng chỉ biết đến thế.

Có gì rắc rối lắm đâu. Nếu c=0 thì a+b=1, a>=b thì biểu thức trở thành a(1-a)(2a-1) có cực trị là 1/(6*sqrt(3)) tại a=1/2 + 1/(2*sqrt(3)).

Yes, tớ đã xem lại phần chứng minh của tớ và tìm ra chỗ sai. Trường hợp C=0 tớ xét sai, và cách xây dựng A'',B'',C'' như đã đưa không cho cùng kết quả như C>0. Và như thế cách làm của tớ hoàn toàn sai.
Thanks.

Bạn Altus sao ko dùng luôn hàm theo biến b mình đã nêu mà phải chuyển về a làm gì.
OK, cách khác để tìm max của f(a,b) như sau :
Đặt : B = sqrt(3) cho gọn nhẹ.
Đặt A=1/((B+1)*2*(2B+4))
Thế thì : f(a,b)=(a-b)*a*b=A*(B+1)*(a-b)*2*a*(2B+4)*b
Áp dụng BĐT Côsi cho 3 số x=(B+1)*(a-b), y=2*a, z=(2B+4)*b, ta có :
f(a,b) <= A*((x+y+z)/3)^3 = A*((B+3)*(a+b)/3)^3 = hằng số vì a+b=1.
Dấu bằng xảy ra khi x=y=z
Tức là : (B+1)*(a-b) = 2*a = (2B+4)*b
suy ra : (B-1)*a = (B+1)*b và a = (B+2)*b, chú ý là (B+1)/(B-1) = B+2.
nên hằng số trên chính là max.
Bây giờ giải hệ a=(B+2)*b và a+b=1 có b = 1/(B+3) = (3-B)/6, a = (3+B)/6.
Cách giải hơi kỳ lạ đúng ko, nhưng thật ra mình đã tính toán trước "điểm rơi" của BĐT Côsi.

Phương pháp tổng quát để giải các bài toán loại tìm min max của hàm nhiều biến với một hoặc nhiều điều kiện đính kèm là sử dụng Lagrange multiplier(s). Áp dụng vào bài này:
f(a,b,c) = (a-b)(a-c)(b-c), với domain: a >= b >= c >= 0.
g(a,b,c) = a + b + c
Bài toán qui về việc sử dụng Lagrange multiplier L để tìm min. và max. của hàm f(a,b,c) trong domain cho phép và thỏa mãn điều kiện g(a,b,c) = 1. Cách làm:
f[sub]a[/sub] = L*g[sub]a[/sub]
f[sub]b[/sub] = L*g[sub]b[/sub]
f[sub]c[/sub] = L*g[sub]c[/sub]
g(a,b,c) = 1
Bài toán trở thành việc giải một hệ 4 phương trình, 4 ẩn số (a, b, c và L).
Sau khi tìm được các giá trị của a, b và c từ hệ phương trình trên, tính giá trị f(a,b,c). Giá trị lớn nhất sẽ là fmax.
(Hehe... đây là phương pháp tổng quát tức là lúc nào cũng áp dụng được. Tuy nhiên, vấn đề khó khăn duy nhất là việc giải cái hệ phương trình ở trên! Trong đa số trường hợp, hệ phương trình ở trên khá phức tạp. ---> Nếu không giải được hệ phương trình trên analytically thì sử dụng numerical method.)