Cùng nhau hỏi đáp những thắc mắc về Toán phổ thông!

Cùng nhau hỏi đáp những thắc mắc về Toán phổ thông!

Chào các bạn, khi mình học phổ thông, có rất nhiều những công thức, định lý mình dùng thường xuyên nhưng thực sự hiểu hết ý nghĩa và bản chất của nó thì không phải ai cũng làm được. Vì vậy chúng ta sẽ đưa những thắc mắc lên đây và cùng nhau giải đáp để hiểu hơn về Toán nhá.

Trước hết mình hỏi các bạn:
+ Khi ta muốn tìm cực trị của hàm số, ta thường lấy đạo hàm và tìm nghiệm của nó, nghiệm đó là hoành độ của cực trị.
Vậy bản chất của nó là gì? Tại sao nghiệm của đạo hàm hàm số lại là hoành độ cực trị?
+ Tổng quát hơn mối liên hệ giữa đạo hàm hàm số và đồ thị là như thế nào?

Mời các bạn cùng nhau bàn luận và nêu thêm vấn đề.

FOOLDUCK

Cái đó có thể hiểu bản chất như thế này: Xét 1 đường cong f(x) có cực trị thì tại tiếp tuyến của đường cong tại những điểm cực trị đó là những đường thẳng có dạng y = k (constant),đường thẳng đó // với trục hoành do vậy hệ số góc của nó = 0.
Theo định nghĩa đạo hàm thì đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x=a là f'(a) là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó,do đó nếu hệ số góc = 0 thì tức là tiếp tuyến // với trục hoành.
Trong tất cả các tiếp tuyến của f(x) thì chỉ có tiếp tuyến tại điểm cực trị là // với trục hoàn thôi do đó để tìm hoành độ các điểm cực trị ta chỉ cần đạo hàm và giải phương trình thì sẽ dễ dàng tìm được.
Tiện đây xin giả thích rõ hơn 1 chút với các bạn về cái f'(x) có nghiệm x=xo và đổi dấu qua nghiệm đó thì <xo,f(xo)> là điểm cực trị. Vẫn với định nghĩa đạo hàm và các đường tiếp tuyến.Ta xét đường cong f(x) có cực trị thì nhận thấy rằng qua điểm cực trị đó hàm số giảm dần và lại tăng dần,vậy điểm cực trị chính là cột mốc giữa sự giảm dần và sự tăng dần đó.Xét các tiếp tuyến phân biệt nằm về 2 phía của điểm cực trị và hoành độ tiếp điểm tiến dần về phía điểm cực trị,nhận thấy hệ số góc của các tiếp tuyến nằm 2 miền phân biệt đó thì 1 phía là > 0 và 1 phía là < 0 nhưng cả 2 đều tiến dần tới = 0 thì khi đó các tiếp tuyến trùng làm 1 và chính là tiếp tuyến của cực trị.
Giả sử như x1 và x2 nằm về 2 phía của xo la hoành độ cực trị và f'(x1) > 0 ,f'(x2) <0 .Khi x1,x2 tiến dần tới xo thì f'(x1) và f'(x2) vẫn ko đổi dấu,cả 2 =0 khi x1=x2=xo------> hệ số góc của tiếp tuyến đổi dấu khi qua điểm cực trị ----> f'(x) phải đổi dấu từ + qua - hoặc tù - qua + thì điểm đó mới là điểm cực trị.
Xét 1 cách tổng quát thì đạo hàm của hàm số tại 1 điểm bất kỳ là hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm đó ----> f'(x) chính là 1 đường cong chứa tập hợp các giá trị của hệ số góc của hàm số f(x).
Theo chương trình cấp 3 thì các đường tiếp tuyến xét đến đều là các đường thẳng lập với trục hoành 1 góc a ---> tan(a) chính là hệ số góc.
f'(x) = tan(a) (a biến thiên coi như 1 ẩn ,0 <a< 180 ) ---> vậy thực chất hàm f'(x) có phải là 1 hàm tan ko ? Đồ thị của hàm f(x) là như thế nào so với hàm tan ?
Em tài mọn,sức kém chỉ mong góp chút sức,mong các bác góp ý.

Scorps-NTH

Theo mình thì có thể giải thích thế này:
giả sử f(x) đạt cực đại (cực tiểu lí luận tuơng tự) tại x0 thế thì f(x) đồng biến trong (x1,xo) và nghịch biến trong (xo,x2)với x1,x2 nào đó (tương ứng, f'(x)>0 trong (x1,xo) và f'(x)<0 trong (xo,x2)), vì thế tại điểm CĐ : f'(xo) = 0 hoặc f'(xo) ko xác định , tức xo là diểm tới hạn. do đó đẻ tìm cực trị của f ta chỉ cần tìmf trong fạm vi các điểm tới hạn.
ý nghĩa hình học của đạo hàm được viết rõ trong sách, f'(x) là hệ số góc của tiếp tuyến của f tai điểm (x, f(x)) (=tga với a là góc giữa tt và tia Ox). Bạn có thể thấy là tại điểm cực trị, hoặc ko tồn tại tiếp tuyến (vd hamf y = /x/ tai điểm (0,0) ) hoặc nếu tồn tại tiếp tuyến thì tiếp tuyến nằm song song với Ox (-> a = 0 -> tga =0 tức f'(xo)=0)
vì hàm tan là 1 song ánh từ (-pi/2 , pi/2) vào R nên với giá trị b = g(x) bất kì, luôn tồn tại a để b = tga. nhưng ko co nghĩa là g(x) là hàm tan. với f'(x) bất kì thì f'(x) = tga với a nào đó là hsgóc của tt...Điều đó ko có nghĩa là f'(x) = tga. Tất nhiên đồ thị của hàm số ko liên quan đến đồ thị hàm tan
thế co được ko?

Mình nghĩ bạn đưa ra toipc này là rất hay.Nhưng mình nghĩ, topic này chúng ta không chỉ đưa ra thảo luận những vấn đề về mặt bản chất , ý nghĩa một số vấn đềcủa toán phổ thông, .Mà có thể chúng ta sẽ cùng nhau đưa ra nhừng bài toán, có thể là những thắc mắc, và cùng mọi người giải quyết bài tóan, vấn đề đó. Việc đưa ra một bài toán, hay thảo luận về mộtk bài toán, có thể nói box ta gặp những vấn đề rất khó khăn vè việc phải đánh một số kí tự toán học!!Nên mình nghĩ rằng chúng ta cần rất là cố gắng khắc phục những nhược điểm trên, để góp phần làm cho box chúng ta ngày càng phát triển, vững mạnh và phong phú,
Mọi người hãy đưa những thắc mắc của mình, những bài toán mà mình phải băn khoăn vào topic này, để mọi người cùng nhau thoả luận nhé!!!!
Một buổi sáng mùa xuân
Một đứa bé yên nằm
Bờ môi dường thầm hỏi
Có thiên đàng hay không??
Luôn khóc thương cho những số phận!!

Bạn nào post lại hộ tôi cái định lý Lagrange cái, lâu quá quên mứt rùi.
Cám ơn!

Sai thế này mà mọi người cứ thay nhau trả lời nhỉ, 1 điểm cho môn logic, ngay cả khi đổi lại thành "hoành độ cực trị là nghiệm của đạo hàm hàm số" cũng vẫn chưa đúng, nó chỉ đúng khi tại điểm đó hàm số khả vi, còn trường hợp các điểm tới hạn mà bạn quên mất.
Câu hỏi của Scorps "vậy thực chất hàm f'(x) có phải là 1 hàm tan ko ?": chẳng nhẽ bạn không hiểu rằng đạo hàm chẳng qua cũng chỉ như một hàm bất kỳ nào khác. Với bất kỳ hàm f(x) liên tục nào đều khả tích, như thế coi nó là đạo hàm của F(x) thì f(x) sẽ là 1 hàm tan. Vậy 1 hệ quả cho câu hỏi của bạn là 1 hàm f(x) bất kỳ liên tục (thực ra mở rộng là liên tục trên từng đoạn) nào cũng là 1 hàm tan (!). Câu này chắc bạn tự trả lời được (?).

Hình như hồi cấp 3 có một cái định lý, em cũng ko nhớ rõ chỉ đại khái là cho f(x) liên tục trong [a;b] và f(a).f(b)<0 thì f(x) có nghiệm trong [a;b], nhưng cái này ko được CM trong trương trình PT.

Định lý Lagrange này các bác:
Giả sử y=f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a;b], có đạo hàm trên khoảng (a;b), khi đó tồn tại ít nhất 1 điểm C thuộc (a;b) để cho: f(b)-f(a) / b-a = f(c)'
Chú ý: đinh lý không khẳng định tồn tại duy nhất, nghĩa là có thể có nhiều hơn 1 điểm mà tại đó đạo hàm bằng f(b)-f(a) / b-a
When you??Tre down and troubled
And you need someone love and care
And nothin??T nothin??T is gone right
Close your eyes and think of me
And soon I will be there
To brighten up even your darkest night

Cám ơn bé nhé, anh hỏi chỉ vì anh cố nhớ ra một cách CM BĐT Jensen rất dở hơi mà hồi lớp 12 anh nghĩ ra! Thanks!

Hoho,vậy là đã có 2 bác trả lời và mỗi bác 1 í,bác thì bảo đó ko phải là hàm tan,bác thì bảo nó là hàm tan,hehe.Vậy thì kết cục nó là cái gì ? các bác khác tranh luận xem sao.
To kakalot : cái định lý bác nói là định lý về tính liên tục của 1 hàm số.Cái đó chứng minh dễ thôi,vẽ đồ thị ra là thấy.Khi 1 hàm số liên tục trong (a,b) thì đồ thị của nó là 1 đường cong trơn trong (a,b),nếu f(a).f(b) < 0 ---> f(a) và f(b) là trái dấu ---> 1 điểm nằm trên trục hoành,1 điểm nằm dưới trục hoành ---> đồ thị phải cắt trục hoành ----> phương trình có nghiệm.
Cái định lý Lagrange này hay lắm đó,nó là cơ sở để chứng minh nhiều bất đẳng thức,phương trình có nghiệm.Ngoài cái Lagrange này còn có cái định lý Role hay còn gọi là định lý trung bình,có bác nào nhớ thì post hộ cái.
À,mà các bác lên đây đừng bắt bẻ câu cú quá,tất nhiên cũng cần chính xác vì đó là Toán học nhưng đừng cầu kỳ quá,miễn hiểu là được.
Các bác có biết cách làm cách nào mà người ta lại có thể đưa ra công thức phương trình tiếp tuyến của các đường conic ko ? ví dụ như có phương trình elip : x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 thì phương trinh tiếp tuyến tại điểm (xo,yo) là x.xo/a + y.yo/b =1.Cái này người ta cho mình rồi thì mình chứng minh lại rất dễ,nhưng có bác nào biết là làm thế nào để suy ra được 1 công thức ngắn gọn như vậy ko ? Thử dùng phương trình nghiệm kép xem,dài chết cha mà chưa chắc đã ra được.Mời các bác tham khảo đôi chút.

Scorps-NTH