Để box Toán bớt "lạnh" Box Toán mình mùa này " lạnh" quá. Để box Toán bớt lạnh, mình xin góp một vấn đề nho nhỏ. Hãy nêu tất cả các cách chứng minh có thể có của BĐT: (a2 + b2)(c2 + d2) >= (ac + bd)2
Đóng góp 2 cách (dêf nhất) Cách 1. (a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) >= (a*c + b*d)^2 <=> a^2*c^2 + b^2*c^2 + a^2*d^2 + b^2*d^2 >= a^2*c^2 + 2*a*b*c*d + b^2*d^2 <=> b^2*c^2 - 2*a*b*c*d + a^2*d^2 >= 0 <=> (b*c - a*d)^2 >= 0 Bất đă?ng thức cuối cu?ng đúng. Cách 2. Tất nhiên nếu a = 0 hoặc c = 0 ta có ngay bất đă?ng thức. Ta xét a, c <> 0. Cho f(x) = a*x^2 + b*x + c (a <> 0) Ai cufng biết la? f(x) không âm (a > 0) hoặc không dương (a < 0) với mọi x khi va? chi? khi delta <= 0 (đô? thị nă?m trên hoặc dưới Ox) Ta có f(x) = (a*x + c)^2 + (b*x + d)^2 >= 0 với mọi x f(x) = (a^2 + b^2)*x^2 + 2*(a*c + b*d)*x + (c^2 + d^2) >= 0 với mọi x => delta = (a*c + b*d)^2 - (a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) <= 0 => (a^2 + b^2)*(c^2 + d^2) >= (a*c + b*d)^2 Được chilakhachthoi sửa chữa / chuyển vào 21:01 ngày 11/12/2008
Xin phép đóng góp 2 cách "nhố nhăng" 1. Theo bđt bunhiacopxki -> đpcm (đã có cụ bunhia chứng minh hộ rồi, chứng minh lại làm gì ) 2. Cách nhố nhăng thứ 2 Theo bđt cauchy: a^2d^2 + c^2b^2 >= 2abcd dấu "=" xảy ra khi a^2d^2 = c^2b^2 <=> a/c = b/d Theo ta có: <=> a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + c^2b^2 >= 2abcd + a^2c^2 + b^2d^2 <=> a^2(c^2 + d^2) + b^2(c^2 + d^2) >= (ac)^2 + 2(ac)(bd) + (bd)^2 <=> (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) >= (ac + bd)^2 => (đpcm) vậy, bđt xảy ra khi a/c = b/d Hi vọng mọi người không cười
Bạn không thể dùng BĐT Bunhiacopxki để chứng minh chính nó được. Dùng công cụ vector Xét hai vetor sau: x = (a, b); y = (c, d) Khi đó BĐT đã cho trở thành: (x.y)2 <= |x|2.|y|2 BĐT này luôn đúng vì cos2(x,y) <= 1
Bạn nghiêm trọng quá, chỉ là 1 lời nói đùa thôi mà Lời giải của mình là bằng bđt cauchy kia, nhưng mình thấy nó không hay nên xin gán cho nó cái tên "cách giải nhố nhăng"! Cách dùng vector của bạn cũng hay lắm!
