Đề cho học sinh 7 -8

Đề cho học sinh 7 -8

Tui mới vào diễn đàn, xin chép mấy bài thi chọn học sinh giỏi 7 - 8 của Úc mà tôi sưu tầm được cho các bạn tham khảo (gọi là đóng góp của thành viên mới):

1. Tìm 5 chữ số cuối của tổng sau đây:
1 + 11 + 111 + . . . + 111 . . . 111 (2002 số hạng).

2. Có 120 đồng tiền 5 xu xếp lại thành một chồng. Đếm và thay thế mỗi đồng tiền thứ hai bằng đồng tiền 10 xu. Kế đó thay mỗi đồng tiền thứ ba bằng đồng tiền 20 xu. Tiếp theo htay mỗi đồng tiền thứ tư bằng đồng tiền 50 xu. Sau cùng thay mỗi đồng tiền thứ năm bằng đồng tiền 1 đồng. Tìm giá trị của tổng số 120 đồng tiền trong cột tiền mới này.

3. Để ý rằng 1 + 2 + 3 + 45 + 6 + 78 + 9 = 144. Có bao nhiêu cách để tạo ra một tổng bằng 144 bằng cách chỉ dùng 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 theo đúng thứ tự đó và các dấu cộng theo cách tương tự như trên?

4. Một hình chữ nhật PQRS với PQ = 49 va PS = 100 được cắt thành 4900 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. T là một điểm trên QR sao cho QT = 60. Có bao nhiêu trong số 4900 hình vuông nhỏ này bị cắt bởi PT hoặc TS?

Mời các bạn 7 - 8 giải thử.

Chẳng thấy ai nói gì cả, NBT@ mạn phép đưa ra lời giải vậy.
1. Phân tích:
Viết 11 = 10^1*1 + 1; 111 = 10^2*1 + 10^1*1 + 1; ...
Tổng cần tìm (2002) số bằng:
10^2001*1 + 10^2000*2 + 10^1999*3 + ... + 10^5*1997 + 10^4*1998 + 10^3*1999 + 10^2*2000 + 10^1*2001 + 10^0*2002
Đến đây thì dễ rồi, 5 số cuối cùng của tổng là 91012.

Câu số 2, đề bài chưa chính xác. Đề nghị tác giả xem lại nguyên bản tiếng Anh.
Nếu đề bài đúng khong phải:
- "thay mỗi đồng tiền thứ hai" mà là "thay mỗi đồng tiền thứ hai tính từ lần thay ngay trước đó".
- "thay mỗi đồng tiền thứ ba" mà là "thay mỗi đồng tiền thứ ba tính từ lần thay ngay trước đó".
- ...
thì bài toán này cũng chỉ là số học.
Nếu đúng như thế thì NBT@ sẽ post lời giải sau.

Câu số 4.
Dễ dàng nhận thấy, một đường thẳng chỉ cắt hình vuông tối đa tại hai điểm. Trong trường hợp đề bài cho, sử dụng thêm một chút tính chất hình học lớp 6 cùng với kiến thức về số nguyên tố, thấy rằng, trong bài toán này, đường thẳng PT không thể cắt các hình vuông tại các đỉnh (49/60 không thể giản ước được, tương tự với 49/40).
Sử dụng thêm bài toán tìm số nghiệm trên đồ thị của hai hàm số (kiến thức lớp 8 - VN), dễ dàng chứng minh được số hình vuông nhỏ bị cắt bởi PT là 107 và bị cắt bởi TS là 87.

Câu số 3.
Dễ thấy: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45
1 + 2 + 3 + 45 + 6 +78 + 9 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9*(4 + 7) = 144
Giả sử ta có thêm một cách cộng theo yêu cầu của đề bài, tức là sẽ có hai số tự nhiên x và y, với điều kiện: x trong (1, 8), y trong (1,8) và x < y.
Ta sẽ có: 144 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 9*(x + y)
hay 9*(x + y) = 99 hay x + y = 11
Các cặp nghiệm:
(x, y) = (3, 8); (x, y) = (4, 7); (x, y) = (5, 6).
Dễ thấy cặp nghiệm cuối cùng không thoả mãn!
Như vậy, nếu tính cả trường hợp của đề bài thì ta có tất cả 2 cách viết (2 nghiệm):
C1: 1 + 2 + 34 + 5 + 6 + 7 + 89 = 144
C2: 1 + 2 + 3 + 45 + 6 + 78 + 9 = 144.
Hết.

Bạn có nhận xét tinh tế, tuy nhiên lời giải chưa đầy đủ. ít ra cũng còn 1 cách khác:
1 + 2 + 3 + 45 + 6 + 78 + 9 = 1 + 2+ 34 + 6 +7 + 89 = 12 + 34 + 5 + 6 + 78 + 9 = 144
Cám ơn bạn đã tham gia.

Xin chép nguyên văn cho các bạn tham thảo bài này:
One hundred and twenty 5 cent coins are placed in a row. Every second coin is then replaced with a 10 cent coin. Every third coin is then replaced with a 50 cent coin. Finally, every fifth coin is replaced with a dollar coin. Find the total value of 120 coins in the row now.
Nguyên văn cũng không thật rõ! Tôi chỉ lấy ý để dịch lại nhưng cũng chưa thật rõ. Có lẻ nên hiểu như thế này:
Bắt đầu từ dưới lên (hoặc từ trên xuống) đếm và thay mỗi đồng tiền thứ hai bằng ..... Sau đó cũng bắt đầu từ trên ( hoặc ....) đếm và thay mỗi đồng tiền thứ ba bầng ....
[phần chữ in nghiêng không có trong nguyên bản tiếng Anh và các bạn cũng có thể dịch khác đi, vì đúng ra row là hàng nhưng tôi dịch thành chồng (stack) ]
Cám ơn góp ý của bạn.

Đề nghị bạn xem lại việc tính toán, đáp số đúng là 01012 ( có thể giải bằng cách xếp thành phép tính dọc như các học sinh tiểu học thưòng làm và phép cộng có nhớ).

NBT@ có vài ý kiến thế này!
Câu 1. Chính xác là 01012. NBT@ khi cộng hàng vạn đã quên không nhớ. Sozi!
Câu 2. Nếu nguyên văn tiếng Anh như thế thì đề bài cũng chưa rõ ý. Và hình như bạn còn dịch thiếu: cứ mỗi đồng xu có số thứ tự chia hết cho 5 (the fifth) thì thay bằng đồng 1 đồng (tức 100 xu).
Câu 3. Như vậy là đề bài vẫn chưa chặt chẽ. Lý do, NBT@ đọc thấy người ta thực hiện phép cộng chỉ với hai chữ số lớn hơn 10.
Như vậy, ở Úc, một số đề toán dành cho học sinh phổ thông cũng có lỗi giống như một số bài toán ở VN. Dù sao thì ý tưởng của các bài toán cũng rất hay.

Kết quả đúng là 198 (PT cắt 109, và TS cắt 89 hình vuông nhỏ ).

Bác kiểm lại cách tính toán, và mời bác cùng các bạn hs PTCS thử tìm cách giải khác không sử dụng kiến thức pt đường thẳng (Ctrình toán lớp 7-8 Úc chưa học sâu về pt đth như VN)