Dễ mà khó,khó mà dễ.

Hì hì, định không nói nữa nhưng thôi. Tớ hỏi nhé, bạn khẳng định số 1 không thuộc tập hợp đó, tức là bạn khẳng định số 1 khác mọi phần tử. Nhưng bạn có nắm được hết mọi phần tử trong tập hợp bạn xây dựng không? hay chỉ thấy một vài (hữu hạn) số có dạng 0.9999....9 (hữu hạn chữ số 9)? Các số này rõ ràng là khác 1. Nhưng số 0.99999... (vô hạn chữ số 9) thì khác các số kia đấy bạn ạ, không như bạn nghĩ đâu. Thế nhé Có gì cứ tranh luận thoải mái Có zì đâu mà nóng thế

Ô hay. Mình đã xây dựng tập hợp dựa trên hình thái biểu diễn số rồi cơ mà. Vậy thì mình cần gì quan tâm nó có bao nhiêu chữ số 9. Chỉ cần nó có và chỉ có các chữ số 9 sau dấu phẩy thì nó thuộc tập hợp. Còn nếu không thì nó không thuộc tập hợp. Vậy 1 có thuộc tập hợp không? Đương nhiên là không! Xin chú thích thêm là tập hợp vô hạn các số thập phân tuần hoàn.
Mình nghĩ có lẽ nên chuyển hướng sang tranh luận về tiệm cận sẽ vỡ ra vấn đề chăng. Trong tình huống này, thì tập hợp này tiệm cận 1 (chứng mình bằng lim an (khi n tiến đến vô cực )=1). Nhưng tiệm cận đồng nghĩa với việc dãy đó không có phần tử nào bằng 1. Vì nếu tồn tại phần tử như thế, thì không gọi là tiệm cận, mà gọi là giao với đường đó.
Bạn nghĩ thế nào?
Được Nolf sửa chữa / chuyển vào 04:37 ngày 29/10/2005
Được Nolf sửa chữa / chuyển vào 04:40 ngày 29/10/2005

Tốn thời gian tranh luận về cái này, hâm vãi lúa .
Khuyên đồng chí Nolf về đọc lại sách nhé

1)

=> đúng là nhìn theo hướng tiệm cận sẽ thấy rõ hơn: 1 không thuộc tập hợp .Nhưng cũng có thể nói các phần tử tiến về (tiệm cận về) 0,9999.... => 0,9999 không thuộc tập hợp
Cả hai phần (1) và (2) ở trên tui nói ngắn quá => có lẽ bạn còn khúc mắc và không đồng ý . Xin thử đơn cử vài thí dụ:
Đặt tổng S = 1-1+1-1+1-1+..............
Bạn có thể nghĩ: 1-1+1-1+1+.... = (1-1)+(1-1)+(1-1)+....=0
Bạn cũng có thể nghĩ: 1-1+1-1+1-1+.... =1+(-1+1)+(-1+1)+.... =1
Như vậy S=0 và S=1 !?!?!?
Lời giải thích trong trường hợp này là vì số phần tử là vô hạn nên mình không thể dùng dấu ngoặc đơn để nhóm các phần tử lại với nhau như trong trường hợp số phần tử là hữu hạn được
Thêm 1 ví dụ khác: gọi N là tập hợp các số nguyên 1,2,3 4,......
Xin hỏi: vậy vô cực có thuộc N hay không !?!? Nếu vô cực thuộc N thì vô cực là số nguyên; như vậy (vô cực +1) cũng là số nguyên; như vậy vô cực đâu còn là vô cực (vì có số lớn hơn nó)
Lời giải thích: vô cực không phải 1 con số => không làm phép cộng đưọc
Có thể tới đây bạn sẽ thắc mắc: vô cực không là 1 số, do đó lập luận trên là sai . Nhưng mà 0,9999.... là 1 số mà. Nếu vây thì xét thử một số: 1234567891011121314; bạn cứ tưởng tượng là mình viết các số tự nhiên nối dính với nhau lại là được. Đây là chuỗi các chữ số (chỉ chứa các chữ số) => vậy đây là 1 số nguyên. Gọi số này là x. Bây giờ mình bỏ đi chữ số 1 đầu tiên trong x => được số y=23456789101212...... Bạn có thể nghĩ y nhỏ hơn x (vì lấy bớt đi 1 chữ số mà) . Tuy nhiên bạn cũng có thể thử tách các chữ số trong x & y ra để so sánh:
x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ....
y: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
=> x nhỏ hơn y (vì nếu xét tương ứng từng đôi một: 1<2, 2<3, 3<4, .....10<11, 11<12, ....)
Như vậy x nhỏ hơn y và y nhỏ hơn x !?!?
Tóm lại khi đụng tới vô hạn (vô hạn phần tử, vô hạn chữ số, ....) thì lập luận dựa trên "hình thái biểu diễn" có khi là sai (nhưng lại "khó" nhận thấy)
(có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn)
-thân
Được be_te sửa chữa / chuyển vào 15:44 ngày 29/10/2005

Bác be_te nói về vô hạn rất đúng. Cái khái niệm vô hạn nó không đơn giản như mình nghĩ đối với hữu hạn. Em lấy thêm ví dụ nữa.
Xét ánh xạ f : X -> X. (màu khác nhau để phân biệt tập ảnh và tạo ảnh ). Giả sử f là đơn ánh (tức là với x1 khác x2 thì f(x1) khác f(x2)). Như vậy nếu X là tập hữu hạn thì có thể suy ra được f cũng là một toàn ánh và do vậy f là song ánh.
Nhưng nếu X là tập vô hạn và f vẫn là đơn ánh. Như suy nghĩ bình thường thì do "lực lượng" của X và X rõ ràng bằng nhau, mà f là đơn ánh nên f cũng sẽ là song ánh (như trường hợp X hữu hạn). Nhưng có thể chỉ ra suy nghĩ này là sai, tức là có thể chỉ ra ví dụ mà f không phải là song ánh (tồn tại x2 thuộc X mà không tồn tại x1 thuộc X để f(x1)=x2).
Lấy ví dụ X = Z là tập các số nguyên. f: Z -> Z được định nghĩa f(x) = 2x. Rõ ràng f là đơn ánh nhưng không là toàn ánh vì các số lẻ thuộc Z không có tạo ảnh.
Từ đó có thể thấy hữu hạn và vô hạn khác nhau thế nào

Làm ơn chứng minh 0,9999... không thuộc tập hợp mình đã xây dựng.
Xin chú thích thêm, tập hợp mình xây dựng là tập hợp vô hạn các số thập phân vô hạn tuần hoàn đếm được.

Thế này nhé, bây giờ tớ và Nolf sẽ thảo luận từng bước một. Đến bước nào tớ sẽ hỏi là bạn có đồng ý không, nếu đồng ý thì tiếp tục. Và chỉ cần bạn trả lời mấy câu này thôi. OK?
Đầu tiên, nói về tập hợp bạn xây dựng, nó bao gồm các số:
0.9
0.99
0.999
......
Số hạng tổng quát có dạng Sn = 0.9999..9 (n chữ số 9, n thuộc N)
Tớ hỏi câu thứ nhất: số 0.9999999... (vô hạn chữ số 9) có bằng lim(Sn) khi n -> vô cùng không? Nếu đồng ý thì tớ tiếp tục, không thì mời bạn giải thích
Chờ câu trả lời
P.S. Đây là mấu chốt của vấn đề, đề nghị bạn suy nghĩ kỹ trước khi trả lời.
Được mathizen sửa chữa / chuyển vào 20:07 ngày 29/10/2005

hehhe dzui wá ta
Các bác tranh luận sôi nổi wá
Mình thấy tại cách viết mà làm các bác phải mất công tranh luận
thật ra khi viết
0.333333... = 1/3 là ko chính xác lắm phai nói như vậy chứ hả
gọi Sn= 0.3....3 ( có n số 3 )
limit (Sn) ( n-> inf. ) = 1/3
giong nhu Tn=0.9 ...9 ( có n số 9 )
limit(Tn) (n-> inf) =1
khi ta nói tới limit của một hàm số ( có thể coi dãy là hàm trên miền số nguyên ko âm) thì đâu nhất thiết là cái thằng nó tiến đến phải nằm trong tập ảnh (Range) của nó
Khi bác Nolf xây dựng cái tập hợp 0.9 ; 0.99 ; 0.999 .... đúng là ko có số 1 nhưng nó là chặng trên nhỏ nhất
( nhớ là nhỏ nhất) của cái tập này .. nên theo lý thuyết vi phân mà Newton đã nghĩ ra từ xa xưa ..ông ta chỉ kí hiệu là "limit" ( hahaha ko biết phải Newton ko )
Limit là gioi hạn thôi ko nhất thiêt phải đạt tới đúng giá trị của giới hạn đâu bác Nolf

hehhe dzui wá ta
Các bác tranh luận sôi nổi wá
Mình thấy tại cách viết mà làm các bác phải mất công tranh luận
thật ra khi viết
0.333333... = 1/3 là ko chính xác lắm phai nói như vậy chứ hả
gọi Sn= 0.3....3 ( có n số 3 )
limit (Sn) ( n-> inf. ) = 1/3
giong nhu Tn=0.9 ...9 ( có n số 9 )
limit(Tn) (n-> inf) =1
khi ta nói tới limit của một hàm số ( có thể coi dãy là hàm trên miền số nguyên ko âm) thì đâu nhất thiết là cái thằng nó tiến đến phải nằm trong tập ảnh (Range) của nó
Khi bác Nolf xây dựng cái tập hợp 0.9 ; 0.99 ; 0.999 .... đúng là ko có số 1 nhưng nó là chặng trên nhỏ nhất
( nhớ là nhỏ nhất) của cái tập này .. nên theo lý thuyết vi phân mà Newton đã nghĩ ra từ xa xưa ..ông ta chỉ kí hiệu là "limit" ( hahaha ko biết phải Newton ko )
Limit là gioi hạn thôi ko nhất thiêt phải đạt tới đúng giá trị của giới hạn đâu bác Nolf
Được nobitut sửa chữa / chuyển vào 23:56 ngày 29/10/2005

=> Bạn Nolf như vậy là hơi "ép người" đó nghen Tui xin hỏi ngược lại: bạn cho rằng 0,9999... thuộc về tập hợp; vậy thì xin bạn chứng minh rõ giùm Hỏi chơi vậy thôi, chứ tui đoán bạn sẽ trả lời là: tập hợp của bạn gồm những số (nhỏ hơn 1) có các chữ số ở phần thập phân là 9 => dựa vào hình thái biểu diễn thì 0,9999.... phảI thuộc về tập hợp này. Tui nghĩ nói như vậy thì chỉ là theo cảm tính mà thôi; bạn cần đưa chứng minh chặt chẽ hơn về mặt toán học mới được à
Tui xin thử đưa ra vài lập luận:
1) Giả sử mình đánh số các phần tử trong tập hợp của bạn theo thứ tự tăng dần: a1=0,9; a2=0,99; a3=0,999; a4=0,9999; ......
Xin hỏi bạn: nếu 0,9999.... là a_n thì n là mấy !?!? Theo cảm tính thì n là vô cùng phải không ? Nói cách khác: a_k càng ngày càng tăng thêm 1 chút khì k tăng => tiến dần về 0,9999.... . Tui xin nhấn mạnh: tiến dần về 0,9999.... nhưng không bao giờ bằng 0,9999..... => 0,9999... không thuộc về tập hợp
Một ví dụ tương tự: xét dãy b_n = 1/n . b_k càng ngày càng giảm => tiến về 0 nhưng không bao giờ bằng 0 được hết => 0 không thuộc tập hợp này
Có thể bạn sẽ cho rằng so sánh như vậy là gượng ép quá: biết đâu là có 1 trường hợp nào đó (1 dãy số c_n nào đó và 1 số x nào đó) mà x=c_n và n là vô cùng và x vẫn thuộc tập hợp thì sao !?
2) Xin thử theo 1 cách khác: mình thấy dãy a_n là tăng dần (a1 < a2 < a3 < .......). Cho a_k mình có thể tính được a_(k+1) bẵng cách thêm 1 chữ số 9 vô cuối của a_k. Mình cũng có thể nói: cho a_k mình có thể tính được a_(k+1) bằng cách thêm 1 chữ số 9 vô ngay sau dấu phẩy. Lý luận ngược lại: cho a_k mình có thể tính được a_(k-1) bằng cách lấy đi 1 chữ số 9 ở cuối của a_k (cho a_k mình có thể tính được a_(k-1) bằng cách lấy đi 1 chữ số 9 ở sau dấu phẩy). Đặt x= 0,9999....; giả sử x thuộc tập hợp; gọi y là số đứng ngay trước x trong dãy số: bỏ đi 1 chữ số 9 theo ngay sau dấu phẩy của x thì được y.
Mình biết y < x . Nhưng nếu viết xuống:
x=0,9999....
y=0,9999....
và so sánh từng cặp chữ số một (0=0; 9=9, 9=9, 9=9.....) thì mình thấy ngay là x=y
=> mâu thuẫn với y < x
=> x (0,9999....) không thuộc tập hợp !!!
=> 0,9999.... không thuộc tập hợp !!!
3) Xin thử 1 cách khác theo cảm tính: Giả sử mình chấm các điểm tương ứng với a_k trên hệ trục toạ độ (x,y); trục x là k và trục y là giá trị => các điểm này tiến dần về 1. Theo bạn thì khi nối các điểm lại thì không bao giờ cắt đường y = 1 phải không . Tui đồng ý xà xin nói thêm: cũng sẽ không bao giỡ cắt đường y=0,9999..... luôn. Tại sao ? Bạn thử tưởng tượng nếu cắt đường y=0,9999... thì điểm kế tiếp trong dãy số sẽ ra sao !?!? Nó sẽ phải lớn hơn 0,9999.... . Nhưng theo cảm tính thì: trong dãy số a_n không thể tìm được số nào lớn hơn 0,9999.... được hết (0,9999... trong dãy số này có vai trò tương tự như vô cực trong dãy số tự nhiên vậy)
Xin được nói thêm (cho các bạn khác) là tui chỉ đơn thuần muốn tranh luận chứ không phải là tranh cãi . Có thể bạn Nolf cũng nhìn nhận là 0,9999... không thuộc tập hợp nhưng muốn thử coi là phải chứng minh như thế nào . Tui nghĩ: nếu mình cho là 0,9999.... không thuộc tập hợp thì phải chứng minh một cách thuyết phục với bạn Nolf; và tui đang thử làm như vậy (có thể tui sẽ không làm được vì kiến thức về toán qúa hạn hẹp -- tui không phải là dân toán, chỉ thích toán mà thôi => mong các bạn chỉ thêm)
(có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn)
-thân
Được be_te sửa chữa / chuyển vào 02:11 ngày 30/10/2005