Dễ mà khó,khó mà dễ.

He, thấy bạn Nolf đặt ra câu hỏi cũng khá hay, mình cũng muốn tham gia tìm cách chứng minh cho bạn Nolf thấy là 0.9999....=1
Đầu tiên, ta dễ thấy rằng 0.9999... < = 1, giả sử là 0.9999...< 1
đặt a=1-0.9999...., a>0
ta viết a=0.x1 x2 x3 ....
gọi i là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho xi khác 0, ta có xi >=1, suy ra a>=0.00...01 (có i-1 chữ số 0)
mặt khác 0.9999....> 0.9999..99 (có i chữ số 9) (**)
cộng hai vế của và (**) ta có: a+ 0.999... > 0.00...01+0.99...99 = 1
suy ra 1 > 1 (!!!) vô lý
Do đó 0.9999.... = 1.
Còn về tập hợp mà bạn xây dựng thì không rõ ràng vì một tập hợp đuợc định nghĩa dựa trên 3 cách : kể hết các phần tử , nêu lên một tính chất của các phần tử, bởi qui nạp. Trong cách xây dựng của bạn thì bạn không nêu rõ là mình dựng theo cách nào nên không thể gọi là một cách xây dựng hoàn chỉnh một cách toán học đuợc . Nếu bạn muốn chúng ta tiếp tục tranh luận về tập hợp này thì bạn phải định nghĩa lại tập hợp trên.
Còn về câu nói của bạn khẳng định là tập hợp bạn xây dựng là " tập hợp vô hạn các số thập phân tuần hoàn" thì mình hoàn toàn không hiểu là bạn dựa vào đâu để kết luận như vậy ???
Mình rất vui khi được tranh luận với những nguời yêu thích bộ môn toán học (cho dù họ có là dân toán hay không).

Đây, có tui không phải dân toán nè
Bạn chứng minh áp đặt quá, tui thấy hai chỗ này là khó chấp nhận:
1: Nolf không đồng ý 0.9999...... = 1 mà bạn lại phán " dễ dàng thấy 0.9999.....< =1 ???
2: có người đã nói rồi đó, không thể làm phép tính cho một số vu vơ nào đó như 0.9999.... được, vậy thì bạn đã đi lạc hướng !
Được FloraAtDawn sửa chữa / chuyển vào 16:19 ngày 14/11/2005

Ironie chứng minh sai ở một điểm:
0,999999999 > 0,9999999 (i chữ số 9). Vì i chưa xác định nên không thể có mệnh đề này được. Mệnh đề bất định.

Ngoài ra, tập hợp mình xây dựng là rõ ràng (theo cách 2 mà bạn kể). Có lẽ bạn gặp khó khăn khi mô tả tính chất của nó nên cho rằng nó không rõ ràng.
Túm lại, có ai chứng minh được triệt để 0,99999999...=1 không?
Nếu không ai chứng minh được thì phải thừa nhận nó nhỏ hơn 1.

chào các bác. Không biết các bác đang là học sinh cấp 2,3 hay là đang học đại học?
E nghĩ bài này dùng toán học cao cấp để giải.Em xin mạn phép giải thử bài này .
Như chúng ta đã biết :
1. 1 + q^1 + q^2 + q^3 + ...... = lim (1-q^n)/(1-q) khi n-> vô cùng.
2. lim (1-q^n)/(1-q) = 1 /(1-q) khi n -> vô cùng, nếu trị tuyệt đối của q <1
Vậy thì :
0.(3) = 3*(1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 +........)
= 3*( -1 + 1 + 1/10 + (1/10)^2 + (1/10)^3 +........)
= 3*( -1 + lim ( 1 - (1/10)^n)/ (1 - 1/10)) (theo tính chất 1)
= 3*( -1 + 1 / (1- 1/10)) (theo tính chất 2 nêu trên, ở đây q=1/10 < 1)
= 1/3.
Tương tự 0.(6) = 2/3
=> 0.(3) + 0.(6) = 1.
Bản chất của cách làm trên là muốn chứng minh 0.(3) = 1/3
và 0.(6) =2/3.
như chúng ta đã biết 1/9 = 0.(1) vậy thì 0.(2) = 2/9 ,tương tự 0.(3) = 3/9 = 1/3 .
Vậy vấn đề đặt ra là 9/9 = 1 có bằng 0.(9) hay không .
Cách chứng minh trên đã chứng minh được 0.(9) =1

http://mathforum.org/library/drmath/view/55746.html

Thân gửi Nolf:
Tui ngồi gõ cái bài trả lời dài này; khi sắp bấm nút để gửI đi thì thấy cái link do nktvnvn gửi
http://mathforum.org/library/drmath/view/55746.html

Hy vọng bạn đọc xong cái link đó thì hết théc méc
(và khỏI cần đọc cái bài này của tui )

=> vậy là bạn cho rằng 0,9999.... < 1 !?!?!?
Cho 2 số thực a và b; nếu a < b => a+b < b+b => (a+b)/2 < b
Tương tự: a < b => a+a < a+b => a < (a+b)/2
Tóm lại: nếu a < b thì a < c < b với c=(a+b)/2
Ngược lại: cho 2 số thực a và b; đặt c=(a+b)/2 . Nếu c KHÔNG LỚN HƠN a thì a KHÔNG NHỎ HƠN b (vì nếu a mà NHỎ HƠN b thì mình đã có c LỚN HƠN a như đã chứng minh ở trên)
Đặt a=0,9999....., b=1; c= (a+b)/2.
Giả sử a < 1 => a < c < b
Tui xin thử chứng minh rằng c KHÔNG THỂ LỚN HƠN a (suy ra a KHÔNG NHỎ HƠN b; suy ra 0,999...999 KHÔNG NHỎ HƠN 1)
c là 1 số thực nhỏ hơn 1: xét phần nguyên (phần trước dấu phẩy thập phân) của c và phần thập phân (phần sau dấu phẩy thập phân) của c
Phần nguyên của c phải là 0; vì nếu phần nguyên lớn hơn hay bằng 1 thì c >= b mất, còn nếu phần nguyên nhỏ hơn hay bằng -1 thì c < a mất
Phần thập phân của c: hoặc là có hữu hạn số chữ số; hoặc là có vô hạn số chữ số
Nếu phần thập phân của c có hữu hạn số chữ số: số chữ số trong phần thập phân là 1 số HỮU HẠN k nào đó . Đặt d = 0,999....999 (có k chữ số 9) ==> c nhỏ hơn hay bằng d (c=d nếu tất cả chữ số trong phần thập phân của c đều là chữ số 9). Nếu mình thêm 1 chữ số 9 vô cuối phần thập phân của d thì mình sẽ được 1 số LỚN HƠN d; nếu mình thêm 2 chữ số 9 vô cuối phần thập phân của d thì mình sẽ được 1 số LỚN HƠN d; nếu mình thêm 3 chữ số 9 vô cuối phần thập phân của d thì mình sẽ được 1 số LỚN HƠN d; nếu mình thêm VÔ HẠN chữ số 9 vô cuối phần thập phân của d thì mình sẽ được 1 số (SỐ NÀY CHÍNH LÀ a) LỚN HƠN d . Mình có mâu thuẫn ở đây: (c>a) và (c<=d<a); vậy PHẦN THẬP PHÂN CỦA C KHÔNG THỂ CÓ HỮU HẠN SỐ CHỮ SỐ
Giả sử phần thập phân của c sẽ có VÔ HẠN số chữ số .
Nhắc lại là phần nguyên của c là 0; xin hỏi bạn Nolf: 1 số c có phần nguyên là 0 và c có VÔ HẠN chữ số thập phân và c LỚN HƠN 0,999...999 (phần nguyên là 0 và phần thập phân có vô hạn chữ số 9) => c sẽ được biểu diễn như thế nào trong hệ thập phân đây !?!? Nếu tui nói là trong phần thập phân của c, ở tại 1 vị trí nào đó, có một chữ số không phải là 9 mà là 0 hoặc 1 hoặc 2 hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5 hoặc 6 hoặc 7 hoặc 8 thì bạn có cho là c > 0,999....999 được hay là không !? Nếu bạn trả lời là không thì phần thập của c phải chứa toàn chữ số 9 => c=a . Vậy c KHÔNG THỂ LỚN HƠN a => a KHÔNG THỂ NHỎ HƠN b => 0,999...999 KHÔNG NHỎ HƠN 1
Thật ra thì tui thích các cách giải ngắn gọn đã được các bạn khác trình bày hơn rất nhiều . Nhưng cách nào bạn Nolf cũng không đồng ý hết
-thân

Bác be_te à, em cũng đã giải thích giống như bác rồi mà bác Nolf có chịu hiểu đâu . Cũng phải thông cảm là bác ấy không phải dân toán nên mới xảy ra tình trạng thế này Mỗi người phải thử đặt mình vào vị trí của người khác thì mới hiểu & thông cảm được. Em lấy ví dụ ngược lại, bác Nolf là dân trong ngành X (không phải toán), và mình tranh luận 1 vấn đề trong ngành đó. Chắc chắn dân mình cũng sẽ giống như bác Nolf mà thôi
Vì vậy chúng ta nên stop việc tranh luận ở đây

Cảm ơn các bạn nhiều, vì đã kiên trì giải thích một vấn đề rất chi là một vấn đề cho một cái đầu rất chi là bướng bỉnh.
Tất nhiên, vấn đề hoàn toàn chính xác, mình chỉ không đồng ý với một số cách chứng minh nên vặn đi vặn lại thôi. Chắc làm phiền của các bạn không ít thời gian nhỉ...
Cạn ly vì vấn đề đã giải quyết nào

Vì mình không còn cần bàn tiếp về chuyện 0,999...999 có bằng 1 hay không; tui xin đưa ra 1 vài nhận xét ngẫu nhiên tui có được khi tìm cách chứng minh 0,999...999=1 . Không biết có đúng hay không, các bạn coi giùm thử hén
Mình thử xét các số có vô hạn chữ số; tui thấy có 2 loại:
1) Loại 1: phần nguyên có vô hạn chữ số (phần thập phân thì sao cũng được)
a) những số dương vô cùng lớn: không bị chặn trên (không thể tìm được 1 số nào đó lớn hơn số này). Ví dụ: 111....111
b) hoặc những số âm vô cùng nhỏ: không bị chặn dưới (không thể tìm được 1 số nào đó nhỏ hơn số này). Ví dụ: -222....222
2) Loại 2: phần nguyên có hữu hạn chữ số; phần thập phân có vô hạn chữ số . Những số này bị chặn trên lẫn bị chặn dưới (có thể tìm 1 số lớn hơn số này và cũng có thể tìm 1 số nhỏ hơn số này). Ví dụ: 0,999....999
Loại 2 thì: 0,666...666 = 2 * 0,333...333 (2/3 = 2 * 1/3).
0,999....999 = 3 * 0,333...333 (3/3 = 3 * 1/3)
Còn loại 1a (tương tự cho loại 1b) thì: 111...111 hay 222...222 đều "lớn" như nhau (đều là vô cùng lớn). Nếu đặt a = 111...111 và b= 222....222; thoạt nhìn thì có vẻ như là 2 * a = b . Nhưng thiệt sự thì a "bằng" b
=> có vẻ như là: các số loại 2 bị chặn trên lẫn dưới => có thể làm phép tính dựa trên hình thái biểu diễn . Còn các số loại 1 không bị chặn ở 1 phía => không thể làm phép tính (cộng trừ nhân chia) dựa trên hình thái biểu diễn. Tui xin nhấn mạnh là DỰA TRÊN HÌNH THÁI BIỂU DIỄN; chớ còn toán học có thể tính toán không chỉ căn cứ vào các chữ số mà có thể theo những lối khác (ví dụ dùng giới hạn, ....)
Bạn werty98 đã từng nhận xét: "Muốn làm phép cộng kiểu 6+3=9 như vậy thì phải bắt đầu từ con số tận cùng trước (cộng từng chữ số từ phải sang trái). mà trong 2 cái số hạng kia thì đều vô hạn chữ số thập phân cả, nên không biết chỗ nào mà bắt đầu, thành ra không cộng kiểu đó được" .
Mình thử xét kỹ loại 2: Đúng là như tụi mình được học từ hồi nhỏ xíu: khì làm phép cộng và phép nhân: phải bắt đầu từ chữ số bên trái cùng (chữ số ít có nghĩa nhứt). Như vậy thì không thể áp dụng cho 0,333...333 * 2 được. Tui nghĩ là có ngoại lệ: nếu mình biết chắc là KHÔNG BAO GIỜ CÓ GIÁ TRỊ NHỚ (nói rõ ra là: vì lớn hơn 10 nên phải nhớ 1 và mang qua vị trí kế) thì có thể làm phép tính theo hướng ngược lại: bắt đầu từ bên phải . Ví dụ mình thử tính 123+456 từ trái sang phải: 6+3=9; 2+5=7; 1+4=5 => 579 . Nhưng nếu mình tính từ phải sang trái thì vẫn đúng trong trường hợp này: 1+4=5; 2+5=7; 3+6=9 => 579 . Như vậy thì vẫn có thể làm phép tính: 0,333... * 2
Vài ý lan man góp vui, nếu có rác tai xin anh chị em bỏ qua
(có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn)
-thân
Được be_te sửa chữa / chuyển vào 02:28 ngày 18/11/2005
Được be_te sửa chữa / chuyển vào 02:28 ngày 18/11/2005