Dễ mà khó,khó mà dễ.

Chào các bác,
Tui vừa tình cờ đọc được tranh luận của các bác, thấy thú vị nên đăng kí liền một account để tham gia cho xôm tụ.
Tui nghĩ các bác đã nhầm lẫn về khái niệm. Không tồn tại số thực 0.99... (có vô hạn chữ số 9 ở phần thập phân), nên không thể nói nó có bằng 1 hay không. Nên hiểu 0.99... (vô hạn chữ số 9 ở phần thập phân) là 1 dạng biểu diễn khác của chuỗi (xem: [B]http://en.wikipedia.org/wiki/Series_(mathematics)[/B]) 9/10 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + ... Giá trị của chuỗi này là 1 (chính là giới hạn của cái tổng khi n tiến đến vô cùng). Còn khi nói đến một số thực có dạng 0.99..., ta phải nói rõ là có bao nhiêu chữ số 9 ở phần thập phân.
Vậy cái tập hợp S={0.9, 0.99, 0.999...} mà bác Nolf đưa ra phải được hiểu là tập hợp tất cả các số thực mà phần nguyên là 0, còn phần thập phân chứa toàn chữ số 9 (đây là tập vô hạn, đếm được). Mỗi phần tử thuộc tập S đều phải chứa một số lượng xác định chữ số 9 ở phần thập phân. Tập S không chứa phần tử 0.99... (có vô hạn chữ số 9 ở phần thập phân).
Còn cái tổng 0.333... + 0.666 ... mà bác gì đó đố mọi người nên được hiểu là tổng của 2 chuỗi, không phải là tổng của 2 số (bác muốn đố mọi người tìm tổng của 2 số thì phải nói rõ có bao nhiêu chữ số ở phần thập phân của mỗi số ). Tổng này bằng 1.
Tui không học ngành toán (tui học khoa học máy tính - nhưng mê toán ), nên có thể hiểu biết về toán không chính xác. Rất mong được các bác chỉ giáo.
Được macsman sửa chữa / chuyển vào 00:27 ngày 20/11/2005

Thân gửi bạn mascman:
Từ cái link bạn đưa ra:

=> series là 1 tổng
=> nếu tổng hội tụ về 1 số (nếu tổng tồn tại) thì series là 1 số
Theo bạn nói: 0,999...999 tương ứng với 1 chuỗi (chuỗi này hội tụ về 0,999...999) do đó tui nghĩ 0,999...999 là 1 số tồn tại thiệt sự (vì tổng của chuỗi tương ứng tồn tại)
Nếu tui không lầm thì số pi (có vô hạn chữ số thập phân) cũng có thể được biểu diễn thành 1 chuỗi . Hoặc tưong tự cho căn bậc 2 của 3 (1 số vô tỉ). Bạn có đồng ý pi và căn bậc 2 của 3 là các số thiệt sự tồn tại hay không !?
(có gì sai sót mong được góp ý, xin cám ơn)
-thân

Thứ nhất, 0.9999... không phải là một số "vu vơ nào đó " mà nó là một số nằm trong tập hợp số thực, cho nên các phép tính mình làm ở đây là hợp lí . Thứ hai, 1>=0.999999... là chuyện đuơng nhiên vì ai cũng phải biết là khi so sánh các số thì sẽ so sánh từ trái qua phải, do 1>= 0 nên 1>= 0.99999... (nói không phải chứ mình nhớ là nguyên tắc so sánh này học từ những năm cấp 2 rùi, có thể là bạn đã quên rồi đấy )

Hic, bạn có đọc rõ chứng minh của mình chưa vậy ? Mình đã định nghĩa i rồi mà, i là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho "a i" khác 0 với (a n) là chuỗi biểu diễn phần thập phân của 1-0.999999999......
Bạn coi lại chứng minh của mình đi, mình nghĩ là không có chỗ sai đâu, nếu có chỗ nào còn khúc mắc thì cứ hỏi bất cứ một nguời nào biết về toán, họ sẽ chỉ ra cho bạn.
Còn nữa , bạn nào có ý tưởng là 0.999... không tồn tại thì cũng không đúng đâu, chắc chắn là không có tài liệu toán học nghiêm túc nào phát biểu như vậy hết, có thể các tài liệu đó nói là 0.9999..... là một dạng biểu diễn khác của 1 chứ không có nói là 0.999..... không tồn tại đâu .
Được Ironie sửa chữa / chuyển vào 02:21 ngày 22/11/2005

theo mình nghĩ chắc các bạn đã quên định nghĩa của số hữu tỷ. 0.3333333333333....... và 0.66666666.......... là những số hữu tỷ, phải không ? Nếu các bạn đồng ý đây là số hữu tỷ thì các số hữu tỷ luôn có thể biểu diễn dưới dạng phân số. Vì thế, dưới dạng phân số 2 số đó sẽ là 1/3 + 2/3 =1. Còn số vô tỷ như pi, e thì không biểu diễn được dưới dạng phân số.

BẰNG 1 LÀ ĐÚNG RỒI ,THỰC RA 0,333333 .... LÀ TỔNG VÔ HẠN CỦA CSN ,CÔNG BỘI 1/3

Các bạn thân mến!
Ocbadau rất vui vì các bạn thảo luận sôi nổi về vấn đề này! Rất cảm ơn các bạn!
phần mình, mình vẫn bảo lưu kết quả mà mình đã ghi:
Thật ra bạn mathizen đã đúng.
0.333... + 0.666... = 1/3 + 2/3 = 1
need_jump thân mến!
Bạn sai mất rồi! Máy tính khi chia 2 cho 3 đã làm tròn số
0.666... thành 0.66....7
Bài toán này cho chúng ta thấy rằng toán học trong cái logic lại có mâu thuẫn. Trong mâu thuẫn lại có logic.
Rất cảm ơn các bạn đã trả lời bài toán!

Sốt ruột, topic này xuất hiện đến mấy lần trong Box TH rồi chứ có phải 1 mình bạn đưa ra đâu, câu hỏi dễ đến thế mà cứ cãi nhau loạn cả lên. Xong rồi lại còn phát biểu 1 câu triết lý rất chuối.
Chẳng có gì phải cãi nhau cả, chẳng qua là không nắm rõ cách biểu diễn thập phân vô hạn của số thực thôi, trong đó các số TP :
1,00000000........ và 0,99999999........
đều bd cùng 1 số thực.
Mỗi số thực mà có dạng thập phân hữu hạn đều có thể biểu diễn ở 2 dạng thập phân vô hạn. Ví như số 1,23456 có 2 dạng :
1,23456000000..... và 1,23455999999.....

Căn bản của chương trình toán lớp 7 là:
Biểu diễn 0.3333..... (vô hạn chữ số 3) = 0.(3) - số trong ngoặc ( ) để biểu diễn phần lặp lại liên tục, ko giới hạn của phần thập phân. Tương tự 0.6666..... (vô hạn chữ số 6) = 0.(6)
---> đây là các số hữu tỉ, có thể biểu diễn được dưới dạng phân số thập phân.
Mà cũng trong chương trình lớp 7:
1/3 = 0.(3) ; 2/3 = 0.(6)
---> 0.(3) + 0.(6) = 1/3 + 2/3 = 3/3 = 1
Ở đây em đang trả lời câu hỏi 0.333.... + 0.666..... = 1 chứ ko phải chứng minh 0.999.... = 1, các pác đừng có bắt bẻ em 0.(3) + 0.(6) = 0.(9) mà rồi lại đi CM điều các pác đã CM.
Em mới học lớp 9 nên kiến thức cũng chỉ biết đến đó. Rất mong được thỉnh giáo

Bạn còn quên cả biểu diễn hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn.Bao giờ ta cũng có:
0,nnnnnnnnnnnn......=0,(n)=n/9 với n=1,2,...,8
mathizen giải thế đúng rồi.

Xin đề cập 1 số kiên thức:
a. Tập hợp hữu hạn: Một tập khác trống A được gọi là hữu hạn nếu có 1 song ánh từ A lên một khoảng của N là tập hợp có dạng { x thuộc N/ m<= x <= n}.
b. Tập hợp đếm được : Tập hợp A được gọi là đếm được nếu có một song ánh từ A lên N.
c. Chận trên, Chận dưới và Cận trên, cận dưới : Cho A là tập con của tập hợp được sắp toàn phần E.
c1. Một phần tử v của E được gọi là một chận trên của A nếu x <= v với mọi x thuộc A.
c2. Tương tự, một phần tử u của E được gọi là một chận dưới của A nếu x >= u với mọi x thuộc A.
c3. Cận trên của A, nếu có, là phần tử bé nhất của tập hợp các chận trên của A, được ký hiệu là supA
c4. Cận dưới của A, nếu có, là phần tử lớn nhất của tập hợp các chận dưới của A, được ký hiệu là infA.
vd : Lấy A = (0, 1) và B = [0, 1] thì supA = supB = 1 và infA = infB = 0. Ta thấy supA không thuộc A, supB thuộc B.
<các bạn có thể tham khảo ở trang 6, và trang 8 sách Nhập môn giải tích của giáo sư Đặng Đình Áng(sách được dùng cho sinh viên toán trường ĐHKHTN tphcm, ĐHSP thpcm, Cao đẳng SP tphcm........)>
Theo mình thì :
Xét tập hơp
S{n} = {
0.9
0.99
.......
0.9999....99999 (n so chi''''n _ phần tử thứ n của tập hợp)
}
Lưu ý một số ký hiệu:
S{n} : tập hợp S{n}
S(n) : phần tử thứ n của tập S{n}
Nhận xét:
1. Với n thuộc tập N (tập các số tự nhiên), tập hợp S{n} là tập hợp đếm được mặc dù nó ko hữu hạn ( theo (b) )
2. Dễ dàng thấy rẳng S{n} là con (0, 1) dù S(n) = 0.99999... (n số chín) khi n -> vô cùng có = 1 hay khác 1.
Ta có thể suy ra supS{n} = supA = 1 (do S{n} là con A)
Theo giáo sư Đặng Đình Áng ở vd trên ta thấy với tập A = (0, 1) thì supA không thuộc A, và do đó 1 không thuộc A. do đó 1 cũng không thuộc S{n}.
Cuối cùng, 1 không thuộc S{n} và 1 = supS{n} >= S(n) (phần tử của tập S{n}) nên suy ra : 1> S(n)
Như vậy cuối cùng do 1 lớn hơn hẳn S(n) nên 1 khác S(n).
Nếu như S(n) = 0.99999....(n số 9_khi n ra vô cùng) < 1 thì sẽ tồn tại 1 số r (k thuộc R) sao cho S(n) < r < 1.
Do S{n} là một tập đếm được và n thuộc N (tập số tự nhiên) nên ta luôn luôn tìm được số r (hữu tỷ) sao cho S(n) < r < 1. (các bạn có thể xem chứng minh điều này ở trang 13 quyển Nhập môn giải tích).
Mạn đàm thêm 1 chút
1. limS{n} = 1 khi n -> vô cùng. Nếu đọc theo "tiếng việt" nghĩa S{n} tiến về (đến) 1 khi n tiến đến vô cùng .
2. Theo khảo sát hàm thì cũng đúng như trên: xét hàm số y = 1/x + 1. Khi x tiến ra vô cùng thì y tiến gần đến 1 (nhưng chắc chắn y không bằng 1_vấn đề tiệm cận).
Kết luận :
Nếu dựa vào toán cao cấp thì 1 > 0.9999.... (n số 9, n-> vô cùng).
Được vnhppro sửa chữa / chuyển vào 20:38 ngày 19/04/2006