Điều kiện dãy hội tụ Em lâu ngày không đụng đến cái này, hôm nay con bạn nó có hỏi 1 bài như sau: Cho dãy (Un) xác định như sau: Un= a - (1 + 1/n)^n Với giá trị nào của a thì U1+U2+... hội tụ, phân kỳ? Với kiến thức ít ỏi của mình, em làm ra là a khác e thì đương nhiên dãy phân kỳ. Với a=e em cũng chứng minh được nó phân kỳ. Nhưng con bạn em nó bảo thầy nó bảo là dãy sẽ hội tụ khi a=e làm em hơi quê. Hic, lâu ngày rồi mà, nhưng em vẫn chưa thấy mình sai ở đâu cả. Bác nào giỏi giúp em phát.
Điều kiện của dãy số Un hội tụ là Lim(Un) khi N -->Dương Vô cùng thì phải bằng không. Mặt khác khi n tiến đến dương vô cùng thì Un = a - e . Suy ra điều kiện cần là a = e. Xét tiếp điều kiện đủ, trong truờng hợp a = e, ta xét tiếp theo phương pháp thông thường thì có thể suy ra được dãy số đã cho hội tụ với điều kiện a = e
Phương pháp thông thường là phương pháp chi. Cách chứng minh của em thế này. EM chứng minh được với n đủ lớn: e > (1+1/n)^n * (1 + 1/kn) với k là 1 số dương khoảng tầm 6,8 gì đó (Không quan trọng vì hính như k nhỏ nhất là 4 thì phải nếu em không nhầm). Như vậy là n đủ lớn: Un > (1 + 1/n)^n * 1/kn > 2/kn Mà đương nhiên là tổng của 2/kn với n ra vô cùng tiến tới vô cùng rồi. Không hiểu sai ở đâu nhỉ? Bác nào chỉ giùm cái.
Tui nghĩ nên phân biệt rõ giữa sự hội tụ của dãy và chuỗi. Dãy U(n) đó hội tụ đến a-e với mọi a. Còn bài này là nói đến chuỗi . Chuỗi này sẽ không hội tụ khi a khác e(vì dãy U(n) không hội tụ về 0) Còn trường hợp a=e thì mình không tính được giới hạn này .Mình đoán nó không tồn tại đâu.Vì thế nên rất quan tâm đến đáp số của bài này
Bạn lảm đúng rồi đấy. Sư phụ của bạn bạn chắc nhớ nhầm. e= 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +.... (1+1/n)^n = 1 + 1 + (n-1)/(2!*n) + (n-1)(n-2)/(3!*n^2) +... U_n = e - (1+1/n)^n = [1/2! - (n-1)/2!*n] + [1/3! - (n-1)(n-2)/3!*n^2] + ... = 1/2n + (3n-2)/6n^2 +... > 1/2n với mọi n chứ chả cần n đủ lớn.
Cám ơn. Bác làm đơn giản quá. Tại con bạn em hỏi đúng lúc nửa đêm 3h sáng, em có mỗi tí thời gian suy nghĩ nên chỉ nghĩ vội ra cách đó. Tối nay đành nói chuyện với con bạn vậy.
Nhân tiện có ai có hứng thú về số e thì thử làm xem: a lớn nhất, b nhỏ nhất để: (1+1/n)^(n+a)<=e<=(1+1/n)^(n+b) với mọi n Tìm k nhỏ nhất để: (1+1/n)^n * (1+ 1/kn) <=e Mấy cái này khá hay vì nó đánh giá sự tương quan giữa e và dãy số (1+1/n)^n mà chúng ta vẫn dùng để định nghĩa e.
Nhìn đã thấy fải khảo sát hàm số tính đạo hàm tùm lum rồi, ko biết có cách đẹp ko nhể? mà bác nht có cô bạn gọi điện lúc 3h sáng cơ à, sướng thật...
Bác nói đúng rồi đấy. Cái này chỉ đẹp về kết quả thôi. Chứ còn tính toán cũng khá mệt đấy. Không nhẹ nhàng gì cho lắm. Nhưng những kết quả mà đem áp dụng cũng khá ổn. Giá được thế thì tốt cho em quá. Hic. Nó có thèm gọi điện cho em đâu. Đang nửa đêm, em đang cố gắng xử lý nốt đống Lý khốn nạn(cả tối ngồi chơi mà), thì trên màn hình xuất hiện message của yahoo với câu hỏi còn thức không, sau đó thì chắc bác các bác đoán được rồi. Còn giờ tối em gọi điện cho nó cũng chẳng nói được câu nào cả. Hic. Vấn đề này nói nhỏ thôi. Nó mà cũng vào box này nó đọc được là em ra đi đấy.
