Định lý Femart tương đương với định lý Euler

Định lý Femart tương đương với định lý Euler

1. Định lý Femart : giả sử p là số nguyên tố, a là 1 số nguyên dương khi đó a^(p - 1) = 1(Mod p)
2. Định lý Euler : m là số nguyên dương a là một số nguyên sao cho (a,m) = 1; gọi L = tổng số các số nguyên i (i < m) mà i nguyên tố với m. Khi đó a^L = 1 (Mod p);

ví dụ : a = 7; m = 12
khi đó có các số i (i < m)sau nguyên tố với m {1,5,7,11}
Vậy L = 4;
a^4 - 1 = 7^4 - 1 = 2401 - 1 =2400
2400 chia hết cho 12.
Câu hỏi là chứng minh hai định lý trên tương đương nhau?

Chú ý :Chứng minh từ 2 sang 1 thì hiển nhiên. nhưng từ 2-->1 thì tui làm hơi dài (tui chưa thấy hay lắm).
Mong các bác chỉ giúp.
Cảm ơn.
Thân
SuperMetric
..........................................

Xin lỗi. Chắc lúc send bài mạng có vấn đề nên chẳng hiện ra gì cả. Đành phải đánh lại vậy. Hic!
ĐL2 là tổng quát hơn ĐL1. Thế nhưng 2 ĐL này là ĐL nên nó hiển nhiên đúng. Vì vậy không cần ĐL1 cũng chứng minh được ĐL2 và không cần ĐL 2 cũng chứng minh được ĐL1. Vì vậy nên tui chẳng hiểu bạn định hỏi gì hết cả. Chứng minh 2 điều đã đúng tương đương?!! Nó chắc cũng giống như chứng minh 1+1=2 tương đương với 9:3=3 nhỉ?

Life is ocean of misery!
Đã là phúc thì không phải là hoạ, đã là hoạ thì không tránh khỏi!
Nếu không muốn hối hận thì đừng làm, đã làm thì đừng hối hận!

Được nhtdhbk sửa chữa / chuyển vào 13:46 ngày 28/08/2003

To nhtdhbk : Bạn trả lời kiểu chi dzị? tui không hiểu bạn định nói cái j`? Hay post bài kiếm điểm tý chơi.
To các Mod : Del cái bài ấy đê.
Thân
SuperMetric
.......................

Tôi làm cũng không hay, chắc zống cách của bác
n=(p1^a1)*....*(pm^am) thì phi(n)=(p1^a1-p1^(a1-1))*...*(pm^am-pm^(am-1))
(a,n)=1 thì a^(pi^ai-pi^(ai-1)) = 1 (mod pi^ai)
--> đpcm!

Shinichi Kudo

Được heroes sửa chữa / chuyển vào 13:15 ngày 28/08/2003
Được heroes sửa chữa / chuyển vào 23:24 ngày 28/08/2003

Đơn giản là thế này: Định lí Fermat là trường hợp riêng của định lí Euler, nhưng là cơ sở để chứng minh toàn bộ ĐL Euler, theo ngôn ngữ toán thì đó là trường hợp riêng then chốt của định lí Euler. Những cái này hay gặp trong các định lí toán, nhất là các định lí cơ bản của Số học, Đại số, Hình học, Giải tích, ...
Còn về hàm Euler và các tính chất của nó thì khá nhiều đến mức thường khi học đội tuyển phải dạy vài buổi mới xong. Còn tất nhiên định lí này là một trong số những định lí cơ bản rất hay được sử dụng trong Số học.
Có lẽ để khi nào rỗi tôi post lên.
Không ai hiểu hết tôi, cũng như không ai hiểu hết cuộc sống.

To nhtdhbk : Tui có nói chứng minh hai định lý này đâu! Vì đây là hai định lý đã chứng minh rồi ! Tui chỉ hỏi là chứng minh 2 định lý này tương đương tức là nếu ta giả thiết là có định lý 1 thì hãy chứng ĐL2 dựa vào giả thiết của ĐL1. Rồi làm ngược lại.
VD : ta có 2 định nghĩa về giới hạn hàm số :
a. theo ngôn ngữ dãy.
b. theo ngôn ngữ epsilon - Delta
trong các sách Giải Tích người ta đều chứng minh hai cách ấy là tương đương như thế nào (Nếu có thể mời bác xem lại) .
To heroes : Hình như bác chứng minh sai ! Hoặc chưa đầy đủ --> thiếu tính minh bạch.
to TuMinhTran : Bác không phải Đao to búa lớn như dzị . Mới xem qua thì tưởng là ĐL Femart là trường hợp riêng của Euler nhưng vì chúng tương đương nhau nên không phải như vây. Vì từ ĐL Femart có thể suy ra ĐL Euler vậy cũng có thể nói ĐL Euler là trường hợp riêng của ĐL Femart

Thế này nhé:
Định lý Euler: (a,n)=1. phi(n)=số các số nguyên dương ko vượt quá n và nguyên tố cùng nhau với n. Khi đó a^phi(n)=1 (mod n)

Biểu diễn n dưới dạng tích các số nguyên tố
N=p1^a1?pm^am (pi fân biệt, ai>=1)
Khi đó, số các số nguyên tố cùng nhau với n là:
Phi(N) = p1^a1?pm^am ?" (p1^(a1-1)?pm^am+p1^a1.p2^(a2-1)?.pm^am+?p1^a1?pm^(am-1))+(p1^(a1-1).p2^(a2-1)?.pm^am+?+p1^a1?p_(m-1)^(a_(m-1) - 1).pm^am)?.
=(p1^a1-p1^(a1-1))?(pm^am-pm^(am-1))
Bây giờ, ta chứng minh rằng: a^(pi^ai-pi^(ai-1))=1 (mod pi^ai)
hay (ai^(pi-1))^(pi^(ai-1))=1 (mod pi^ai)
Thật vậy, sử dụng định lý Fermat ta có ai^(pi-1)=1 (mod pi)
Như vậy đúng với ai=1
Giả sử đúng với ai=n-1
Khi đó (ai^(pi-1))^(pi^(n-1))=1 (mod pi^n)) ==> (ai^(pi-1))^(pi^(n-1))=kpi^(n-1)+1
==> (ai^(pi-1))^(pi^n)= (kpi^(n-1)+1)^pi = 1 (mod pi^(n+1)) (để ý rằng C(k,pi) = 0 (mod pi) với 0<k<pi)
Như vậy đúng, từ đó suy ra a^n=1 (mod pi^ai) với mọi n ==> a^n=1 (mod n)

Shinichi Kudo

Các bác viết c/m ra đây chả đọc được gì cả
Em chả hiểu bác SuperMetric nói gì??
Có nghĩa là chỉ dựa vào giả thiết của đ/l này để c/m đl kia, không được dùng các kiến thức khác phải không?
Nhưng như vậy thì không thể nói là tuơng đương được, vì từ này chỉ dùng cho các tiên đề.

Cách của bác giông cách tui rồi. Mấu chốt chỉ là chứng minh cái điều :
a^((pi^(ai-1))*(pi-1)) = 1(mod p^ai) --> nghe nói còn cách khác hay hơn không biết bác nghĩ ra không ??
Thân
SuperMetric
............................

Bác nhầm rùi. Tương đương trong định nghĩa thì được, trong tiên đề thì cũng đúng thôi. Bác lấy được ví dụ nào về tương đương ĐL thì chỉ cho em với. Nếu bác có nói thì bác nên nói làm cách nào để từ ĐL1 C/m ĐL2 có phải nhẹ nhàng hơn không?

Life is ocean of misery!
Đã là phúc thì không phải là hoạ, đã là hoạ thì không tránh khỏi!
Nếu không muốn hối hận thì đừng làm, đã làm thì đừng hối hận!