Đirichle?????????????

Đirichle?????????????

Bạn có thể giải bài toán này mà không dùng nguyên tắc Đirichle :
Chọn 6 điểm tùy ý trên một đường tròn sao cho khoảng cách giữa chúng đôi một khác nhau > Chứng minh rằng trong các tam giác có đỉnh là 3 điểm trong số 6 điểm này luôn tồn tại một tam giác mà cạnh nhỏ nhất của nó là cạnh lớn nhất của tam giác kia.

Không sư? dụng nguyên tắc Đirichle có nghifa la? như thê? na?o?
1. Lấy một đươ?ng kính bất ky? cu?a đươ?ng tro?n ngoại tiếp
tam giác ABC. Ta có: một trong hai nư?a đươ?ng tro?n đó
chứa ít nhất 2 đi?nh cu?a tam giác ABC. Bạn có cho la? "Ta có ..." ơ? đây
đaf sư? dụng nguyên tắc Đirichle không? Bơ?i bạn có thê? cho ră?ng
"ta có 2 ngăn kéo
(2 nư?a đươ?ng tro?n) va? 3 qua? câ?u (3 điê?m) đê? cất va?o đó, vậy 1 trong
2 ngăn kéo (nư?a đươ?ng tro?n) pha?i chứa ít nhất 2 qua? câ?u (2 điê?m)"
đaf sư? dụng nguyên tắc Đirichle .
2. Cufng ba?i trên: ta xét 1 trong hai nư?a đươ?ng tro?n. Có ba kha? năng:
nư?a đươ?ng tro?n chứa 0, 1, 2, 3 đi?nh tam giác. Trong hai trươ?ng hợp sau
cu?ng thi? ta có ngay điê?u pha?i chứng minh. Trong 2 trươ?ng hợp đâ?u thi?
nư?a thứ hai co?n lại sef chứa 3 hoặc 2 điê?m va? ta cufng có điê?u pha?i chứng minh.
Bạn có cho ră?ng kết luận: "Có ba kha? năng: nư?a đươ?ng tro?n chứa 0, 1,
2, 3 đi?nh tam giác" đaf sư? dụng nguyên tắc Đirichle?
Nếu thế thi? bạn nên biết ră?ng trong
cuộc sống, trong toán học có nhiê?u lý luận ta đưa ra ma? ma? mọi ngươ?i
điê?u chấp nhận ma? không đo?i ho?i ta pha?i chứng minh vi? chúng quá
hiê?n nhiên, quá ̣đúng với tư duy cu?a chúng ta. Nhưng nếu bạn cố ti?nh
vạy áo ti?m rận thi? bạn cufng có thê? nói la? các lý luận đó đaf sư? dụng
nguyên tắc Đirichle ơ? một dạng na?o đó.
Con vê? bai? toán thi? tôi gia?i như thế na?y:
Ta xét 3 đi?nh liên tiếp P1, P2, P3 cu?a hi?nh lục giác.
(như thế nghifa la? cung P1P2P3 chi? chứa đúng 3 đi?nh)
Cạnh P1P3 la? cạnh lớn nhất trong tam giác P1P2P3.
Lấy P1 va? P3 la?m tâm ta ke? 2 đươ?ng tro?n có bán kính
= P1P3. Hai đươ?ng tro?n na?y cắt đươ?ng tro?n cho trước
tại M i N (thứ tự trên đươ?ng tro?n cho trước: M, P1, P2, P3, N)
Ta xét 3 trươ?ng hợp:
a. Cung MN (không chứa P1, P2, P3) chứa một đi?nh P4 na?o đó
cu?a hi?nh lục giác. Như thế P1P3 la? cạnh nho? nhất cu?a tam giác
P4P1P3 <-- điê?u pha?i chứng minh.
b. Cung MP1 chứa ít nhất la? 2 đi?nh P4, P5 cu?a hi?nh lục giác
(thứ tự: P4, P5, P1). Như thế ta có P4P1 la? cạnh lớn nhất
cu?a tam giác P4P5P1 va? đô?ng thơ?i la? cạnh nho? nhất trong
tam giácP4P1P3 <-- điê?u pha?i chứng minh.
c. Cung MP1 không chứa đi?nh na?o (suy ra cung P3N chứa
6 - 3 = 3 đi?nh) hoặc chứa ĐÚNG 1 đi?nh (suy ra cung P3N
chứa 6 - (3 + 1) = 2 đi?nh) cu?a hi?nh lục giác. Như thế suy ra
P3N chứa ít nhất la? 2 đi?nh P4, P5 cu?a hi?nh lục giác. Lý luận
tương tự như trươ?ng hợp b ta có điê?u pha?i chứng minh.

Thực ra kết luận la? đúng không chi? cho các điê?m nă?m trên
một đươ?ng tro?n. Thậm chi? các điê?m không bắt buộc pha?i
nă?m trên một mặt phă?ng.
1. Gia? thiết: cho 6 điê?m trong không gian sao cho khoảng cách giữa
chúng đôi một khác nhau
2. Kết luận: trong các tam giác có đỉnh là 3 điểm trong số 6 điểm này
tồn tại một tam giác mà cạnh nhỏ nhất của nó là cạnh lớn nhất của tam
giác khác.
3. Chứng minh:
Gọi các điê?m la? A1, A2, A3, A4, A5, A6. Trong môfi một tam giác
ta đáng dấu cạnh nho? nhất. Như thế thi? sef có một số đoạn được
đánh giấu (vi? trong môfi tam giác đê?u có cạnh nho? nhất) va? một số
không được đánh giấu (chí ít la? đoạn lớn nhất trong tất ca? các đoạn
sef không được đánh dấu bơ?i vi? nó không pha?i la? cạnh nho? nhất trong
bất cứ tam giác na?o).
Tư? môfi điê?m có thê? tạo được 5 đoạn với 5 điê?m co?n lại. Trong
5 đoạn na?y pha?i có ít nhất 3 đoạn được đánh dấu hoặc ít nhất 3 đoạn
không được đánh dấu (khi chi? có nhiê?u nhất 2 đoạn được đánh dấu)
a. Nếu tư? A1 có ít nhất 3 đoạn được đánh dấu, gia? dụ như A1A2, A1A3,
A1A4. Trong tam giác A2A3A4 dứt khoát có ít nhất 1 cạnh được đánh
dấu bơ?i vi? cạnh nho? nhất cu?a nó dứt khoát được đánh dấu. Gia? dụ đó
la? đoạn A2A3. Như vậy trong tam giác A1A2A3 ca? 3 cạnh đê?u được đánh dấu.
b. Nếu tư? A1 có ít nhất 3 đoạn không được đánh dấu, gia? dụ như A1A2, A1A3,
A1A4. Ta xét 3 tam giác A1A2A3, A1A2A4, A1A3A4. Trong môfi tam giác đó
2 cạnh đi tư? A1 không được đánh dấu (xem gia? dụ ơ? trên) vậy cạnh co?n lại
pha?i ?được đạnh dấu - đây chính la? A2A3, A2A4, A3A4. Như thế trong tam giác
A2A3A4 ca? 3 cạnh được đánh dấu.
Ta đaf chứng minh được ră?ng luôn tô?n tại 1 tam giác có ca? 3 cạnh
được đánh dấu. Như thế cạnh lớn nhất cu?a tam giác na?y đô?ng thơ?i
la? cạnh nho? nhất cu?a 1 tam giác na?o đó - đơn gia?n vi? nó được đánh dấu.

Bài toán nà có thể áp dụng một định lý khá hay là ĐL Ramsey .

Tôi không có ý định phu? nhận, tất nhiên trong toán học
cufng như trong cuộc sống tất ca? mọi con đươ?ng đê?u dâfn tới
tha?nh Roma.
Vấn đê? la? ơ? chôf ta định gia?i cho ai. Nếu ta có ý định gia?i sao
cho thậm chí bé gái bé trai ơ? tiê?u học cufng hiê?u được thi? ta pha?i
sư? dụng nhưfng kiến thức đơn gia?n nhất.
Riêng tôi luôn thích nhưfng cách gia?i đơn gia?n nhất. Ve? đẹp cu?a
sự đơn gia?n đối với tôi luôn luôn la? ve? đẹp trên mọi ve? đẹp.