Đội tuyển Toán QTế 2003 và kì thi lần này tại Nhật Bản!

Đội tuyển Toán QTế 2003 và kì thi lần này tại Nhật Bản!

Ngày đầu tiên:7-5-2003


Bài 1:

Cho các số nguyên dương m, n, p,q với p<m;q<n. Trên mặt phẳng toạ độ lấy 4 điểm A(0;0),B(p;0),C(m;q),D(m;n).
Xét các đường đi f từ A đến D và các đường đi g từ B đến C , mà ở đường đi f cũng như ở đường đi g chỉ cho phép đi theo hướng dương của các trục toạ độ và chỉ được phép đổi hướng đi(đổi từ hướng dương của trục toạ độ này sang hướng dương của trục toạ độ kia) tại các điểm có toạ độ nguyên.
Gọi S là số các cặp đường đi (f,g) mà f và g không có điểm chung .
CHứng minh rằng :
S=tổ hơpchập.m+ncủa n .tổ hơp. chập m+q-p của q trừ đi tổ hợp chập m+q của qnhân với tổ hợp chập m+n-p của n.
(thông cảm , post dạng này do chưa có phont thích hợp thưa bà kon)

Bài 2:Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, có các đường cao là AH,BK,CL.Gọi Ao;Bo;Co tương ứng là trung điểm của AH, BK. CL.
Đường tròn tâm I nội tiếp ABC, tiếp xúc với BC,CA,Ab ở D,E,F.
CMR
AoD,BoE,Cò,OI đồng qui(khi O trùng I, ta coi đường thẳng OI là đường thẳng tuỳ ý qua O).bài 3:Cho hàm số F:N*z----->N thoản mãn đồng thời các điều kiện sau:
i/f(0,0)=5^2003;f(0,n)=o Với mọi số nguyên n#0;
ii/ f(m,n)=f(m-1;n)-2[f(m-1,n)/2]+[f(m-1;n-1/)2]+[f9m-1,n+1)/2]
với mọi số tự nhiên m>0 và với mọi ước số nguyên n.
CMR:
Tồn tại số tự nhiên M sao cho:
f(M;n)=1 Với mọi số nguyên n mà trị tuyệt đối của n bé hơn or bằng (5^2003-1)/2
và f(M;n)=0 với mọi n nguyên mà TTĐ của n>(5^2003-1)/2


[X] là kí hiệu phần nguyên của số thực x.

Ngày 2 8-5-2003
Bài 4:Trên các cạnh của tam giác ABC lấy các điểm M1,N1,P1 sao cho mỗi đường thẳng MM1,NN1,PP1 đều chia chu vi của tam giác thành 2 phần bằng nhau ; trong đó M, N ,P tương ứng là các trung điểm của BC,CA,AB.
1/CMR: Các đường thẳng MM1,NN1,PP1 đồng qui tại 1 điểm K.
2/CMR Trong các tỉ số KA/BC.KB/CA,KC/Ab có ít nhất 1 tỉ số không bé hơn 1/Căn bậc 2 của 3.
Bài 5:
Cho tập A gồm tất cả các hoán vị a=(a1;a2;.....;a2003) của 2003 số nguyên dương đầu tiên , mà mỗi hoán vị đều có tính chất :không tồn tại tập con thực sự S khác rỗng của tập hợp {1;2;....;2003} sao cho {ak| (- S}=S.
Với mỗi hoán vị a=(a1,a2,....,a2003)(-A , đặt d(a)=xích ma từ k=1 tới 2003 của (ak-k)^2.
1/Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của d(a).Kí hiệu giá trị nhỏ nhất đó là do.
2/Hãy tìm tất cả các hoán vị a (-A mà d(a)=do.
Bài 6:
Cho n là 1 số nguyên dương .
CMR:
Số (2^n)+1không có ước số nguyên tố dạng 8k-1 , với k là số nguyên dương.

Kết quả thi vòng hai này thế nào nhỉ ? Chú Vua Chúa post được cả kết quả lên cho anh em xem với không ?

Mới chấm vào ngày hôm qua và hôm nay, có thể tin cập nhật nhất cũng phải vào đêm nay, có chi sẽ thông báo cho bà kon bít!
Cả nhà cho ý kiến về quả đề trên nhẩy?
Hẹn các bác ở tin về kết quả sao nhé!

sao năm nay không có bài toán lý thuyết đồ thị nào nhỉ ?

Россия моя пе?вая лZбовO!!

nhân tiện post lên đề thi putnam 2002 cho các bác cùng tham khảo
-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=--=
Webmaster
Email : tanlangtu@math.com

phải rồi, bác KOG có mấy đề thi quốc gia và HSG tỉnh, tp THCS không; cả mấy cái đề APMO nữa, nếu có cho em xin luôn
thanks
-=-=-=--=-=-=-=-=-=-=-=-=-=-=--=-=--=
Webmaster
Email : tanlangtu@math.com

Đã lâu không rờ mó lại mấy cái này, thử bình luận phát :
Bài 1 : bài dạng tính đường đi trên mạng lưới nguyên này cổ điển, nhân loại đã biết đến từ lâu, tuy nhiên nếu chưa biết mà thông minh tự nghĩ ra cũng hơi khó.
Bài 2, bài 4 : đáng ngạc nhiên là năm nay có đến 2 bài hình học, nhưng mấy bài kiểu đồng quy này thường không khó, thường là tính toán ( trâu bò ) mấy tỷ số rồi dùng Ceva. ( nói thế nhưng vẫn chưa thử )
Bài 3 nhìn thấy mất cảm tình, chưa bình luận.
Bài 5 : dạo này thấy các thầy khoái mấy cái hoán vị, thi toàn quốc vừa rồi cũng thấy có hoán vị, chắc mới kiếm được bí kíp nào đó. Bài này nhìn cũng không khó vì dễ thấy A chính là tập các cycle độ dài n.
Bài 6 nhìn quen quen, chắc lại dùng thuận nghịch bình phương, ai không biết định lý chắc chết.

Bài 6 nhìn thấy quen thật, thử tay phát. Các bác xem có sai không cái .
Giả sử p | (2^n + 1) và p = 8k - 1.
p đồng dư 3 mod 4 -> n lẻ. n = 2t + 1.
-> p | (2.4^t + 1 + p)
-> p | 4^t + (p + 1)/2 suy ra -(p + 1)/2 = -4k là chính phương mod p.
-> 1 = ( -4k / p) = (-1 / p) . (k / p) = -(k / p)
2 là chính phương mod p nên có thể giả sử k lẻ.
-> -1 = (k / p) = [(-1) ^ ((k-1)(p-1)/4)] * (p / k) = [(-1) ^ (k-1)/2] * (8k-1 / k)
-> -1 = [(-1) ^ (k-1)/2] * (-1 / k) = (-1) ^ (k - 1) = 1. Mâu thuẫn.

Strawhero

Lạ nhỉ , năm nay thầy Hoà không có chiêu thức đồ thị nào nhỉ ? Mà không có cả giải tích nữa nhỉ ?
Chắc sai rồi anh Thanhha ơi ! Làm ngắn thế thì làm sao là bài 6 vòng Hai được !
Mình chỉ khoái mỗi bài 3 , thấy hàm số là khoái rồi !