Giải bài toán nỳ em cái (Chứng minh đăng thức căn bậc hai)

đặt vế trái là hàm của số căn, ký hiệu là f(n)
ví dụ f(1)=căn 2
f(2)=căn(2+căn 2)
....
khi đó dễ dàng chứng minh được 1<f(n)<2 với mọi n bằng quy nạp.
suy ra 4(f(n+1)-f(n))>(f(n+1)+f(n))(f(n+1)-f(n))=f(n+1)^2-f(n)^2=2+f(n)-f(n)^2=(1+f(n))(2-f(n))>2(2-f(n))=4-2f(n)
-> 4(f(n+1)-f(n))>4-2f(n)
-> f(n+1)>1+f(n)/2>1+1/2+f(n-1)/4>.....>1+1/2+1/2^2+.....+f(1)/2^(n)=2-(2-f(1))/2^n
vế phải tiến tới 2 khi n tiến tới vô cùng
f(n) lại bị chặn trên bởi 2
suy ra f(n) tiến tới 2 khi n tiến tới vô cùng.

Bài này thực ra chỉ đúng khi cái dãy này vô hạn.. mà khi đó thì phải hiểu và nắm bắt được lim.. nhưng kiến thức lớp 9 ngày xưa mình nhớ là chỉ có quanh quẩn với mấy cái giải phương trình, giải hệ và bài toán quy về giải phương trình.. Không biết liệu bây giờ giáo trình cải cách đã đưa lim xuống dưới cấp 2 chưa nhỉ???

Lớp 9 mà nã lim thì chết. Đề bài nó cũng đã bảo "chứng minh rằng" thế còn gì.
Được werty98 sửa chữa / chuyển vào 19:24 ngày 31/10/2008