Groups, Rings, Fields ...

Chào các bác,
Em có thắc mắc muốn hỏi các bác.
Một cách để thiết lập trường số phức là thiết lập trường đa thức P=R[x] với hệ số là số thực, đa thức sinh là x^2+1 => R[x] là các trường các đa thức với bậc nhỏ hơn 2, như vậy mọi đa thức trong R[x] có dạng a*x+b .
Đối với phép nhân:
G=(ax+b)(a1 x+b1)= b*b1 + (a*b1 + a1*b)*x + a*a1*x^2

Để phép nhân đóng trong P thì G phải là đa thức bậc 1 => ta đặt x^2 = -1 ????
=> G = (b*b1+a*a1) + (a*b1 + a1*b)*x

Em không hiểu chỗ này : tại sao lại chọn x^2 = -1 mà không chọn số khác ???

Cám ơn các bác nhiều ...

sao không ai quan tâm thế nhỉ ....
Em nghĩ là nó liên quan đến các căn của đơn vị (conjugate roots of unity) nhưng không biết logic của nó ở chỗ nào... Các bác giúp em với.....

Ban de y ki nhe,
khi thuc hien phep nhan 2 so phuc: a+ib, c+id
Hoan toan theo dinh nghia: (a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(bc+ad)
Cho nen khi tao nen truong so C, khi n han 2 Da Thuc sinh ( Erzeugendes Polynom) ax + b va cx+ d ta co
(ax+b)(cx+d)=acx*x+(ad+bc)x+bd...de phu hop voi DINH NGHIA phep nhan so phuc, ta chon x*x=-1 ...
OK?? Sonst frage..

Mình cũng chưa từng thấy lập luận nào kì lạ thế này!! Tại sao lại lấy các đa thức bậc nhất??!! Tại sao một tập hợp các đa thức bậc nhất nào đó lại phải là một trường??
Dưới đây là những điều mình được học:
Để xây dựng trường số phức từ trường số thực, có một cách là xét số dư các đa thức khi chia cho đa thức (x2+1). Các số dư đều là đa thức bậc nhất có dạng ax + b.
( Đây là lí do mà người ta xét đa thức bậc nhất )
Và chuyện thứ hai, lấy x2 = -1 là bởi vì hai số này đồng dư modulo ( x2 + 1 )
Cuối cùng, lí do để người ta chia thương lấy dư với đa thức x2 +1 là vì số ảo i là nghiệm của đa thức này

Hỏi costella là trường đa thức R[x] là cái gì vậy. Nếu hiểu R[x] la vành các đa thức với biến x thì nó là vành ch­­u không bao giờ là trường và nó không phụ thuộc vào biến x. Hiểu một cách khác thì là coi nhu có 1 trường K khác chứa trường R và tìm 1 phần tử x trong trường K đó để vành sinh bởi R và x (kí hiệu là R[x]) là 1 trường. Và giải ra x^2=a với a<0 (nếu a>0 thì x thuộc R do đó vành sinh bởi R và x vẫn là R). Lấy a bằng số âm nào cũng được vì vành sinh bởi R và x vẫn không thay đổi nếu a thay đổi. Nếu gọi i là số thuộc K sao cho i^2=-1 thì x=bi hoặc x=-bi với b^2=-a nên R[x]=R[bi]=R. Người ta hay biểu dien R[x] qua cơ sở 1 và i cho tiện tính toán. Nêu thích biểu diễn qua 1 và x=bi cung được­ nhung­ không tiện cho tính toán. Cách này ít thấy vì không tự nhiên.
Có 2 cách tự nhiên hơn la:
Cách1: Ta biết R^2 là KHVT với phép cộng (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), phep nhân k(a,b)=(ka,kb). Tìm trên R^2 phép nhân để KGVT R^2 lập thành 1 trường. Với phép nhân (a,b)(c,d)=(ad+bc,ac-bd) thi R^2 la 1 trường. Và có đơn cấu từ R vào R^2 là a vào (a,0) nên ta coi R là trường con cua R^2. Và gọi đó là trường C.
Cách 2: (Hay nất) Tìm trường chứa R sao cho trong trường đó có nghiệm của pt: x^2+1=0. Đặt trường đó là C.
Một tính chất quan trọng của trường phức C là mọi đa thức với hệ số trên C đều có nghiệm phức. Có nhiều cách CM đinh ly nay, có cách dài 2 trang,có cách chỉ ngắn nửa trang và chỉ dùng một ít giải tích về giới hạn. 1 diều đãc biệt là hiện nay chưa có cách nào không dùng đến giới hạn.
Một câu hỏi đặt ra là còn trường nào là mở rộng của R mà nó thoả mãn điều kiện là KGVT trên R thì chỉ thêm 1 vài trường nữa. Do không nghiên cứu về đại số nên chỉ biết sơ sơ vậy thôi.
Hàm phức là 1 môn học rất lý thú.

Tản mạn tí
The most algebraic proof có lẽ là cách sử dụng Sylow subgroups, tất cả kiến thức về giải tích cần đến là mọi đa thức hệ số thực bậc lẻ đều có nghiệm và mọi số thực không âm đều có căn bậc 2. Nói chung đã làm việc với số thực thì khó mà cưỡng lại được vẻ đẹp liên tục của nó.
Còn cái câu sau bạn ht_sp chắc muốn nói tới mở rộng hữu hạn của R? ( Nếu L là mở rộng của K thì L luôn là KGVT trên K)

Bạn canh_dieu viết
The most algebraic proof có lẽ là cách sử dụng Sylow subgroups, tất cả kiến thức về giải tích cần đến là mọi đa thức hệ số thực bậc lẻ đều có nghiệm và mọi số thực không âm đều có căn bậc 2. Nói chung đã làm việc với số thực thì khó mà cưỡng lại được vẻ đẹp liên tục của nó.
Còn cái câu sau bạn ht_sp chắc muốn nói tới mở rộng hữu hạn của R? ( Nếu L là mở rộng của K thì L luôn là KGVT trên K)
************
Cảm ơn canh_dieu. Ban nói rất đúng.
_________________________________________
The theorem algebraic có những cach CM chỉ thuần tuý giải tích mà không có kiến thức nào của đại số. Vi dụ nh­u dùng Theorem đơn giản của hàm biến phức: Mọi hàm chỉnh hình trên C bị chặn là hằng số. Nhưng có 1 cách khá bất ngờ là rất ngắn (chỉ vài dòng) và kiến thì cũng chỉ dùng 1 ít về hàm liên tục, học sinh PTTH cũng có thể hiểu được(miễn là biết khái niệm về số phức).
________________________________________
Tớ học về giải tích phức và lý thuết thế vị, thế canh_dieu học ngành gì của Toán vậy

Hê hê, tớ cũng học giải tích phức nè. Tớ học GTP nhiều chiều!

Hê hê, tớ cũng học giải tích phức nè. Tớ học GTP nhiều chiều!
[/quote]
______________________
Ồ, đồng nghiệp rồi. Tớ tên là Phạm Hoàng Hiệp, sinh năm 1982, quê Hải Dương. Hiện đang làm việc ở trường ĐHSPHN. Cậu ở đâu vậy. Thế thì có nhiều điều thú vị đấy. Email của tớ : "phamhoanghiep_vn@yahoo.com"

dạ em tò mò tí ạ, từ lâu lắm rồi em rất muốn biết các cách chứng minh DL cơ bản của đại số, các bác có thể post lên cách nào được coi là đơn giản nhất được ko ạ ? (Cai cach ma bac gi bao la chi can biet mot ti ve so phuc thoi cung lam duoc ay )