Hình Học Xạ Ảnh.

Hình Học Xạ Ảnh.

Để khởi đầu cho ý tưởng của Foolduck,em xin trình bày một môn mà em đang phải học trong học kì này,đó là hình học xạ ảnh,các bác nào đã biết qua về môn hình này thì cùng em xây dựng topic còn ai chưa biết mà cảm thấy có hứng thú thì đọc tham khảo cho biết nếu có chỗ nào em hiểu sai thì mong các bác sửa chữa và chỉ bảo thêm.Thanks.

Sao Thuy

Tôi xin bắt đầu bằng một vài khái niệm:
1) Định nghĩa không gian xạ ảnh:
Cho tập P và K_ không gian véc tơ n+1 chiều V^(n+1),ta kí hiệu [V^(n+1] là tập tất cả các không gian con một chiều của V^(n+1), một song ánh p: [v^(n+1)]-->P.Khi đó bộ 3 (P,p,[V^(n+1)]) được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều,kí hiệu là P^n.
Như vậy mỗi phần tử của P^n (ta gọi là một điểm )sẽ có một véc tơ khác véc tơ 0 đại diện, 2 véc tơ phụ thuộc tuyến tính sẽ cùng đại diện cho một điểm.Tức là nếu a->=k.b-> (k thuộc vào K ) thì p(a-&gt=p(b-&gt=M<-P^n .
Sao Thuy

Hay quá, rất mong bác tiếp tục chủ đề này.
Môn hình xạ ảnh hồi ở VN tôi cũng có học qua nhưng học một tẹo rồi bỏ dở. Trước hình xạ ảnh thì có học hình affin, cả hai đều học thầy Văn Như Cương.

Bạn dùng Win Word rồi past ra đây cho dễ nhìn, chứ đọc thế này khó quá.
Còn gì vui thích bằng chúng ta cùng ăn kem sữa chua SUSU

Nếu có mà dùng thì đã dùng rùi!!!!!!!!!!Khổ nỗi thế đó. Nhưng biết làm sao được, cốt la ở tấm lòng với box. . Sao ít người đóng góp về vấn đề hay, và ..có lẽ đã nhiều người biết rùi thế này nhỉ???Chỉ tiếc là Home chưa học thôi
------------------------------------
Có khi mưa ngoài trời là giọt nước mắt em.

Tôi cũng đã học xong môn này rồi. Nếu còn nhớ gì thì cũng sẽ góp phần vào đây với mọi người chút nhé!
Thực ra thì so với hình học Oclit (đã được học ở phổ thông) thì cũng không khác mấy( Ví dụ như về tính toán trong toạ độ) Chỉ có điều là hình học afin và hình học xạ ảnh được mở rộng ra hơn(tất nhiên khi lmà bài tập thì thường đưa về không gian 3 chiều cho rễ hình dung các Bác ạ - Chứ nói n-chiều thì tôi không thể hình dung nó như thế nào nữa hi hi ) .
I Love classical music
Được nhuthuhuong sửa chữa / chuyển vào 21:37 ngày 02/03/2003

Sau đây là một cách khá đơn giản để hình dung không gian xạ ảnh: lấy A là một không gian thường (n+1) chiều. Không gian xạ ảnh n chiều sẽ là không gian các lớp tương đương của (A - gốc tọa độ), trong đó 2 điểm trong A (khác gốc tọa độ) là tương đương nếu như đường thẳng đi qua hai điểm này cũng đi qua gốc tọa độ.
Có thể hình dung không gian xạ ảnh như là không gian các đường thẳng đi qua gốc tọa độ của một không gian thường. Tính chất quan trọng nhất của không gian xạ ảnh là
(a, b, c) = (ka, kb, kc) với mọi k không bằng 0 (đây là cxr viết cho chiều 2).
Để đọc thêm về không gian xạ ảnh, có cuốn Hình học đại số của Hartshorne rất tốt (chương I)
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

Chà .. forum này ít người quá .. mấy đồng chí yêu Toán học đâu cả rồi? Hôm trước nhân tiện nói về Hình học xạ ảnh .. hôm nay rảnh rảnh nên ra bàn bậy đôi chút về sự khác nhau giữa hình học xạ ảnh và hình học affine chơi.
Làm về không gian 2 chiều cái đã, chiều cao nó khó. Có lẽ điều khó chịu nhất khi giải một bài toán là khi phải xét hết trường hợp này tới trường hợp khác. Một ví dụ cơ bản là 2 đường thẳng trong mặt phẳng đứng tương đối với nhau như thế nào? Hoặc là chúng cắt nhau tại duy nhất một điểm, hoặc là chúng song song với nhau. À, sao lại có bác "song song" oái oăm thế không biết .. phiền quá - Hay nếu 2 đường song song thì ta coi như là chúng "gặp nhau" tại điểm "vô hạn" đi. Như vậy có tuyệt không, bây giờ thì 2 đường thẳng bất kỳ trên mặt phẳng đều gặp nhau tại duy nhất 1 điểm.
Đến lượt một đường thẳng và một đường parabola. Phần nhiều là chúng sẽ gặp nhau tại 2 điểm. Nếu không thì có thể là đường thẳng tiếp xúc với đường parabola tại một điểm - Như vậy vẫn OK .. vì nếu tính điểm "kép" thì ta vẫn có 2 điểm giao. Lại phiền cái khi thằng đường thẳng không chịu gặp thằng parabola. À .. nhưng nếu coi như mỗi nhánh của đường parabola đều gặp thằng đường thẳng tại một điểm vô hạn thì có phải là ta lại có 2 điểm giao không - Tuyệt!
Tổng quát hoá một cái, lấy hai đường cong bậc n và bậc m bất kỳ. Nhiều lắm là chúng gặp nhau tại mn điểm. Đôi khi ít hơn. Nếu như chúng gặp nhau tại k < mn lần (kể cả "bội") thì cứ coi như chúng gặp thêm tại (mn - k) điểm vô hạn nữa đi - Như vậy là luôn có mn giao điểm. Ah hah, bất kỳ 2 đường cong bậc m và n nào cũng đều gặp nhau tại đúng mn điểm (kể cả "bội) ===> Định lý Berzout.
Vậy cuối cùng, ta hình dung các điểm "vô hạn" như thế nào? Và có bao nhiêu điểm "vô hạn" trên mặt phẳng? Trước tiên hãy xét một đường thẳng L. Xét tất cả các đường thẳng "song song" với L - Nếu tất cả các đường này không cùng gặp L tại một điểm "vô hạn" .. thì xem ra có quá nhiều điểm "vô hạn" trên L. Vậy coi như chúng đều gặp L tại một điểm đi - Nghĩa là trên L có đúng 1 điểm vô hạn. Hai đầu mút của L đều phải đi tới cùng 1 điểm vô hạn này .. vì thế có thể hình dung L như một hình tròn vây. Ký hiệu L cùng với điểm vô hạn của nó là P (đường thẳng xạ ảnh đấy). Nào bây giờ xét cái mặt phẳng xem sao. Lấy một điểm O làm gốc. Tất nhiên các điểm vô hạn của mặt phẳng đều là các điểm vô hạn nằm trên các đường thẳng đi qua O. Vẽ một vòng tròn tâm O, mỗi đường thẳng đi qua O sẽ cắt đường tròn này tại đúng 2 điểm mà thôi. Vậy số các đường thẳng qua O sẽ bằng đúng số các điểm trên 1 nửa đường tròn mà 2 điểm 2 đầu được coi là như nhau (cùng trên 1 đường kính). 1 nửa đường tròn này tương đương với 1 đường tròn (tại ta có thể chập 2 đầu lại) .. nghĩa là tương đương với P. Wah lah, tất cả các điểm "vô hạn" trên một mặt phẳng tương đương với một đường thẳng "xạ ảnh". Nói cách khác, mặt phẳng xạ ảnh là hợp của một mặt phẳng affine với một đường thẳng xạ ảnh.
Tổng quát hoá có đúng không? Một không gian xạ ảnh n chiều là hợp của một không gian affine n chiều với một không gian xạ ảnh (n-1) chiều.
Bạn nghĩ thế nào?
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

Hay tuyệt. Mong rằng trong thời gian ở ẩn tới này. Home sẽ tìm hiểu, tham khảo chút ít được về cái này!!!
------------------------------------
Có khi mưa ngoài trời là giọt nước mắt em.

Hôm qua phát biểu mệnh đề "tổng quát" là một không gian xạ ảnh n chiều là hợp của một không gian affine n chiều và một không gian xạ ảnh (n-1) chiều. Hôm nay "chứng minh" cái cho nó ghê răng ..
Trước tiên hãy thử nói về "tọa độ" của các điểm trong không gian xạ ảnh cái .. nếu không thì không biết tính toán ra sao nữa. Xét đường thẳng xạ ảnh cho nó đơn giản. Tất nhiên là mỗi điểm trên đường thẳng thường được đại diện bởi một số (thực hoặc phức tùy vào việc mình đang xét trên trường nào). Vậy điểm "vô hạn" được đại diện bởi cái gì? Ta đã hết số để dùng làm đại diện rồi. Vậy lấy thử cặp số xem sao. Giả sử lấy (0,1) làm đại diện cho điểm "vô hạn". Cách này có cái dở là không có đồng bộ với những điểm còn lại. À, hay là mỗi điểm x trên đường thẳng thường được đại diện bở cặp số (1, x) thì sao - Tuyệt! Vậy là mỗi điểm trên đường thẳng xạ ảnh đã được đại diện bởi 1 cặp số, hoặc là (0,1) hoặc là (1,x). Vẫn còn một cái không đồng bộ là việc toạ độ đầu tiên chỉ có thể bằng 0 hoặc 1, trong đó toạ độ thứ 2 lại có thể là số bất kỳ. Tại sao lại không thể là (a, b) với a, b bất kỳ nào đó? Có thể lắm chứ - Nếu như a = 0 và b khác 0 thì coi như (a, b) là tương đương với (0,1) đi (chia cả 2 toạ độ cho b). Nếu như a khác 0 thì coi như (a, b) là tương đương với (1, b/a) đi (chia cả 2 tọa độ cho a). Như vậy nếu xét tất cả các cặp (a,b) với a và b không đồng thời bằng 0, và quy ước rằng (a,b) = (ka,kb) thì ta đã có một lớp các đại diện cho các điểm trên đường thẳng xạ ảnh.
Tổng quát hoá lên: Mỗi điểm trong không gian xạ ảnh n chiều sẽ được đại diện bởi một bộ (n+1) số (a0, a1, ..., an) không đồng thời bằng không, với quy ước rằng (a0, a1, ..., an) = (ka0, ka1, ..., kan) với mọi k khác 0.
Ký hiệu Pn là không gian xạ ảnh n chiều, An là không gian affine n chiều. Bây giờ đi chứng minh
Pn = An hợp P(n-1)
Mỗi điểm trong Pn sẽ có dạng (a0, a1, ..., an). Có 2 khả năng xảy ra:
1) a0 = 0. Khi đó a1, a2, ..., an không thể đồng thời bằng 0, và (0, a1, ..., an) = (0, ka1, ..., kan) với mọi k khác 0. Điều này có nghĩa là bộ (a1, ..., an) có tính chất như tọa độ của một điểm trong không gian xạ ảnh (n-1) chiều vậy.
2) a0 khác 0. Chia tất cả cho a0, ký hiệu bi = ai/a0. Khi đó
(a0, a1, ..., an) = (1, b1, ..., bn) trong đó b1, ..., bn có thể nhận bất kỳ giá trị nào. Vậy bộ (b1, ..., bn) có tính chất như toạ độ của một điểm trong không gian affine n chiều.
Xong!!!
[Nói về các không gian 2 hôm nay rồi mà không thấy tí gì dính đến Tô pô hết - Mấy bác hình học chắc sắp nổi cáu rồi. Thôi mai mốt, nếu các bác còn có hứng thứ đọc tiếp, cxr sẽ bàn bậy về Zariski Tôpô chơi]
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"