Hình Học Xạ Ảnh.

Hôm nay bàn đôi chút về Tô pô Zariski. Bắt đầu bằng không gian affine. Để cho tiện, ta coi mọi tính toán đều được thực hiện trên trường số phức.
Ký hiệu An là không gian affine n chiều. Như vậy An sẽ là không gian các điểm (vector) (a1, a2, ..., an) trong đó mỗi aj là một số phức. Tương ứng với An là một vành đa thức R = k[x1, x2, ..., xn]. Mỗi đa thức f trong R sẽ xác định một hàm số trên An thông qua việc tính giá trị của f tại mỗi điểm (a1, a2, ..., an).
Nếu T là một tập các đa thức trong vành đa thức R, định nghĩa tập Z(T) là tập tất cả các điểm (a1, ..., an) trong An sao cho
f(a1, ..., an) = 0 với mọi đa thức f trong T.
Một tập con Y của An được gọi là tập đại số nếu nó bằng tập Z(T) với một tập con T nào đó của R. Dễ dàng kiểm chứng những điều sau đây:
(1) Hợp của 2 tập đại số là một tập đại số.
(2) Giao của một họ các tập đại số vẫn là một tập đại số.
Nhờ 2 tính chất này, tập tất cả các tập đại số cho ta một tô pô trên An (các tập mở của tôpô này là phần bù của các tập đại số). Tô pô này được gọi là tôpô Zariski.
Sau đây là một vài tính chất của Tôpô Zariski:
(a) Mọi tập mở khác rỗng đều trù mật trong An. Điều này dẫn đến: hai tập mở bất kỳ khác rỗng luôn giao nhau.
(b) Tô pô Zariski không có tính Hausdorff, nghĩa là cho 2 điểm phân biệt A và B bất kỳ, ta không thể tìm được 2 tập mở M chứa A và N chứa B sao cho M và N không giao nhau (xem tính chất (a)). Đây là điểm khác biệt quan trọng đầu tiên giữa Tôpô Zariski và tô pô thông thường ta đã biết trong hình học Euclid.
Mọi người sẽ hỏi ngay .. vậy vì sao phải sử dụng Tôpô Zariski. Xin thưa, thứ nhất là vì ông Zariski, người đặt nền móng cho môn này, quá nổi tiếng .. hihi. Thứ hai, và có lẽ là quan trọng hơn, là vì Tôpô Zariski cho phép thiết lập một mối quan hệ giữa hình học và đại số, làm phát triển hơn việc dùng các công cụ đại số để nghiên cứu các bài toán hình học, đặc biệt là các bài toán kỳ dị (điểm kỳ dị và giải kỳ dị).
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

Cái này hay đấy. Bác cho em hỏi có thể xây dựng to po này trên một trường bất kỳ ( không phải là C ) sao cho tính "non - Hausdorff" vẫn OK ?

Mấy hôm nay tôi đang bận viết cái mục Du học .. nên chưa viết tiếp phần này được.
Bác có thể xây dựng trên một trường vô hạn bất kỳ .. vẫn có tính non-Hausdorff (với trường hữu hạn thì mọi thứ sẽ phức tạp hơn rất nhiều). Thường thì người ta sử dụng trường đóng đại số (như C) .. vì khi đó có tính chất Hilbert's Nullstellensatz cho phép tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số trong không gian và các iđêan căn (radical ideal) trong vành đa thức tương ứng.
Hôm nào rảnh tôi sẽ viết tiếp về Tôpô Zariski trong không gian xạ ảnh.
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

Tôpô Zariski trong không gian xạ ảnh: Mỗi điểm trong không gian affine được đại diện bởi một bộ n số (a1, ..., an) nên ta tương ứng với mỗi không gian affine n chiều một vành đa thức n biến. Mỗi điểm trong không gian xạ ảnh được đại diện bởi một bộ (n+1) số (a0, ..., an), nên ta sẽ tương ứng với một không gian xạ ảnh n chiều vành đa thức S = k[x0, ..., xn] trên (n+1) biến. Điểm khác nhau đầu tiên giữa không gian affine và không gian xạ ảnh là ở chỗ, mỗi một đa thức đều xác định một hàm số trên không gian affine, trong khi đó mỗi đa thức f trong S chưa chắc đã xác định một hàm số trên không gian xạ ảnh n chiều. Điều này là vì mỗi điểm của không gian xạ ảnh có thể có nhiều đại diện khác nhau, ví dụ như (a0, ..., an) = (ka0, ..., kan) với mỗi k khác 0. Như vậy, để một đa thức xác định một hàm số trên không gian xạ ảnh, đa thức này cần phải có tính "thuần nhất" nhất định.
Một đa thức được gọi là thuần nhất nếu tất cả mọi đơn thức của nó đều có cùng bậc. Ví dụ, f(x,y,z) = xy + yz là một đa thức thuần nhất bậc 2, trong khi đó g(x,y,z) = x + yz không phải là một đa thức thuần nhất (vì x có bậc 1 và yz có bậc 2). Tuy nhiên, ngay đa thức thuần nhất, nếu lấy giá trị tại các điểm xạ ảnh thì ta cũng vẫn không có một hàm số, bởi vì phần lớn thì
f(a0, ..., an) khác f(ka0, ..., kan).
Vậy thì tính thuần nhất được đưa vào với mục đích gì? Nếu để ý kỹ hơn ta sẽ có nhận xét sau, nếu f là một đa thức thuần nhất bậc d, khi đó
f(ka0, ..., kan) = k^d f(a0, ..., an) với mọi k.
Vậy, việc f(a0, ..., an) = 0 là tương đương với việc f(ka0, ..., kan) = 0 với mọi k khác 0. Ta có thể tương ứng với f một hàm số xác định trên không gian xạ ảnh như sau (để tiện, ta sẽ dùng ngay f thay cho ký hiệu hàm số này):
f(a0, ..., an) = 0 nếu giá trị của đa thức f tại (a0, ..., an) bằng 0, và
f(a0, ..., an) = 1 nếu ngược lại.
Vậy tập các đa thức thuần nhất trong vành đa thức (n+1) biến S cho ta một tập các hàm số xác định trên không gian xạ ảnh n chiều. Bây giờ, tương tự như đối với không gian affine, với một tập con T các đa thức thuần nhất, ta định nghĩa
Z(T) = tập tất cả các điểm (a0, ..., an) sao cho giá trị của hàm số f tại (a0, ..., an) bằng 0 với mọi f thuộc T.
Một tập con trong không gian xạ ảnh n chiều được gọi là tập đại số nếu nó bằng Z(T) với tập T nào đó các đa thức thuần nhất trong S. Các tập đại số cũng có tính chất tương tự như trong trường hợp affine. Một lần nữa, tập tất cả các tập đại số sẽ cho ta một tôpô trên không gian xạ ảnh. Tôpô này cũng được gọi là tôpô Zariski.
Điểm khác biệt giữa không gian xạ ảnh và không gian affine là ở chỗ, tương ứng với không gian xạ ảnh n chiều, ta xét vành đa thức (n+1) biến, và trong vành đa thức này chỉ có các đa thức thuần nhất là xác định các hàm số trên không gian xạ ảnh đã cho.
Được CXR sửa chữa / chuyển vào 13:37 ngày 11/03/2003

Cảm ơn mọi người !

Nói cách khác hình học xạ ảnh chính là môn học cực kỳ khoái trá. nghiên cứu hình học qua các phép chiếu (Hổng biết có sai không)
Nó là mở rộng của chính môn hình học phối cảnh. Đây là cơ sở cho các nhà lập trình 3D Graphics Programming. Có thể thấy các trò chơi Game 3D, hay kỹ thuật mô phỏng 3D, bản đồ số... phát triển mạnh mẽ như vậy là nhờ chính môn học này. Với tư cách là một người yêu hình học và chuyên 3D programming tôi ủng hộ tuyệt đối môn Hình học xạ ảnh.
P/S : Những nhà hình học là những người lãng mạn nhất của giới Toán học
Thân
SuperMetric
......................
Đỡ nhớ thì sẽ đỡ yêu
Đỡ yêu thì cũng đỡ liều vì nhau

mn giải dùm em với ạ:Trong P^2 cho mục tiêu(S0,S1,S2,E) và các điểm S0'(0,1,1), S1'(2,0,1), S2'(1,1,0) E'(1,1,1) ,M(x0,x1,x2). a)chứng minh rằng bộ bốn điểm (S0',S1',S2',E') là một mục tiêu
b)Viết công thức đổi tọa độ từ mục tiêu đã cho sang mục tiêu(S0',S1',S2',E') và tính tọa độ(x0',x1',x2')của điểm M đối với mục tiêu