Hỏi về dãy hội tụ và giới hạn !

Hỏi về dãy hội tụ và giới hạn !

Em có hai bài toán nhưng kô chắc chắn về cách giải lắm , nên mong anh chị giúp đỡ .

1. Với giá trị nào của s , R thì dãy sau hội tụ, tìm giới hạn :
xn = n^s + n / (n^2 - 1) ^ 1/2

2. Tìm giới hạn của dãy :
( 7^n + 3n ) ^ (1/n )

1. Dễ thấy n/(n^2-1)^1/2->1 khi n-> vô cùng.
Do đó xn hội tụ khi và chỉ khi n^s hội tụ. <=> s<0
2. Đặt xn=( 7^n + 3n ) ^ (1/n )
rõ ràng xn>7
và (7+1/n)^n=7^n+n*7^(n-1)*1/n+....>7^n+3*n với n>1=>xn<7+1/n
vậy lim xn =7

Em cám ơn ! Bi giờ mới hiểu ra vấn đề

Nói linh tinh tí:
Bài 1 s=0 cũng được.
Bài 2 thì đặt 7 ra ngoài dấu ngoặc thấy ngay nó tiến tới 7. Đỡ phải suy nghĩ và dùng cái bất đẳng thức kia làm gì (nhỡ nó hỏi với hàm x thì die)

Có vẻ bạn diễn giải đề bài không hoàn chỉnh lắm.
x_n chỉ nhận 1 trong m giá trị cho trước a_1,a_2,...,a_m thuộc R
Theo đinh nghĩa giới hạn x_n hội tụ tới x_0 nếu với mọi epsilon>0 tồn tại số tự nhiên N sao |xn-x0|<epsilon với mọi n>N
Nếu chọn epsiolon là số thực nhỏ hơn hiệu 2 số khác nhau bất ky trong m số thực cho trước a_i(số lượng các a_i hữu hạn nên có thể chọn được) thì bất đẳng thức trên xảy ra khi bắt đầu từ N mọi phần tử của dãy x_n trùng nhau.

'ỏãt 7 ra ngoài tặc là viỏt
(7^n + 3n)^(1/n)=7*[1+ 3n/(7^n)]^(1/n)
ThỏƠy ngay thỏng 1+3n/(7^n) -->1, nên ^(1/n) hiỏằfn nhiên tiỏn tỏằ>i 1 rỏằ"i.

Hôm trước em kô để ý kết quả bài 1 của anh msubmk , nhưng
s=1 thì dãy cũng hội tụ và giới hạn limxn = 2
Liệu kết quả có phải là s<=1 kô ạ

Trước hết, cám ơn bác msubmk đã trả lời câu hỏi của tôi ở chủ đề chặn trên nghiệm phức.
Nhân tiện có chủ để về giới hạn của dãy số, tôi đang gặp khó khăn ở bài tòan sau:
Tìm lim(C(n,2n)/n^2) khi n -> vô cùng. C(n,2n) là tổ hợp n của 2n.
Với dãy số C(n,2n)/n^2 ta thấy là khi n>1 thì dãy số sẽ tăng. bởi vì :
a(k+1) = a(k) * (4k^3+2k^2)/(k^3+3k^2+3k+1)
(với a(k) = C(k,2k)/k^2).
Do đó có thể tiên đóan là lim sẽ tiến đến vô cùng. Vấn đề là ở chỗ chứng minh như thế nào.
Mong nhận được ý kiến mọi người.
SOW

tiếp theo hướng của bạn nhé
a(k+1)/a(k) = (4k^3+2k^2)/(k+1)^3->4 do đó tồn tại N0 để
a(k+1)/a(k)>3 với mọi k>N0-1
viết BDT này với N0,N0+1, v.v....rồi nhân chúng lại
=> a(k+m)>a(N0)3^m (m>0) suy ra điều bạn cần.
Theo cách khác.
Bằng cách khai triển (1+x)^2n và ((1+x)^n)^2 rồi cân bằng hệ số bậc n nhân được
C(n,2n) = C(0,n)^2+C(1,n)^2+..+C(n,n)^2
do đó C(n,2n)>C(2,n)^2 (với n>2)
=> C(n,2n)/n^2 > (n-1)^2/4-> vô cùng
Theo cách này với một chút thay đổi nhỏ bạn có thể chứng minh kết quả mạnh hơn nhiều
C(n,2n)/n^k -> vô cùng với k là một số thực cho trước tuỳ ý.
To caphechieuthu7: tại sao khi s=1 lim xn=2 nhỉ
Được msubmk sửa chữa / chuyển vào 13:10 ngày 15/05/2005